1、复习和小结第21章 二次根式知识梳理考点分类复习归纳课后演练九年级数学上（HS） 教学课件加 、减、乘、除二 次 根 式三个概念两个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式baba(00)a,b0, 0babaab1.2.2.1.02aaa aa2 0a a0aa知识梳理知识梳理1二次根式的概念一般地，形如_(a0)的式子叫做二次根式；对于二次根式的理解：带有根号；被开方数是非负数,即a0.易错点 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.2二次根式的性质3最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式(1)被开方数不含_；(2)被开方数中不含能_的因数或因式开
2、得尽方分母220 ;0000aa aa aaaa,a a.，4二次根式的运算 _(a0，b0)； _(a0，b0)二次根式加减时，可以先将二次根式化成_，再将_的二次根式进行合并被开方数相同 最简二次根式abab1. 当x _ 时， 有意义.x3 3.求下列二次根式中字母的取值范围.153xx解得 - 5x3解： 5030 x,x，说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）. 3a=4考点分类考点分类确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围一2. 有意义的条件是 .44aa1.1.已知： + =0,+ =0,求 x-y 的值. .yx24x 2.已知x,
3、y为实数,且 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( ) A.3 B.-3 C.1 D.-11x解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0解得 x=4,y=-8x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12D二次根式的非负性的应用二方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： 0， 0，a20.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.即由a0，b0，c0且abc0，一定得到abc0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.aa二次根式性质的应用三 设 a， b，用含a，b的式子表示 ，则下列表示正确的是( ) A0.03ab B3ab C0.1ab3 D0.1a3b230 54.C
4、二次根式的化简四A二次根式的运算五1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围2.二次根式的非负性的应用3.二次根式性质的应用4.二次根式的化简5.二次根式的运算复习归纳复习归纳C0课后演练课后演练22(4)(1)xx4.下列各式中，是最简二次根式的是（ ）3BA8.B70.C99.1D.x153a100 x3522ab21a144221aaa0-(a2+1)0(a-1)206.计算：11221若a为底,b为腰,此时底边上的高为2142721422222三角形的面积为(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.设a、b为实数, ,且| 2 -| 2 -a|+ |+ b-
5、2 =-2 =0 22 ab，解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为11472222三角形的面积为221 1 （ ）ab（1）求 、 的值.7.（2）如图所示，ADDC于D，BCCD于C，ABPDC若点P为线段CD上动点.，10已知ABP的一边AB=则AD=_ BC=_12（1）在如图所示的44的方格中画出格点ABP，使三角形的三边为 ，10，5，58. 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP,则AP=_，BP=_.24a 2(3 ) 1a 当a=1 时，则PA+PB=_,2 5当a=3,则PA+PB=_. PA+PB是否存在一个最小值？113复习和小结第22章 一元二次方程知识梳理考点分
6、类复习归纳课后作业九年级数学上（HS） 教学课件一、本章知识结构图实际问题 实际问题的答案数学问题002acbxax数学问题的解aacbbx242降次设未知数，列方程检 验解 方 程配方法公式法分解因式法知识梳理1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数你能写出各种方程的一般形式吗？所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a0 )一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx
7、+ c = 0 ( a0 )二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a0, b0 )二、回顾与思考2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？体会降次在解一元二次方程中的作用配方法、公式法和因式分解法配方法、公式法适用于所有的一元二次方程因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.思 想化为一次方程 得到一元二次方程的解 降次解一元一次方程3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a0 )，都可以通过配
8、方转化为当b24ac0时，一元二次方程 有实数根ax2 + bx + c = 0 ( a0 )abx2,4422aacb 1.若(a-3) +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为()A.3B.-3C.3D.无法确定【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-7=2,且a-30,解得a=-3.一元二次方程及根的有关概念一考点分类27ax2.下列方程中,一定是一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B. x2=0C.3x2+2y- =0D. x2+ -5=0【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.12124x解方程
9、x2-2x-1=0.【自主解答】移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方得x-1= ,x=1 ,所以x1=1+ , x2=1- .2222一元二次方程的解法二用适当方法解下列方程.0)1(2x0542 xx052 xx02632 xx（5）042322xx（1）（2）（4）(3)（直接开方法）（配方法）（因式分解法）（公式法）（因式分解法） x1=x2=1x1=-1,x2=5x1=0, x2=1512225x,x 若5k+200,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【自主
10、解答】选A.=16+4k= (5k+20),5k+200,0,没有实数根.45根的判别式及根与系数的关系三已知一元二次方程:x2+2x+3=0,x2-2x-3=0,下列说法正确的是()A.都有实数解B.无实数解,有实数解C.有实数解,无实数解D.都无实数解【解析】选B.一元二次方程的判别式的值为= b2-4ac=4-12=-80,所以方程有两个不相等的实数根.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是()A.1 B.-1 C.1或-1D.2【解析】选B.由题意得 x1+x2= , x1x2= ,因为x1-x1x
