1、第3章 解析函数的级数表示l 复变函数项级数(特别是幂级数)的基本概念l 怎样将圆域和环域内的解析函数分别展开为泰勒级数和洛朗级数这将从另一个侧面揭示解析函数的本质，具有十分重要的理论价值与实用价值;l 介绍零点和孤立奇点的定义和性质，为第4章“留数定理及其应用”做准备23为什么要研究级数？l级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；l常微分方程的级数解。4以下问题值得关心：(1)级数的敛散性；(2) 级数收敛的定义、条件、判据；(3) 收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。3.1 复变函数项级数收敛与发散的定义，以及级数收敛的充要条件;绝对收敛级数和一致收敛级数的定义、判别法和性质63.1.
2、1 复变函数项级数的敛散性复变函数项级数的敛散性l的无穷级数称为复变函数的无穷级数称为复变函数项项级数，式级数，式中中z为为复变数复变数，wk(z)是是复变函数复变函数(3.1.1) l形如形如7(1) 收敛与发散的定义收敛与发散的定义l当当n时，若级数时，若级数(3.1.1)的部分和的部分和 的的极限存在，即，即 l则称级数则称级数 wk(z) 在在z点点收敛, S(z)称为级数称为级数在在z点的和；否则称级数在点的和；否则称级数在z点点发散l若级数在区域若级数在区域D(或曲线或曲线L)上所有的点收敛，上所有的点收敛，则称级数在则称级数在D(或或L)上收敛，级数收敛的区域上收敛，级数收敛的区
3、域称为收敛域称为收敛域8(2) 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 (3.1.4)l证明证明 由级数收敛的定义由级数收敛的定义(3.1.3)可得级数收敛可得级数收敛的必要条件的必要条件(3) 级数收敛的充要条件级数收敛的充要条件l任给任给e e0,存在正整数存在正整数N(e e, z)，使当，使当nN(e e,z)时，时，对任意自然数对任意自然数p,有有l则级数则级数 在在z点收敛点收敛93.1.2 绝对收敛级数的绝对收敛级数的定义定义、 判别法判别法和和性质性质1. 绝对收敛级数的定义绝对收敛级数的定义l若级数若级数 在在z点收敛，点收敛， l则称级数则称级数 在在z点点绝对收敛.102.
4、 绝对收敛级数的判别法绝对收敛级数的判别法l级数级数 的每一项是正实数，故的每一项是正实数，故 绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法，绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法，包括包括u达朗贝尔达朗贝尔(dAlembert)判别法、判别法、u柯西判别法、柯西判别法、u高斯高斯(Gauss)判别法判别法l它们大都在高等数学中讨论过，除高斯判别它们大都在高等数学中讨论过，除高斯判别法的证明放在习题中外，其余不再证明法的证明放在习题中外，其余不再证明l为醒目起见，列于表为醒目起见，列于表3-1.表表3-1中的判别法可中的判别法可用来计算幂级数的用来计算幂级数的收敛半径收敛半径(见见3.2节节) 1112
5、3. 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质l(1) 绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得级数仍绝对收敛且级数和不变得级数仍绝对收敛且级数和不变l(2) 两个绝对收敛级数两个绝对收敛级数 和和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数，可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数，且收敛于且收敛于S S ，即，即 1314【例例3.1.1】试证明，在区域试证明，在区域|z|0，存在与，存在与z无关的正整数无关的正整数N(e e)，使当，使当nN(e e)时，对于时，对于D(或或l)上的上的z，均有，均有|S(z)一一Sn(z)|e e (3.1.8)l则称则称 在在D(
6、或或l上上)一致收敛于一致收敛于S(z)17设级数设级数 定义在区域定义在区域D(或曲线或曲线l)上上2.级数一致收敛的充要条件级数一致收敛的充要条件l任给任给 e e0，存在与，存在与z无关的正整数无关的正整数N(e e)，使当，使当nN(e e)时，对任意自然数时，对任意自然数p,有有 l则称则称 在在D(或或l上上)一致收敛一致收敛18讨论讨论l第一，级数在第一，级数在D(或或 l )上收敛与一致收敛的差上收敛与一致收敛的差别仅在于：要使式别仅在于：要使式 (3.1.5)它与式它与式(3.1.9)形式形式上完全相同成立，前者的上完全相同成立，前者的N(e e,z)可依赖于可依赖于e e,
