1、专题十 圆锥曲线目 录CONTENTS 考点一 椭圆考点二 双曲线考点三 抛物线考点一 椭圆必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握1椭圆的定义 (1)注意：若2a|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数考点一 椭圆 2.椭圆的标准方程考点一 椭圆3椭圆的几何性质考点一 椭圆7考点一 椭圆3椭圆的几何性质8 (1)椭圆的焦点总在长轴上；离心率表示椭圆的扁平程度当e越大时，椭圆越扁；当e越小时，椭圆越圆(2)椭圆的几何性质分类椭圆本身固有的性质(与坐标系无关)，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；与
2、坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等在解题时要特别注意第类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，然后再进行求解考点一 椭圆3椭圆的几何性质4椭圆中的特殊量考点一 椭圆10 对于椭圆 由焦半径公式 可得，椭圆上任一点P到焦点F1的最小距离为ac，最大距离为ac，此时点P在长轴的两端点处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论(2)椭圆的焦点弦当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦当弦过焦点时，称其为焦点弦设 是椭圆 上两点，若弦AB过左焦点F1，则考点一 椭圆11(3)椭圆的焦点三角形设F1，F2为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶
3、点的点，则PF1F2为焦点三角形如图所示，考点一 椭圆12焦点三角形的周长是2(ac) 若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交线段F1F2于点Q， (角平分线定理)，所以 (和比定理)(4)椭圆的通径长过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径设点P(x0，y0)是椭圆通径的一个端点，将 代入相应的焦半径公式，计算得 ，通径是最短的焦点弦考点一 椭圆13核心方法 重点突破方法1 求椭圆方程的方法 1椭圆标准方程的求法(1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程其中常用的关系有b2a2c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆
4、上一短轴端点到椭圆两焦点的距离相等且等于实半轴长a. 用此种方法求动点轨迹时，有时需根据题意舍去一些不符合题意的点，有时可能要分类讨论，不要漏解考点一 椭圆14(2)待定系数法如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程(求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；一种是已知椭圆的中心在原点，可以设椭圆的一般方程为mx2ny21(m0，n0，mn) 求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法所谓定位
5、，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程考点一 椭圆152椭圆系方程考点一 椭圆16例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(12，0)，(12，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于26；(2)焦点在坐标轴上，且经过点A( ，2)和B(2 ，1)；(3)焦距是2，且经过点P( ，0)【分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a，b即可若判断不出焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的一般方程考点一 椭圆17考点一 椭圆18考点一 椭圆19考点一 椭圆20考点一 椭圆
6、21考点一 椭圆22方法2 椭圆定义的应用 椭圆定义的应用类型及方法(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆；(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，再结合 进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧考点一 椭圆23考点一 椭圆例3、【答案】C24考点一 椭圆例4、【答案】D25考点一 椭圆例5、【答案】326方法3 椭圆的几何性质 1求椭圆离心率的方法考点一 椭圆272求椭圆离心率的取值范围的方法考点一 椭圆28例6、(1)安徽定远重点中学2018模拟在等腰梯形ABCD中， ABCD,
7、 tanABC2, AB6, CD2.若以A，B为焦点的椭圆经过C，D两点，则此椭圆的离心率为() 考点一 椭圆29考点一 椭圆30考点一 椭圆31考点一 椭圆32【答案】(1) A (2) C (3) A考点一 椭圆33例7、(1)河南名校2018压轴第二次考试已知椭圆E： 的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x12y0交椭圆E于A，B两点若|AF| |BF|6，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是()(2)江苏盐城中学2018考前热身已知 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，且 则此椭圆离心率的取值范围是_. 考点一 椭圆34考点一 椭圆35方法4 有关直线与椭
8、圆位置关系的问题 (1)位置关系的判断：直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程直线与椭圆相交0；直线与椭圆相切0；直线与椭圆相离0. (2)当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求，利用弦长公式 (k为直线的斜率)计算弦长；涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化其中判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据考点一 椭圆36例8、已知椭圆C： 试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线y4xm对称考点一
9、椭圆37考点一 椭圆38方法5 椭圆的综合问题 1椭圆中的取值范围和最值问题 利用判别式构造不等式，利用椭圆的有界性及变量间的相互关系挖掘题目中存在的隐含条件，计算中应注意应用函数的思想及参变量的范围对最值问题产生的影响.考点一 椭圆39例9、天津201819设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为(1)求椭圆的方程；(2)设直线 与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值考点一 椭圆40考点一 椭圆412椭圆中的定值、定点、定线问题从特殊入手，求出定点、定值，再证明定点、定值与变量无关；直接计算、推理，并在计算、推