11、2+x2=1-a,所以 解得a1=1,a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以a=-1.31aa22aa3122111aaaa,a,aaa 即某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.1232一元二次方程的应用四(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运
12、动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?【自主解答】(1)当t=4时,l= 42+ 4=14(cm).答:甲运动4s后的路程是14cm.(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得: +4m=21,解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.213( mm)221232(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=213,解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.213( nn)22【主题升华】一元二次方程解应用题的六个步骤1.审审清题意,找出等量关系.2.设直接设未知
13、数或间接设未知数.3.列根据等量关系列出一元二次方程.4.解解方程,得出未知数的值.5.验既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合 实际情况.6.答完整地写出答案,注意单位.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?【解析】(1)设该项绿化工
14、作原计划每天完成xm2,则提高工作量后每天完成1.2xm2,根据题意,得 ,解得x=22.经检验,x=22是原方程的根.答:该项绿化工作原计划每天完成22m2.(2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m,根据题意,得y(2y-3)=170,解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).2y-3=17.答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.150498 150201 2x. x实际问题设未知数， 列方程数学问题200axbxca解方程降次数学问题的解224402bbacxbaca 检 验实际问题的答案复习归纳(1)直接开平方法x2=b(b 0)(2)因式分解法1、提取公因式法2、平方差公式3
15、、完全平方公式(3) 配方法(4)公式法当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方当b2-4ac0时，方程没有实数根一元二次方程的解法适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程当 时042 acbaacbbx242适应于没有一次项的一元二次方程复习和小结第23章 图形的相似知识构架复习归纳随堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件相似图形位似图形相似多边形相似三角形对应角相等对应边的比相等周长比等于相似比面积比等于相似比平方应用相似三角形的判定知识构架知识构架1. 类似于全等，相似也是图形之间的一种特殊关系，与平移、
16、轴对称、旋转一样，位似也是图形的一种基本变换在本章，我们学习了有关相似图形、相似多边形、相似三角形、位似的一些知识复习归纳复习归纳相似图形一2. 相似多边形有哪些性质？相似多边形对应对角线的比和周长的比都等于相似比，相似多边形的对应边成比例，对应角相等两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行或在一条直线上，位似图形是特殊的相似图形位似图形呢？面积的比等于相似比的平方，以相似多边形三个对应顶点为顶点的对应三角形相似OABCDEABCDE例如，把图中的多边形ABCDE放大1.8倍.4. 连接AB、BC、 ，得多边形ABCDE1. 任取一个点O2. 以点O为端点作射线OA、OB、OC、 3.
17、分别在射线OA、OB、OC、 上取点A、B、C、，使OA：OA=OB: OB = OC: OC = =1.8利用位似将图形放大或缩小二判定两个三角形相似的方法有：（1）三角形相似的定义；（2）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的 延长线）相交构成的三角形与原三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（5）三边对应成比例，两三角形相似（4）两角对应相等，两三角形相似；判定两个三角形相似三（6）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形两个三角形相似的判定与性质与三角形全等的判定与性质相类似，后者是前者的特例，判定两个三角形相似和研
18、究相似三角形时，同样要注意角，边的对应关系除上面方法外，还有下面的方法例如用相似测物体的高度ABCED1.6m8.4m1.2m测山高测楼高相似三角形的应用四测内孔直径ABDEFGH求最大值与最小值 到现在为止，我们已经学习了平移、轴对称、旋转、位似等变换，你能说出它们之间的异同吗？举出一些它们的实际应用的例子，并结合以上内容，体会从运动的角度研究图形的方法1. ABC的三边长分别为5、12、13，与它相似的DEF的最小边长为15，求DEF的其他两条边长和周长解： ABC DEF，设DEF另两边分别为x, y，则x = 36，y = 39，随堂练习随堂练习周长为15+36+39=90.2. 根据
19、下列图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值FGHJI3568yx121=2解： （1）1=2HGF = JIH=90FGHJIH则有x = 4y = 103. 如图，AB、CD相交于点O，AC/BD，求证OAODOBOC.ABCDO证明：AC/BDDOBCOAOAODOB OC4. 如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的距离是6m，假设球反弹后沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：ABO=CDO=90AOB=CODAOBCOD CD=5.4m答：球能碰到墙面离
20、地5.4m高的地方相似三角形：如果两个三角形对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 相似比：三角形对应边的比为k，叫做相似比（或叫做相似系数）.（5）斜边与一条直角边对应成比例，两直角三角形相似判定两个三角形相似的方法有：（1）三角形相似的定义；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（4）三边对应成比例，两三角形相似;（3）两角对应相等，两三角形相似；课堂小结课堂小结相似多边形的性质：2）相似多边形对应对角线的比和周长的比都等于相似比，1）相似多边形的对应边成比例，对应角相等3）面积的比等于相似比的平方，4）以相似多边形三个对应顶点为顶点的对应三角形相似相似多边形应