7、z，而后者的而后者的N(e e)仅能依赖于仅能依赖于e e，而不能依赖于，而不能依赖于z (参见习题参见习题3.1.3).l 第二，第二，“绝对收敛绝对收敛”与与“一致收敛一致收敛”对级数对级数提出不同的要求：提出不同的要求：n有的级数绝对收敛而不一致收敛；有的级数绝对收敛而不一致收敛；n有的级数不绝对收敛而一致收敛；有的级数不绝对收敛而一致收敛；n也有的级数既绝对且一致收敛也有的级数既绝对且一致收敛(见习题见习题3.1.4)19【例例3.1.2】试指出复变函数项级数试指出复变函数项级数202122l这个例子说明了这个例子说明了收敛与一致收敛收敛与一致收敛两者的差异两者的差异233. 级数一致
8、收敛的判别法级数一致收敛的判别法l 除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还有两个很有用的判别法，如表有两个很有用的判别法，如表3-2所示所示352426244. 一致收敛级数的重要性质一致收敛级数的重要性质l一致收敛级数一致收敛级数的三个的三个性质性质的的 条件条件与与结论结论之间的之间的联系联系列于表列于表3-3.l一致收敛级数性质一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题的证明见习题3.1.5和习题和习题3.1.6；l这里仅证明性质这里仅证明性质(3)，即证明，即证明 性质性质(3) 魏尔斯魏尔斯特拉斯特拉斯(Weierstrass)定
9、理定理2526魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理定理l若级数若级数 在在D的边界的边界L上一致收敛于上一致收敛于S(z);每一项每一项wk(z)在在D解析，则解析，则27证明证明 性质性质(3) 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理定理l证明证明 设设x x为边界为边界L上任一点，上任一点，z为区域为区域D中的任中的任一内点一内点 (1) 证明证明 在在D内解析内解析l已知级数的每一项已知级数的每一项wk(z)在在D上解析，由柯西公上解析，由柯西公式得式得l 已知级数已知级数 在在L上一致收敛，而上一致收敛，而l 在边界在边界L上有界，根据一上有界，根据一
10、致收敛级数的致收敛级数的判别法判别法2，级数，级数 在在L上也一致收敛。上也一致收敛。(3.1.13)28利用式利用式(3.1.13)及各项连续的一致收敛级数可以及各项连续的一致收敛级数可以逐项积分逐项积分(见式见式(3.1.11)，即得，即得l这表明，这表明，S(z)可以表示为柯西型积分可以表示为柯西型积分(见式见式(2.3.23)因此，因此，S(z)在在D内解析。内解析。(3.1.14)29(2)证明证明 可在可在D内逐项求导任意多次内逐项求导任意多次在边界在边界L上有界，根据一致收敛级数上有界，根据一致收敛级数判别法判别法2，级数级数 在在L上也一致收敛。上也一致收敛。 l由由S(z)在
11、在D内解析，高阶导数公式为内解析，高阶导数公式为(3.1.15)30利用式利用式(3.1.15)及各项连续的一致收敛级数可以及各项连续的一致收敛级数可以逐项积分，便有逐项积分，便有 (3.1.16) 31 讨论讨论 的解析区域与所有的解析区域与所有wk(z)的共同解析区域相同；但是的共同解析区域相同；但是 的解析区域与所有的解析区域与所有wk(z)共同的解析区域不一定相同共同的解析区域不一定相同,这是无穷多项函数和与有限项函数和的差别这是无穷多项函数和与有限项函数和的差别一致收敛，使得一致收敛，使得S(z)仅在此开圆的内部解析仅在此开圆的内部解析32l总之，对于有限项函数的和总之，对于有限项函
12、数的和 如部分和如部分和Sn(z)而言，只要每一项连续，则有限项函数的和而言，只要每一项连续，则有限项函数的和就连续就连续(即可逐项求极限即可逐项求极限)，并可逐项积分；，并可逐项积分；只要每一项解析，有限项函数的和就可逐项只要每一项解析，有限项函数的和就可逐项求导求导l但对无穷多项函数的和但对无穷多项函数的和 如级数和如级数和S(z) 而言，而言，就要求级数一致收敛才具有上述性质就要求级数一致收敛才具有上述性质33作业作业- 3.1 第第52-53页页Group 1Group 2Group 31.3.1.11.3.1.21.3.1.33.2 幂级数本节介绍阿贝尔(Abel)定理，收敛圆与收敛