10、理的过程中消去变量，从而得到定点、定值在此类问题中，运用设而不求、整体思想和消元思想可有效地化简运算考点一 椭圆42例10、课标全国201720已知椭圆 中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点考点一 椭圆43考点一 椭圆443椭圆中的探索性问题解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先由特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明考点一 椭圆45例11、四川201620已知椭圆 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程
11、及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得 并求的值考点一 椭圆46考点一 椭圆47考法例析 成就能力考法1 求椭圆的标准方程 例1、课标全国201811已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为() 考点一 椭圆48考点一 椭圆49【答案】D考点一 椭圆50例2、浙江201817已知点P(0，1)，椭圆 上两点A，B满足 则当m_时，点B横坐标的绝对值最大考点一 椭圆【答案】551考法2 椭圆的几何性质及其应用 例3、考点一 椭圆52考点一 椭圆53考点一
12、椭圆54例4、考点一 椭圆55考点一 椭圆考点二 双曲线必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握1双曲线的定义 平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线两定点F1，F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2|是焦距，用2c表示，常数用2a表示(1)若|MF1|MF2|2a，则曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线(2)若|MF1|MF2|2a，则曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线(3)若2a2c，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1，F2为端点向外的两条射线(4)若2a2c时，动点的轨迹不存在特别地，若a0，则动点的轨迹是
13、线段F1F2的垂直平分线考点二 双曲线582双曲线的标准方程(1) 它表示焦点F1(c，0)，F2(c，0)在x轴上的双曲线，且c2a2b2.(2) 它表示焦点F1(0，c)，F2(0，c)在y轴上的双曲线，且c2a2b2.考点二 双曲线59 (1)通过比较两种不同类型的双曲线方程 和 可以看出，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上双曲线方程中a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪个坐标轴上这一点与椭圆的判断方法不同(2)对于方程Ax2By2C(A，B，C均不为零)，只有当AB0，n0，mn时为椭圆(特别地，当mn0时为
14、圆)；当mn0时为双曲线，而m，n的符号决定了双曲线焦点的位置考点二 双曲线603双曲线的几何性质考点二 双曲线61考点二 双曲线62 (1)离心率e的取值范围为(1，).当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于时，双曲线开口越大.(2)双曲线的焦点永远在实轴上(3)双曲线的渐近线方程可以看成是将标准方程中等号右侧的1换成0后得到的两个方程双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且关于x轴、y轴对称考点二 双曲线634两种特殊的双曲线(1)等轴双曲线定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线其方程为x2y2(0)性
15、质：ab；e ；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项 (2)共轭双曲线定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线.性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们离心率倒数的平方和等于1.考点二 双曲线645双曲线中的特殊量(1)双曲线的焦半径双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|. 若点P在右支上，则 若点P在左支上，则 若点P在上支上，则 若点P在下支上，则考点二 双曲线65(2)双曲线的通径 过双曲线的焦点
16、与双曲线实轴所在直线垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径，其长为 (3)双曲线的焦点三角形 设F1，F2为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上异于顶点的点，则PF1F2为焦点三角形，如图所示考点二 双曲线66考点二 双曲线67考点二 双曲线68 (1)椭圆焦点位置与双曲线焦点位置的判断：判断椭圆的焦点位置是看分母的大小，双曲线的焦点位置由二次项系数的正负来确定(2)椭圆中a，b，c与双曲线中a，b，c的关系：椭圆中a，b，c的关系是a2b2c2，其中ab，ac；双曲线中a，b，c的关系是c2a2b2，其中ca，cb，a与b之间没有大小要求考点二 双曲线69核心方法 重点突破 双曲线和椭
17、圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与椭圆的对比去掌握它与直线、圆联系密切，涉及距离公式、弦长问题、面积公式及方程中根与系数的关系等知识，也是高考的重点内容方法1 求双曲线方程的方法 1定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2a2b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2a. 求轨迹方程时，满足条件：|PF1|PF2|2a(02a0)上任意一点P到它的两个焦点的距离的积等于点P到双曲线中心的距离的平方【分析】本题证法较多，如利用双曲线的焦半径公式证明或直接用两点间的距离公式求出距离后证明考点二 双曲线方法4 双曲
18、线的焦半径公式 81方法5 直线与双曲线位置关系问题的求解 (1)有关直线与圆锥曲线的位置关系问题、通常转化为一元二次方程的问题来讨论，从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解(2)当直线与双曲线只有一个公共点时，只讨论二次项系数不为0且判别式等于0是不够的，还应讨论二次项系数等于0的情况，此时得到的斜率k恰好等于双曲线渐近线的斜率，这样的直线l与双曲线相交，但交点只有一个，所以直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件(3)求解直线与双曲线相交的弦长问题时，常结合“根与系数的关系”，利用弦长公式 (k为直线的斜率)进行求解考点二 双曲线82 (1)过定点(
19、定点在双曲线外且不在渐近线上)的直线与双曲线交点个数的问题：设斜率为k的直线l过定点P(s，t)(t0)，双曲线方程为 过点P与双曲线相切的直线的斜率为k0.当 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的两支上；当 时，直线l与双曲线只有一个交点；当 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两个交点在双曲线的同一支上；考点二 双曲线83当|k|k0|时，直线l与双曲线只有一个交点； 当|k|k0|时，直线l与双曲线没有交点(2)过双曲线上点的切线方程过双曲线C： 上一点Q(x0，y0)的切线方程为(3)点差法求斜率 若直线AB(不过坐标原点)是双曲线 的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)