21、用构建两个图形相似模型，寻找对应边成比例（或对应角相等），解决实际问题重点是构建两个三角形相似 两个多边形的对应顶点的连线交于一点，对应边平行是位似图形，位似图形是相似图形复习和小结第24章 解直角三角形知识构架回顾思考随堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题cabABC知识构架知识构架锐角三角函数sinaAccosbAcbaAtan（两边之比）特殊角的三角函数2130sin2330cos3330tan2245sin2245cos145tan2360sin2160cos360tan3213021145321603060=90解直角三角形
22、A B90a2+b2=c2三角函数关系式计算器由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角AbBcAcatancossinAaBcAcbtansincosBbAbBaAacsincoscossin简单实际问题数学模型解直角三角形梯形组合图形三角形构建作高转化为直角三角形回顾思考回顾思考(2)A的余弦：的余弦：cosA；(3)A的正切：的正切：tanA.易错点 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中230，45，60角的三角函数值sin30，sin45，sin60；cos30，cos45，cos60；tan30，tan45，tan60.3解直角三角形的依据(1)在RtABC中，C9
23、0，a，b，c分别是A，B,C的对边1 三边关系： ；三角关系： ；边角关系：sinAcosB，cosAsinB ，tanA，tanB.(2)直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素a2b2c2A90B解法：一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题1.如图，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC= ，求：（1）
24、DC的长；（2）sinB的值53分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtACD和ABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由此可列方程求出CDABCD随堂练习随堂练习解：（1）设CDx，在RtACD中，cosADC= ,又BCCDBD解得x=6CD=6ABCD(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD在在RtACD中中在在RtABC中中解析 要求ABC的周长，先通过解RtADC求出CD和AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39.(1)求大楼与电视塔之间
25、的距离AC；(2)求大楼的高度CD(精确到1米)解析 (1)利用ABC是等腰直角三角形易得AC的长；(2)在RtBDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可ABCbac课堂小结课堂小结解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况的答案解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中对于较复杂的图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起，从
26、而达到解题的目的复习和小结第25章 随机事件的概率知识构架回顾思考随堂练习课堂小结九年级数学上（HS） 教学课件随机事件概 率 用列举法求概率 用频率估计概率知识构架知识构架1.确定事件 （2）在一定条件下不可能发生的事件，叫做2.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.3.事件发生的概率与事件发生的频率有什么关系？ 必然事件.（1）在一定条件下必然要发生的事件，叫做不可能事件.回顾思考回顾思考 在多次试验中，某个事件出现的次数叫 ，某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的 ，一个事件在多次试验中发生的可能性叫做这个事件发生的 .频数、频率、概率（1）一般地
27、，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 P 附近，那么，这个常数 P就叫作事件A的概率，事件A发生的频率是：在n次试验中，事件A发生的频数m与 n 的比.（2）求一个事件的概率的基本方法是：进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.（3）对于某些随机事件也可以不通过重复试验，而只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算概率.例如：掷两枚硬币，求两枚硬币正面向上的概率.一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率为：6.如何用列举法求概率？5.在什么条件下适用P(A） 得到事件的概率？当
28、事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经过两步完成时用列表法，当事件要经过三步及以上完成时用树状图法. mn1.下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了三个相等的扇形，小明和小亮用它们做配紫色（红色与蓝色能配成紫色）游戏，你认为配成紫色与配不成紫色的概率相同吗? A 红 红 蓝 （红，红）（蓝，红） （蓝，红） （红，红）（蓝，红） （蓝，红） （红，蓝）（蓝，蓝） （蓝，蓝） 红 蓝 蓝 B随堂练习随堂练习AB一共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，(红，蓝）能配紫色的有5种，概率为 ；不能配紫色的有4种，概率为 ，它们的概率不相同.59492.一个桶里有60个弹珠,一些是
29、红色的，一些是蓝色的，一些是白色的.拿出红色弹珠的概率是35%，拿出蓝色弹珠的概率是25%,桶里每种颜色的弹珠各有多少？解：6035%=21（个）， 6025%=15（个）， 60-21-15=24（个）.答：桶内有红色弹珠21个，蓝色弹珠15个，白色弹珠 24个. 3.将一枚硬币连掷3次，出现“两反，一正”的概率是多少？开始正反正反正反正反正反正反正反解:根据题意，画出如下树状图，故P（两反，一正）=384.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，请用列表法或树状图法，求选出的恰为一男一女的概率解：列表如下：男男男女女男（男，男） （男，男） （女，男）（
30、女，男）男（男，男）（男，男） （女，男）（女，男）男（男，男） （男，男）（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女） （男，女） （女，女）女（男，女）（男，女） （男，女） （女，女）所有等可能的情况有20种，其中一男一女的情况有12种，则P(一男一女）= 2.必然事件A，则P(A)； 不可能事件B，则P(B)=0；随机事件C，则0P(C)1.1.概率的定义及基本性质如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= .0mn，有0 1课堂小结课堂小结当事件要经过一步完成时列举出所有可能情况，当事件要经过两步完成时用列表法，当事件要经过三步以上完成时用树状图法. 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生概率.