13、半径，幂级数在收敛圆内的性质，以及计算幂级数收敛半径的方法 .35l幂级数是由幂函数组成的无穹级数幂级数是由幂函数组成的无穹级数l其中所有的其中所有的ak和和b为为复常数，b点称为幂级数点称为幂级数的中心，的中心，ak 为幂级数的系数。为幂级数的系数。kkkkkbzabzaabza)()()(1100(3.2.1) 363.2.1 阿贝尔定理阿贝尔定理l定理定理 若幂级数若幂级数 ，在某点，在某点z0收敛，收敛，则级数在以则级数在以b点为圆心点为圆心, |z0- -b|为半径的圆内绝为半径的圆内绝对收敛，并在对收敛，并在|z-b|q| z0- -b| (0q1) (3.2.2)的闭圆上一致收敛
14、的闭圆上一致收敛37证明证明 证明的关键是要找到一个收敛的证明的关键是要找到一个收敛的正项级数正项级数l因级数在因级数在z0点收敛，由级数收敛的必要条件点收敛，由级数收敛的必要条件 可知，必存在正数可知，必存在正数M,对对所有所有k均有均有|ak(z0- -b)k|M (3.2.3)l这样，当这样，当|z- -b|z0- -b| 时，有时，有38显然显然 是收敛的正项级数。是收敛的正项级数。由绝对由绝对收敛级数的比较判别法可知收敛级数的比较判别法可知 , 在在 |z- -b| |z0- -b|内绝对收敛；内绝对收敛；l由一致的收敛级数的由一致的收敛级数的判别法判别法1可知可知, 在闭圆在闭圆
15、|z- -b|z0- -b|上一致收上一致收敛敛) 10()bz ()bz ()bz (a)bz (ak0kk0kkkqMqk39阿贝尔定理阿贝尔定理 推论推论 l若若 在在z = z1发散，发散， 则级数必在圆则级数必在圆|z-b|= |z1-b|的外部发散的外部发散l证明证明 用反证法证明用反证法证明 设级数设级数 在圆在圆|z-b|= |z1-b|外的外的z2点收敛点收敛(|z2-b| |z1-b|)由阿贝尔定理可知，由阿贝尔定理可知，该级数必在圆该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛内收敛(z1点在该收敛点在该收敛内内)，这与级数在，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论点发散的假
16、设矛盾，推论得证得证403.2.2 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径l阿贝尔定理及其推论表明：阿贝尔定理及其推论表明：l(1)幂级数幂级数 在某在某点收敛，必在离中心点收敛，必在离中心b更近更近的点收敛；的点收敛；l(2)幂级数幂级数 在在某点发散，必在离中心某点发散，必在离中心b更更远的点发散远的点发散oz2 z1yx41l因此，幂级数的收敛区域与发散区域是不会因此，幂级数的收敛区域与发散区域是不会交替出现的，即必然存在一个以交替出现的，即必然存在一个以b为圆心的圆，为圆心的圆，在圆内绝对收敛在圆内绝对收敛(并在稍小的闭圆内一致收并在稍小的闭圆内一致收敛敛)，在圆外发散这个，在圆外发散这个圆
17、称为该幂级数的收圆称为该幂级数的收敛圆，圆的半径敛圆，圆的半径R R称为该幂级数的收敛半径称为该幂级数的收敛半径l收敛半径收敛半径R可为零，可为有限值，也可为可为零，可为有限值，也可为。uR=0表示除表示除z=b外，幂级数在全平面发散外，幂级数在全平面发散;uR= 表示幂级数在全平面收敛表示幂级数在全平面收敛423.2.3 幂级数在收敛圆内的性质幂级数在收敛圆内的性质l性质性质1 幂级数在收敛圆内解析，且可逐项求导任意幂级数在收敛圆内解析，且可逐项求导任意多次多次l证明既然幂级数在收敛圆内满足魏尔斯特拉斯定理证明既然幂级数在收敛圆内满足魏尔斯特拉斯定理要求的两个条件：要求的两个条件：u(1)、
18、幂级数在比收敛圆略小的闭圆、幂级数在比收敛圆略小的闭圆D D的边界上一致收的边界上一致收敛敛(根据阿贝尔定理根据阿贝尔定理)；u(2)、幂级数的每一项在闭圆、幂级数的每一项在闭圆D D上解析上解析l由魏尔斯特拉斯定理可得，由魏尔斯特拉斯定理可得， 在在D D内解析，且可逐项求导任意多次内解析，且可逐项求导任意多次l这表明，幂级数这表明，幂级数 在收敛圆内在收敛圆内代表一个解析函数代表一个解析函数43性质性质2 幂级数可沿收敛圆内任意曲线幂级数可沿收敛圆内任意曲线 l 逐项积分逐项积分l证明证明 既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性质质2要求的条件：要求的
19、条件：u(1)、幂级数在收敛圆内的任意曲线、幂级数在收敛圆内的任意曲线l上一致收敛于上一致收敛于S(z)(根据阿贝尔定理）；根据阿贝尔定理）；u(2)、幂级数的每一项在收敛圆内的任意曲线、幂级数的每一项在收敛圆内的任意曲线Z上连上连续续l由一致收敛级数的性质由一致收敛级数的性质2可知，可知， 可在曲线可在曲线l上逐项积分上逐项积分l可以证明，对幂级数逐项求导或逐项积分后，不改可以证明，对幂级数逐项求导或逐项积分后，不改变幂级数的收敛半径（见习题变幂级数的收敛半径（见习题3.2.1) 443.2.4计算幂级数收敛半径的方法计算幂级数收敛半径的方法l可以采用许多不同方法计算幂级数的收敛半可以采用许