20、为AB的中点，则 整理可得考点二 双曲线84例7、若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()【答案】D考点二 双曲线85例8、已知双曲线 过点A(1，1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由考点二 双曲线86考法1 求双曲线的方程 例1、天津20187已知双曲线 (a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()考点二 双曲线考法例析 成就能力87考点二 双曲线88例2、课
21、标全国20175已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线方程为 且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为()考点二 双曲线89【答案】B考点二 双曲线90例4、【答案】C考点二 双曲线考法2 双曲线的定义和性质 91考法3 有关双曲线的综合问题 例5、课标全国201810已知双曲线 C： 的离心率为 则点(4，0)到C的渐近线的距离为() 【答案】D考点二 双曲线92例6、课标全国201516已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C的左支上一点， 当APF周长最小时，该三角形的面积为_【答案】考点二 双曲线考点三 抛物线必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握1抛物线的
22、定义 平面上到定点F和到定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线 (1)定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线如：到点F(1，0)和到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹是一条直线(3)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的
23、等价性，故二者可以相互转化，这一转化在解题中有着重要作用考点三 抛物线952抛物线的标准方程、类型及几何性质考点三 抛物线96考点三 抛物线97 (1)抛物线的标准方程y22px(p0)或x22py(p0)的特点是等号一边是某变元的平方，等号另一边是另一变元的一次项这个形式与位置特征相对应：当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即开口向着x轴的正方向时，该项取正号，开口向着x轴的负方向时，该项取负号当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向”(2)准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂
24、足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .考点三 抛物线983抛物线的焦点弦考点三 抛物线99考点三 抛物线1004抛物线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径对于抛物线y22px(p0)，将 代入y22px得yp， 这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义通径是所有焦点弦中最短的弦考点三 抛物线101核心方法 重点突破方法1 利用抛物线的定义解决有关问题的方法 抛物线是到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹，利用抛物线的定义解决问题时，可以巧妙运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化“看到准线想到焦
25、点，看到焦点想到准线”，是解决抛物线焦点弦等有关问题的有效途径总体来说，利用抛物线的定义可解决如下两类问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的等价转化考点三 抛物线102例1、福建厦门2018第二次质量检查已知拋物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|6，则AB中点到y轴的距离是()A1B2 C3 D4【分析】将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，可得|AB|AF|BF|(x11)(x21)6，从而求出中点横坐标，进而可得结
26、果【解析】由y24x，得F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|等于点A到准线x1的距离x11；同理，|BF|等于点B到准线x1的距离x21.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)6，得x1x24，中点横坐标为x0 所以AB中点到y轴的距离是|x0|2，故选B.【答案】B考点三 抛物线103方法2 求抛物线标准方程的方法 在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点主要方法有定义法、待定系数法等(1)定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程抛物线标准
27、方程有四种形式，要注意选择(2)待定系数法对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y22px(p0)和y22px(p0)两种情况求解焦点在x轴上的抛物线方程可设成y2mx(m0)，若m0，开口向右；若m0，则直线与抛物线相交；若方程的判别式0，则直线与抛物线相切；若方程的判别式0, 则直线与抛物线相离若得到的是一元一次方程，则直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行(或重合)(2)直线与抛物线相交时，常采用根与系数的关系和点差法求解；直线与抛物线相离时，常考查最值问题，利用数形结合法进行求解；直线和抛物线相切时，切线的斜率可以用导数求解(3)当求解直线与抛物线相交的弦长问题时
28、，利用弦长公式(k为直线的斜率，k0)进行求解考点三 抛物线114例6、北京201718已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点(0， )作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点考点三 抛物线115考点三 抛物线116考法1 抛物线的定义、方程与几何性质 例1、四川20163抛物线y24x的焦点坐标是()【答案】D考点三 抛物线考法例析 成就能力117考法2 抛物线的综合应用 例2、课标全国20165设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线 与C交于点
29、P，PFx轴，则k()【答案】D考点三 抛物线118例3、课标全国201712过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()【答案】C考点三 抛物线119例4、课标全国201820设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.考点三 抛物线120考点三 抛物线121例5、浙江201721如图，已知抛物线x2y，点 抛物线上的点P(x，y) 过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值考点三 抛物线122考点三 抛物线
