1、6.5 6.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应1. 1. 单位阶跃函数单位阶跃函数l 定义定义 0)( 10)( 0)(ttt t (t)01l 单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )( 1)( 0)(000tttttt t (t-t0)t001t = 0合闸合闸 i(t) = Is)(t IsK)(tiu(t)(tIS KEu(t)u(t)(tE （1）在电路中模拟开关的动作）在电路中模拟开关的动作t = 0合闸合闸 u(t) = E)(t l 单位阶跃函数的作用单位阶跃函数的作用（2）延迟一个函数）延迟一个函数tf(t)0)(sintt tf(t)0)()sin(00tttt t0
2、（3）起始一个函数）起始一个函数tf(t)0t0)()sin(tt )()sin(0ttt l 用单位阶跃函数表示复杂的信号用单位阶跃函数表示复杂的信号例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 4() 3() 1(2)( ttttf 例例 21t1 f(t)0243)1()1()()( tttttf 例例 41t1 f(t)0)1()1()( tttt)1()1( tt)(tt ) 4() 3( ) 1()()( tttttf 例例 31t1 f(t)0243)()( )1(ttu 例例 5t1 u(t)02已知电压已知电压u(t)的波形如图
3、，试画的波形如图，试画出下列电压的波形。出下列电压的波形。)1()2( )4( ttu )1()1( )3( ttu )()1( )2(ttu t1 u(t)022t1 u(t)011t1 u(t)01 u(t)t1021iC +uCRuC (0)=0)( t )( )1()( tetuRCtC )( 1)( teRtiRCt tuc1注意注意)( teiRCt 和和0 teiRCt的区别的区别t01it0R1i2. 2. 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。零状态响应。阶跃响应阶跃响应tiC0激励在激励在 t =
4、 t0 时加入，时加入，则响应从则响应从t=t0开始。开始。iC (t -t0)C +uCR+-t- t0 RCCeRi 1( t - t0 )R1t0注意注意 RCeR1t( t - t0 )不要写为不要写为)5 . 0(10)(10 ttuS 求图示电路中电流求图示电路中电流iC(t）。）。10k10kus+-ic100 FuC(0)=00.510t(s)us(V)0例例+-ic100 FuC(0)=05kSU5 . 0等效等效)(5t 5k+-ic100 F叠加叠加)5 . 0(5 t 5k+-ic100 Fs5 . 01051010036 RC mA )( 51dd2CtetuCitC
5、 SU5 . 05k+-ic100 F)( )1()(2t tetuC 阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22 teteittC mA)5 . 0()()5 . 0(22 tetett 分段表示为分段表示为 s)0.5( mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-2tetetittt(s)i(mA)01-0.6320.5波形波形0.368)5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5 . 0(2222 teteteteittttC)5 . 0()5 . 0()5 . 0()(
6、)5. 0(222 tetettettt)5 . 0()5 . 0()5 . 0()()5 . 0(2)5 . 0(212 teteettettt)5 .0(632.0)5 .0()()5.0(22 tettett 1 0)()(lim0ttp / 21/ tp(t)- / 2)2()2(1)( tttp t (t)(1)06.5 6.5 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数l 定义定义)0( 0)( tt 1d)(tt 单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限l 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟 1d)()( 0)(000ttttttt t (t-t0)t
7、00（1）l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质（1）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。)( 0 10 0d)(tttttt )()( tdttd 2.2. 冲激函数的筛分性冲激函数的筛分性 )0(d )( )0(d)()(fttftttf )(d)()(00tfttttf 同理有：同理有： d)6()(sin tttt 02. 162166sin 例例t (t)(1)0f(t)f(0)* f(t)在在 t0 处连续处连续f(0) (t)0(1)0( CcuCu)(tRudtduCcc uc不是冲激函数不是冲激函数 , , 否则否则KCL不成立不成立分二个
8、时间段来考虑冲分二个时间段来考虑冲激响应。激响应。电容充电，方程为：电容充电，方程为：(1). t 在在 0 0+间间电容中的冲激电流使电容电压发生跃变电容中的冲激电流使电容电压发生跃变例例1.2. 2. 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。零状态响应。冲激响应冲激响应uC(0)=0iCR （t）C+-uC1d)(dd000000 tttRutdtduCcc 01)0()0( ccuuC(2)(2). .t 0+ 为零输入响应（为零输入响应（RC放电）放电）Cuc1)0( icRC+uc 01 teCuRCtc 0
9、1 teRCRuiRCtccuCt0C1iCt(1)RC1 )(1)()(1 teRCtiteCuRCtcRCtc )(tdtdiLRiLL iL不可能是冲激函数不可能是冲激函数 1)(000000 dttdtdtdiLdtRiLL 1)0()0( LLiiL)0(1)0( LLiLi(1). t 在在 0 0+间方程为：间方程为：例例20)0( LiL+-iLR)(t +-uL分二个时间段来考虑冲激响应。分二个时间段来考虑冲激响应。0电感上的冲激电压使电感电流发生跃变电感上的冲激电压使电感电流发生跃变(2). t 0+ RL放电放电RL 01 teLitL 0 teLRRiutLL )(1