20、多不同方法计算幂级数的收敛半径，最常用的方法如下径，最常用的方法如下u1. 根式法根式法u 2.比值法比值法 u 3.奇点法奇点法 u4.逐项微分或逐项积分法逐项微分或逐项积分法 451.根式法根式法l由根式判别法可知，若由根式判别法可知，若(3.2.4) (3.2.5) 46472.比值法比值法l由比值判别法得由比值判别法得(3.2.7) 483.奇点法奇点法l既然幂级数在收敛圆内解析既然幂级数在收敛圆内解析(见幂级数在收敛见幂级数在收敛圆内的性质圆内的性质1)，因此幂级数在收敛圆周上或，因此幂级数在收敛圆周上或在收敛圆周外在收敛圆周外(无限接近收敛圆周）必有奇无限接近收敛圆周）必有奇点点l
21、这表明，由幂级数中心这表明，由幂级数中心b到幂级数到幂级数S (z)最近的最近的奇点的距离就是幂级数的收敛半径奇点的距离就是幂级数的收敛半径R.l这种方法常常在将函数展开为泰勒级数时应这种方法常常在将函数展开为泰勒级数时应用用(见见3.3节）节） 494.逐项微分或逐项积分法逐项微分或逐项积分法l若若 的收敛半径的收敛半径Ro已知，且已知，且 (3.2.9)l则幂级数则幂级数 及及 的收敛半径的收敛半径 R=R050【例例3.2.1】求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径l 解解 用比值法计算，得用比值法计算，得51【例例3.2.2】求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径l解解 用根式法计算，
22、得用根式法计算，得l上面两次应用了洛必达上面两次应用了洛必达(LHospital)法则法则52【例例3.2.3】求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径l解解 (方法一）根式法因为方法一）根式法因为a2k+1=0,a2k=32k 序列序列 有两个聚点：下极限为有两个聚点：下极限为0，上极限为上极限为3，故，故53 (方法二）比值法方法二）比值法l因为因为a2k+1=0不能由相邻两项系数之比的极限不能由相邻两项系数之比的极限求求R，但可将级数化为如下两个级数之和，但可将级数化为如下两个级数之和 l由比值法易得两级数之由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设，故题设级数的级数的R=1/354
23、(方法三）变量代换法方法三）变量代换法l令令w=(3z)2，则，则 ，易见，易见w平面与平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为平面中级数收敛半径的关系亦为55l既然幂级数在收敛圆内收敛，既然幂级数在收敛圆内收敛，在收敛圆外发散在收敛圆外发散l那么，在收敛圆周上情况怎样那么，在收敛圆周上情况怎样呢？呢？565758【例例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径已知下述幂级数的收敛半径R=1，问它们在收敛圆周上的敛散性如何？问它们在收敛圆周上的敛散性如何？l解解 (1) 在收敛圆周上点点发散在收敛圆周上点点发散 因为收敛的必要条件是因为收敛的必要条件是 ，在收敛，在收敛圆周上点点圆周上点点 点点不收点点
24、不收敛敛 59(2) 在收敛圆周上的在收敛圆周上的z=1发散，其余收敛发散，其余收敛lz=1时级数成为调和级数时级数成为调和级数 ，在高等，在高等数学中已证明调和级数发散数学中已证明调和级数发散l由由高斯判别法高斯判别法还可证明，在还可证明，在|z|=1圆周上圆周上l既然既然m m=1，故，故 在在|z|=1点点发散点点发散(即即不绝对收敛，不绝对收敛， 但但 是否收敛呢？是否收敛呢？60l收敛圆上收敛圆上z=eiq q，可以利用级数收敛的充要条，可以利用级数收敛的充要条件证明件证明， 在在|z|=1的周上，除的周上，除z=1点点外，点点收敛。原因在于外，点点收敛。原因在于 的各项的各项辐角均
25、为零，使其和为无穷大导致发散；辐角均为零，使其和为无穷大导致发散； 而而 (除除z=1点外）各项辐角不同，各矢点外）各项辐角不同，各矢量首尾相接形成一蜷线，其矢量和的长度是量首尾相接形成一蜷线，其矢量和的长度是有限量有限量 胡嗣柱，徐建军数学物理方法解题指胡嗣柱，徐建军数学物理方法解题指导北京：高等教育出版社，导北京：高等教育出版社，19976161l (3) 收敛圆周上点点绝对收敛。实际上收敛圆周上点点绝对收敛。实际上l后者为等比级数，公比后者为等比级数，公比q=1/2，故在圆周上点，故在圆周上点点绝对收敛。点绝对收敛。62【例例3.2.5】求幂级数求幂级数 的收敛半的收敛半径径R的值，以及
