1、圆的有关概念和性质本章知识结构图圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆三角形内切圆三角形内切圆等分圆等分圆圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.本课时重点是垂径定理及其推论，圆心角、本课时重点是垂径定理
2、及其推论，圆心角、圆周角、弦心距、弧之间的关系圆周角、弦心距、弧之间的关系. .2.2.圆的定义圆的定义(1)(1)是通过旋转是通过旋转. .(2)(2)是到定点的距离等于定长的点的集合是到定点的距离等于定长的点的集合. .3.3.点和圆的位置关系点和圆的位置关系( (圆心到点的距离为圆心到点的距离为d)d)(1)(1)点在圆上点在圆上 d=r.d=r.(2)(2)点在圆内点在圆内 d dr.r.(3)(3)点在圆外点在圆外 d dr.r.4.4.与圆有关的概念与圆有关的概念(1)(1)弦：连结圆上任意两点的线段弦：连结圆上任意两点的线段. .(2)(2)直径：经过圆心的弦直径：经过圆心的弦.
3、 .(3)(3)弧：圆上任意两点间的部分弧：圆上任意两点间的部分. .(4)(4)优弧：劣弧、半圆优弧：劣弧、半圆. .(5)(5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. .(6)(6)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. .(7)(7)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交. .(8)(8)三角形外心及性质三角形外心及性质. . 要点、考点聚焦要点、考点聚焦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧所对的两条弧. .推论推论1
4、 1：平分弦：平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧. .推论推论2 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧所对的两条弧. .推论推论3 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并平分弦所对的另一条弧弦，并平分弦所对的另一条弧. .5.5.有关定理及推论有关定理及推论(1)(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. .(2)(2)垂径定理及其推论垂径定理及其推论. . 要点、考点聚焦要点、考
5、点聚焦(4)(4)圆周角圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半定理：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论推论1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等中，相等的圆周角所对的弧也相等. .推论推论2 2：半圆：半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角；9090的圆的圆 周角所对的弦是直径周角所对的弦是直径. .推论推论3 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .定理：在
6、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. (3)(3)圆心角、弧、圆心角、弧、弦、弦心距弦、弦心距. 要点、考点聚焦要点、考点聚焦OBADEC在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的同弧或等弧所对的所有的圆周角相等圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.ADB与与AEB 、ACB 是同弧所对的圆周角是同弧所对的圆周角ADB=AEB =ACB性质性质 3:半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都相等相等,都等于都等于900(直角直角).性质
7、性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径.OABCAB是是 O的直径的直径 ACB=9001.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。线是圆的切线。3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。线是圆的切线。OAl lOA是半径是半径,OA l l直线直线l l是是 O的切线的切线.6.6.中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考中考题型：这部分题目变化灵活，在历年各地中考试题中均占有较大比例，就考查的形式来看，不仅可试题中均占有较大
8、比例，就考查的形式来看，不仅可以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、以单独考查，而且往往与几何前几章知识以及方程、函数等知识相结合函数等知识相结合. .(5)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角并且任何一个外角都等于它的内对角. 要点、考点聚焦要点、考点聚焦1、如图、如图,已知已知 O的半径的半径OA长长为为5,弦弦AB的长的长8,OCAB于于C,则则OC的长为的长为 _.OABC3AC=BC弦心距弦心距半径半径半弦长半弦长1.1.常利用弦心距，弦的一半及半径构成直角三角形常利用弦心距，弦的一半及半