10、teLitL )()( teLRtutL LiL1)0( RuLiL+tiL0L1tuL)(t LR 零状态零状态R(t)(tel 单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应和单位冲激响应关系单位阶跃响应单位阶跃响应单位冲激响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)dttdt)()( )()(tsdtdth 零状态零状态h(t)(t 零状态零状态s(t)(t 证明：证明： 1f(t)t)(1)(1)( tttf )(1ts )(1 ts)()(1lim)(0 tststh)(tsdtd 1s(t)定义在（定义在（- ， ）整个时间轴）整个时间轴注注)()(
11、ttiS 先求单位阶跃响应先求单位阶跃响应, ,令：令：)()1()(teRtuRCtC iCRisC例例1+-uCuC(0+)=0 uC( )=R = RC 0)0( cu已知：已知：求：求： is (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应 uC(t)和和 iC (t)iC(0+)=1 iC( )=0 )( teiRCtc )()1( teRdtduRCtC )()1(teRRCt )(1teCRCt )(1teCRCt )()0()()(tfttf 0再求单位冲激响应再求单位冲激响应, ,令：令：)()(ttiS )(dd tetiRCtc )(1)( teRCteRCtRCt )(
12、1)( teRCtRCt uCRt0iC1t0uCt0C1iCt(1)RC1 冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应3. 3. 电容电压或电感电流初值的跃变电容电压或电感电流初值的跃变(1) (1) 在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变tiCuutCccd1)0()0(0 CAuC )0(iCC)(tA 例例1+-uCtucCAuC(0-)uC(0+)0tic)(tA 0(2). (2). 换路后电路有纯电容换路后电路有纯电容 ( (或纯电容和电压源）构成的回路。或纯电容和电压源）构成的回路。tuLiitLLLd1)0()0(0 LAiL )0(tuL
13、)(tA uL+-iL)(tA 例例2+-tiLLAiL(0-)iL(0+)0合闸后由合闸后由KVL uc(0+)=E)(tEuc )(tcEic 0)0( cuic不是冲激函数不是冲激函数, uc不会跳变不会跳变CEt eREdtiqRCtc 0 -0d)( 0 0tCEiRc EiCCk(t=0)例例3tic0uctE0ict(CE)0RRCtc eREi - 已知已知 ：E=1V , R=1 , C1=0.25F , C2=0.5F , t = 0 时合时合k。求求： uC1 ， uC2 。 解解 V1)0(1 EuC0)0(2 Cu 电容电压初值发生跃变。电容电压初值发生跃变。)0()
14、0()0(21 CCCuuu合合k前前合合k后后tuCtuCiCCdddd2211 ttuCtuCtiCCd )dddd(d00221100 )0()0()0()0(0222111 CCCCuuCuuC例例4ERC1C2+-uc1+-uc2k(t=0)iiC1iC2i为有限值为有限值0（1）确定初值）确定初值节点电荷守恒节点电荷守恒V315 . 025. 0125. 0)0(211 CCECuC可解得可解得)0()0()0()0(22112211 CCCCuCuCuCuC)0()()0()0(212211 CCCuCCuCuCq(0+)= q(0)uC( ) = 4V 0321)131(1)(
15、3434teetuttC = R(C1+C2) s43 iiC1iC2（2）确定时间常数）确定时间常数ut0)(92)(61)(98)()321()(41dd3434111tettetttuCittC 0321)131(1)(3434teetuttC0)0(1)0(021 CCuut)()321()()(341tettutC )()321()(342tetutC 1/3uC21uC1tuCiCdd222 )()321()(342tetutC it-1/6 2/9iC1 4/91/6iC2iiC1iC2)(94)(6134tett )(98)()321(2134tett i 无冲激无冲激冲激电流
16、由冲激电流由C1流向流向C2根据物理概念求电容电流根据物理概念求电容电流 00321311 Cu转移的电荷转移的电荷 q1 = 0.25 (-2/3) = - 1/63/103/12 Cu转移的电荷转移的电荷 q2 = 0.5 1/3 = 1/6t 0 +ttCetei3434192d)321(d41 ttCetei3434294d)321(d21 )(92)(61341tetitC )(94)(61342tetitC - 1/6 (t) 冲激电流冲激电流 1/6 (t) 冲激电流冲激电流3. 3. 换路后电路有纯电感换路后电路有纯电感( (或纯电感和电流源）构成的割集或纯电感和电流源）构成的
17、割集 k例例5+-10V2 0.3H0.1Hi1i23 + u1 - + u2 - A5)0(1 i0)0(2 i)0()0(21 ii而而电感电流发生跃变电感电流发生跃变已知如图已知如图求：求： i1 ， i2 和和 u1 , u2 。 解解)0( i10dd1 . 03dd3 . 022211 tiitiit 0 +电流方程为电流方程为0)0()0( 1 . 0)0()0( 3 . 02211 iiii)0(1 . 0)0(3 . 0)0(1 . 03 . 021 iii）（即：即： (0+) = (0)回路磁链守恒回路磁链守恒A75. 31 . 03 . 053 . 0)0( ii( )
18、 = 2A 075. 12)275. 3(2)(5 .125 .12teetitt = (0.3+0.1)/(2+3) 0.08s0)0(5)0(021 iit)()75. 12()(5)(5 .121tettit )()75. 12()(5 .122tetit it0)(5625. 6)(375. 05 .12tett 3.75)(875.21)(75. 3)(5 3 . 05 .12tettt tiudd3 . 011 5i2i12)()75. 12()(5 .122tetit tiudd1 . 022 )(1875. 2)(375. 05 .12tett )(875.21)(75. 3
19、1 . 05 .12tett utu1 0.375 -2.1875-6.5625u2 -0.375根据物理概念求电压根据物理概念求电压 0025. 1575. 31 i转移的磁链转移的磁链 1 = 0.3 (-1.25) = - 0.37575. 3075. 32 i转移的磁链转移的磁链 2 = 0.1 3.75 = 0.375t 0 +tteteu5 .125 .121d)75. 12(d3 . 0 tteteu5 .125 .1221875. 2d)75. 12(d1 . 0 )(5625. 6)(375. 05 .121tetut )(1875. 2)(375. 05 .122tetut 0.375 (t) 冲激电压冲激电压 0.375 (t) 冲冲激电压激电压