26、收敛圆内的级数和的值，以及收敛圆内的级数和S(z)的值，的值，在收敛圆周上级数是否绝对收敛？在收敛圆周上级数是否绝对收敛？l解解 (1) 用比值法计算收敛半径用比值法计算收敛半径Rl(2)求在收敛圆内的级数和求在收敛圆内的级数和S(z)63注意，逐项求导以及注意，逐项求导以及 都仅在都仅在|z|l 成立将上式从成立将上式从0到到z积分，得积分，得l这里只讨论对数函数的主值支；上式仅在收敛圆内这里只讨论对数函数的主值支；上式仅在收敛圆内成立；在收敛圆内级数和成立；在收敛圆内级数和S(z)是一个解析函数。是一个解析函数。64 (3) 在收敛圆周上，级数点点绝对收敛在收敛圆周上，级数点点绝对收敛l上
27、例已证明正项级数上例已证明正项级数 收敛。收敛。当当|z|=1时，级数时，级数 的的|wk(z)|mk.由由比较判别法比较判别法可知，级数可知，级数 绝对收敛绝对收敛65作业作业- 3.2 第第59页页Group 1Group 2Group 31.3.2.12.3.2.2.(3)(6)1.3.2.12.3.2.2.(2)(4)1.3.2.12.3.2.2.(1)(5)3.3 解析函数的泰勒展开解析函数的泰勒展开本节将解析函数在其收敛圆内展开为幂级数，称为泰勒级数，随后介绍常用的几种展开方法阿贝尔定理和本节介绍的泰勒定理从正反两个方面揭示了解析函数与收敛圆内幂级数之间的关系67 3.3.1 泰勒
28、定理泰勒定理l 定理定理 设函数设函数f(z)在圆域在圆域|z-b|R内解析，则内解析，则f(z)可在圆内任意点可在圆内任意点z展开为泰勒级数展开为泰勒级数 展开系数展开系数ak称为泰勒系数称为泰勒系数l证明证明 由于由于f(z)在在CR上不一定上不一定解析，今以解析，今以b为圆心作一圆周为圆心作一圆周Cr r，使，使z在在Cr r内部内部(图图3.1)。l定理的证明共有三个中心环定理的证明共有三个中心环节节 68(1)由柯西公式出发由柯西公式出发式中为式中为x x为为Cr r上的点，因而上的点，因而|x x- -b|z- -b| (3.3.2) (3.3.3) 69代入柯西公式，得代入柯西公
29、式，得 l(3)交换积分与叠加的次序交换积分与叠加的次序(即逐项积分）由即逐项积分）由于于 |f(x x)| 在在Cr r上有界，级数上有界，级数 , 在在Cr r上一致收敛；由一致收敛级数的判别法上一致收敛；由一致收敛级数的判别法2可知级数可知级数 在在Cr r上一致收敛。上一致收敛。其次，级数各项在其次，级数各项在Cr r上连续。上连续。70根据一致收敛级数的性质根据一致收敛级数的性质2，该级数可沿，该级数可沿Cr r逐项积分逐项积分l应用高阶导数公式，便有应用高阶导数公式，便有定理得证定理得证71讨论讨论l第一，解析函数的泰勒展开是唯一的第一，解析函数的泰勒展开是唯一的u设设f(z)能展
30、开为另一形式能展开为另一形式u将式将式(3.3.6)对对z求求k阶导数后，令阶导数后，令z=b，即可证明，即可证明l第二，泰勒级数的收敛半径，最简单的判断方第二，泰勒级数的收敛半径，最简单的判断方法是：若法是：若f (z)最靠近展开中心最靠近展开中心b的奇点为的奇点为g，则，则由由g到到b点的距离点的距离R=|g- -b|即为收敛半径即为收敛半径72l第三，泰勒定理与阿贝尔定理指出了解析函数与泰第三，泰勒定理与阿贝尔定理指出了解析函数与泰勒级数的关系勒级数的关系l阿贝尔定理指出，在收敛圆内幂级数阿贝尔定理指出，在收敛圆内幂级数 的和函数的和函数S(z)是解析函数；泰勒定理指出，在圆内是解析函数
31、；泰勒定理指出，在圆内的解析函数可展为幂级数的解析函数可展为幂级数 l这一对定理揭示了解析函数与收敛圆内的幂级数这一对定理揭示了解析函数与收敛圆内的幂级数(泰泰勒级数勒级数)的关系的关系l这种关系在实变函数中是没有的特别是，如果这种关系在实变函数中是没有的特别是，如果f(z)在在D内有一阶导数存在，则内有一阶导数存在，则f(z)在在D内就有无穷多阶内就有无穷多阶导数存在，因而导数存在，因而f(z)可在可在D内任一点的邻域展开为泰内任一点的邻域展开为泰勒级数勒级数l但在实变函数中但在实变函数中, f(x)的一阶导数存在，它的二阶及的一阶导数存在，它的二阶及高阶导数就不一定存在，就不能保证可以展开