9、径构成直角三角形. .2.2.遇直径条件时，常构造直径所对的圆周角，得到遇直径条件时，常构造直径所对的圆周角，得到9090 的角的角. .考点一考点一 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1.如图，设如图，设 O的半径为的半径为r，弦，弦AB的长为的长为a，弦心距，弦心距OD=d且且OCAB于于D，弓形高，弓形高CD为为h，下面的说法或等式：，下面的说法或等式：r=d+h4r2=4d2+a2已知：已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个，中的任两个可求其他两个，其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是( ) A. B. C. D.CBC1. 如图所示，矩形如图所示，矩形ABCD与与 O交于点
10、交于点A、B、F、E，DE1cm,EF=3cm,则则AB cm。 DCDA BCCDA BA48A考点二圆心角、弧、弦之间的关系考点二圆心角、弧、弦之间的关系2.若若AB分圆为分圆为1 5两部分，则劣孤两部分，则劣孤AB所对的圆周角为所对的圆周角为 ( ) A.30 B.150 C.60 D.120 1.1.下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是 ( ( ) )A.A.到圆心的距离大于半径的点在圆内到圆心的距离大于半径的点在圆内B.B.圆周角等于圆心角的一半圆周角等于圆心角的一半C.C.等弧所对的圆心角相等等弧所对的圆心角相等D.D.三点确定一个圆三点确定一个圆3.如图，是中国共产主义青年团
11、团旗上的图案，点如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则五等分圆，则A+B+C+D+E的度数是的度数是 ( ) A.180 B.150 C.135 D.120 A4.如图所示，弦如图所示，弦AB的长等于的长等于 O的半径，点的半径，点C在在AmB上上,则则C= 。 30ABCOD3.6作圆的直径与找作圆的直径与找90度的圆周度的圆周角也是圆里常用的辅助线角也是圆里常用的辅助线5.半径为半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为的圆中有一条弦，如果它的长为 ，那么这条弦所，那么这条弦所对的圆周角为对的圆周角为 ( ) A.60 B.120 C.45 D.60或或120D
12、6 . 如 图 ， 四 边 形如 图 ， 四 边 形 A B C D 内 接 于内 接 于 O ， 若 它 的 一 个 外 角， 若 它 的 一 个 外 角DCE=70，则，则BOD=( ) A35 B.70 C110 D.140 D3CDBCB DC3 2CAHI3. 如图所示，已知如图所示，已知RtABC中，中，C=90,AC= , BC=1,若以若以C为圆心，为圆心，CB为半径的圆交为半径的圆交AB于于P，则，则AP 。 233213C三、解答题三、解答题(共共36分分)不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.OCBA三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切圆:三
13、角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCDEF HGOABCOABCDFEDFE4.如图如图, ABC各边分别各边分别切圆切圆O于点于点D、E、F.(1) DEF= 900- A21(3) S ABC= (a+b+c)r21(2) BOC= 900+ A21ABCOEFD5.在在Rt ABC中中, ACB是直角是直角,三边分三边
14、分别是别是a、b、c,内切圆半径是内切圆半径是r,则则:内切圆半径内切圆半径r=a+b-c26.如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,AD,BC,DC均均为切线为切线,则则:(1)DC=AD+BC(2) DOC=900OBDCAE圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系:.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含O1O2O1O2O1O2O2O1O1O2 两圆的位置关系数量关系及识别方法 外离 外切 相交 内切 内含dR+rd=R+rd=R-rdR-rR-rdR+r 类型之五类型之五 与圆有关的开放性问题与圆有关的开放性问题 例例5 2012湘潭湘潭 如图如图284，在，在 O上位于直径上位于直径AB的
15、异侧有定点的异侧有定点C和动点和动点P，AC0.5AB，点，点P在半圆弧在半圆弧AB上运动上运动(不与不与A、B两点重合两点重合)，过点，过点C作直线作直线PB的的垂线垂线CD交交PB于于D点点图图28284 4 (1)如图，求证：如图，求证：PCDABC；(2)当点当点P运动到什么位置时，运动到什么位置时，PCD ABC？请在？请在图中画出图中画出PCD，并说明理由；，并说明理由；(3)如图，当点如图，当点P运动到运动到CPAB时，求时，求BCD的度的度数数 第第28讲讲 归类示例归类示例解：解：(1)证明：证明：AB为直径，为直径，ACBD90.又又CABDPC，PCDABC.(2)如图，当点如图，当点P运动到运动到PC为直径时，为直径时，PCD ABC.理由如下：理由如下：PC为直径，为直径，PBC90，则此时，则此时D与与B重合，重合，PCAB，CDBC，故故PCD ABC.(3) AC0.5AB，ACB90，ABC30，CAB60.CPBCAB60.PCAB，PCB90ABC60，PBC为等边三角形为等边三角形又又CDPB，BCD30.