32、为泰高阶导数就不一定存在，就不能保证可以展开为泰勒级数勒级数.733.3.2 将解析函数展开为泰勒级数的方法将解析函数展开为泰勒级数的方法l1.直接计算泰勒系数直接计算泰勒系数l2.换元法换元法l3.利用两个绝时对收敛的幂级数的乘积或商利用两个绝时对收敛的幂级数的乘积或商l4.在收敛圆内逐项求导在收敛圆内逐项求导 741.直接计算泰勒系数直接计算泰勒系数【例例3.3.1】试以试以z=0为中心将为中心将f(z)=ln(1+ +z)/(1- -z)展开为泰勒级数展开为泰勒级数解解 为求各阶泰勒系数为求各阶泰勒系数ak先求先求f(z)的各阶导数的各阶导数, 即即75762.换元法换元法l在初等函数的
33、泰勒级数中通过换在初等函数的泰勒级数中通过换元得到待求级数元得到待求级数77【例例3.3.2】试分别以试分别以z0及及z=1为中心将为中心将 f(z)=(z-1)/(1+z)展开为泰勒级数展开为泰勒级数, 并指出其收敛半径并指出其收敛半径.l解解 利用初等函数的泰勒级数利用初等函数的泰勒级数 来展开来展开f (z) .l(1)以以z=0为展开中心令为展开中心令t=- -z，可得，可得f(z)唯一的奇点唯一的奇点z=-1到展开中心的距离为到展开中心的距离为1,故故R=1.78 (2)以以z=1为展开中心令为展开中心令t=-(z-1)/2可得可得lf(z)唯一的奇点唯一的奇点z=-1到展开中心的距
34、离为到展开中心的距离为2，故故R=2.l本题还表明，以不同的中心展开同一函数本题还表明，以不同的中心展开同一函数f(z)，不仅幂函数不仅幂函数zk与与(z-1)k不同，而且泰勒系数不同，而且泰勒系数ak也不同也不同79【例例3.3.2】以以z=0为中心在为中心在|z|1区域展开区域展开f(z)=l解解 先将分子与分母分别展开为幂级数先将分子与分母分别展开为幂级数l这两个级数均在这两个级数均在|z|1内绝对收敛，它们的乘内绝对收敛，它们的乘积也在积也在|z|1内绝对收敛内绝对收敛(证明方法与实变函数证明方法与实变函数类似类似)，利用，利用“多项式多项式”的乘法的乘法将它们相乘将它们相乘(实际上有
35、无穷多项）：实际上有无穷多项）： 80由此可得由此可得81l利用幂级数的商展开，利用幂级数的商展开，u通过通过cosz的泰勒级数求得的泰勒级数求得secz =1/cosz的泰勒级数的泰勒级数(见习题见习题3.3.3) u通过通过sinz和和cosz的泰勒级数求得的泰勒级数求得tanz的的泰勒级数泰勒级数824.在收效圆内逐项求导在收效圆内逐项求导l【例例3.3.4】试以试以z=0为中心展开为中心展开f(z) =1/(1-z)2为泰勒级数为泰勒级数l解解 先展开先展开1/(1-z)为级数，再逐项求导可得为级数，再逐项求导可得83l【例例3.3.5】取取arctanz=0，试以，试以z=0为中心展
36、开为中心展开arctanz为泰勒级数为泰勒级数84【例例3.3.6】试用逐项积分法以试用逐项积分法以z=0为中心将为中心将f(z)=ln(1+ +z)/(1- -z)展开为泰勒级数展开为泰勒级数(例例3.3.1 ) 展开为级数后，通过级数的逐项积分可得展开为级数后，通过级数的逐项积分可得 85l可见直接计算泰勒系数不是好方法可见直接计算泰勒系数不是好方法 866.待定系数法待定系数法l【例例3.3.7】试以试以z=0为中心将为中心将f(z)=exp1/(1-z)展开为泰勒级数展开为泰勒级数l解解 设设f(z)可展开为泰勒级数可展开为泰勒级数 现寻找泰勒系数遵守的方程为此，求现寻找泰勒系数遵守的
37、方程为此，求f(z)的的导数，得导数，得8788由由zk的同次幂项系数之和为零，即得的同次幂项系数之和为零，即得l由此得由此得89作业作业- 3.3 第第65页页Group 1Group 2Group 31.3.3.12.3.3.2.(4)3.3.3.44.3.3.81.3.3.12.3.3.2.(3)3.3.3.44.3.3.71.3.3.12.3.3.2.(2)3.3.3.44.3.3.51 1 Laurent级数的概念级数的概念2 2 函数的函数的Laurent级数展开级数展开3 3 典型例题典型例题3.4 3.4 解析函数的洛朗展开 Laurent级数913.4.1 Laurent 级
38、数的概念如果函数如果函数f (z)在在z0点解析点解析, 则在则在z0的某邻域内的某邻域内, 可可展开为展开为Taylor级数级数, 其各项由其各项由z-z0的非负幂组成的非负幂组成. 如果如果f (z)在圆环域在圆环域 201RzzR 内解析内解析, 则则 f (z)在这在这个圆环域内不一定都能展开为个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数的幂级数. 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即即Laurent级数级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数它将在后面讨论孤立奇点与留数及及Z变换理论中起重要作用变换理论中起重要作用.920() .nnnczz 负
39、幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分nnnnzzc)(0 nnnzzc )(01这种双边幂级数的形式为这种双边幂级数的形式为同时收敛同时收敛 Laurent级数级数 nnnzzc)(00 收敛收敛93nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径R收敛收敛时时,R 201RRzz收敛域收敛域收敛半径收敛半径R210Rzz收敛域收敛域21 (1):RR若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(12RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.102RzzR94结论结论: :的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级
40、数数nnnzzc)(0 .102RzzR圆环域2R1R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域: :1R.0z100Rzz2R.0z02zzR 00zz.0z95(1)(1) 幂级数的收敛幂级数的收敛域域是圆域是圆域, ,且和函数在且和函数在收敛收敛域域 内解析内解析. .(2) (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数. .对于对于Laurent级数，已经知道：级数，已经知道： Laurent级数的收敛级数的收敛域域是圆环域，且和函数是圆环域，且和函数在圆环域内解析在圆环域内解析. . 问题问题: : 在圆环域内解析的函数是否可以展开在圆环域内解析的函数
41、是否可以展开成成Laurent级数级数? ?对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题: :963.4.2 函数的Laurent 级数展开定理定理 (Laurent展开定理展开定理) 设设 210,RR 函数函数f (z)在圆环域在圆环域 201RzzR 内解析内解析, 则函数则函数f (z) 在此环域内可展开为在此环域内可展开为Laurent级数级数 0201( )() ,nnnf zczzRzzR 其中其中101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz C是圆是圆周周 的正向的正向. 021 ()zzR RRR 9798 证明证明 由于
42、由于f(z)在在CR1 1和和CR2 2上不一定解析，上不一定解析， 取取r r1, r, r2满足满足R2r r2|z-b|r r1R1 (3.4.3)l这样，这样，f(z)在在圆圆Cr1r1和和Cr2r2所围所围的闭复通区域的闭复通区域D D内解析内解析l根据复通区域的柯西公式根据复通区域的柯西公式 l现在分别将两项展开为级数：现在分别将两项展开为级数：(3.4.4) 99 (1)沿沿Cr r1的积分。的积分。l因为因为x x为积分曲线为积分曲线Cr r1 上的点，上的点，z点在点在Cr r1的内的内部，故有部，故有R1| x x-b| |z-b| .仿照泰勒定理的仿照泰勒定理的证明，式证
43、明，式(3.4.4)沿沿Cr r1的积分可写为的积分可写为100(2)沿沿Cr r2的积分的积分l因为因为Cr r2为积分曲线为积分曲线Cr r2上的点，上的点，z点在点在Cr r2 的的外部，故有外部，故有R2|x x-b|z-b|，因而因而 101l既然既然 |(x x-b)/(z-b)| 1，级数绝对收敛，类似，级数绝对收敛，类似地，沿地，沿Cr r2的积分可写为的积分可写为l其中式其中式(3.4.6)的负号已将沿顺时针方向的积的负号已将沿顺时针方向的积分换向令分换向令k=- -(n+1)，当，当n=0到到时，时，k将由将由- -1到到- - ，故，故(3.4.8) 102(3)洛朗系数
44、的计算洛朗系数的计算l由柯西定理的推论由柯西定理的推论3可知，式可知，式(3.4.5)中沿中沿Cr r1的积的积分与式分与式 (3.4.8)中沿中沿Cr r2的积分相等，并且等于沿的积分相等，并且等于沿环内环绕内圆任一回路环内环绕内圆任一回路Cr r2的积分，即的积分，即l将式将式(3.4.5)，式，式(3.4.8)和式和式(3.4.9）代入式）代入式(3.4.4)，即有即有103104讨论讨论第一，洛朗展开系数第一，洛朗展开系数 l这是因为这是因为f(z)仅在环域仅在环域R2|z-b| R1,内解析，内解析，而高阶导数公式而高阶导数公式l仅当仅当f(z)在闭曲线在闭曲线Cr r内部解析才成立
45、内部解析才成立 105第二，洛朗级数在环域第二，洛朗级数在环域R2|z-b|R1内绝对收内绝对收敛，并在其内的任一闭环域内一致收敛敛，并在其内的任一闭环域内一致收敛l洛朗展开式的正幂项称为它的解析部分洛朗展开式的正幂项称为它的解析部分(也称也称正则部分），它在圆正则部分），它在圆CR1内内(|z-b| R2 ) 绝对收敛，在圆绝对收敛，在圆CR2外任外任一闭区域上一致收敛一闭区域上一致收敛;l两者之和在它们共同绝对收敛的区域绝对收两者之和在它们共同绝对收敛的区域绝对收敛，在共同一致收敛的区域一致收敛。敛，在共同一致收敛的区域一致收敛。106第三第三, , 洛朗展开是唯一的洛朗展开是唯一的 设设
46、f(z)的展开为另一形式的展开为另一形式l为证明为证明Ak与与ak相等，将式相等，将式(3.4.12)的的z改写为改写为x x，用用2 i(x x- -b)m+1除式除式(3.4.12）后代入洛朗系数公）后代入洛朗系数公式，可得式，可得 (3.4.13)107将函数在圆环域内展开成将函数在圆环域内展开成Laurent级数级数, 理论理论(1) 直接方法直接方法 直接直接计算展开式系数计算展开式系数然后写出然后写出Laurent展开式展开式.)()(0nnnzzczf 这种方法只有理论意义这种方法只有理论意义, 而没有实用价值而没有实用价值. 就是就是 上应该有两种方法上应该有两种方法: 直接方
47、法与间接方法直接方法与间接方法.101( )d (0, 1, 2,),2()nnCf zcz nizz 说说, 只有在进行理论推导时只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法才使用这种表示方法.108 根据解析函数根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性级数展开式的惟一性,可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将函数展开成函数展开成Laurent 级数级数.(2) 间接方法间接方法这是将函数展开成这是将函数展开成Laurent 级数的级数的常用方法常用方法. . 给定函数给定函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后, 函函数在
48、各个不同的圆环域中有不同的数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式展开式(包括包括Taylor展开式作为特例展开式作为特例). 这与这与Laurent展开式展开式的惟一性并不矛盾的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一在同一圆环域内的展开式惟一.109(1) 01;z(2) 12;z(3) 2;z 内展开成内展开成Laurent级数级数.例例3.173.17 将函数将函数1 ( )(1)(2)f zzz 在圆环域在圆环域(4) 011z 处都解析处都解析, 并且可分解为并且可分解为 11( ).12f zzz 3.4.3 典型例题函数函数f (z)在在z=1和和z=2处处不解析
49、不解析, 在其它点在其它点110oxy1(1) 在在 内内, 有有 则则 1z 1,2z 211,1nzzzz 22311111.2222212nnzzzzzz 22231( )(1)222zzf zzz2137.248zz于是在于是在 内，内， 01z 11112oxyzzz111111 21111,zzz 1 z11,z 2 z1.2z 2112121zz2211.2222nnzzz(2) 在在 内内, 有有 12z 1122221111 ( )11222zzf zzzz 2oxy2 z11,z 于是在于是在 内内, 12z 1211111.22nnnnzzzzzz(3) 在在 内内, 有
50、有 2z 2 z21.z 11323111111,111zzzzzz 21111241.221zzzzzz 于是在于是在 内内, 2z 2323124111( )f zzzzzzz 234137.zzz 1142oxy.1(4) 由由 知知, 011z 01,z 展开的级数形式应为展开的级数形式应为 (1) ,nnncz 11111( )(1)(2)21111f zzzzzzz 0111(1).1(1)11nnzzzz 所以在所以在 内内, 011z 115例例3.18将函数将函数 21( )(2)(3)f zzz 在区域在区域 021z 内展开成内展开成Laurent级数级数. 解因为在解因
