1、复习提问：复习提问： 1.什么是分类计数原理，分步计数原理？什么是分类计数原理，分步计数原理？解：不同的走法分为两类：第一类由甲村走水解：不同的走法分为两类：第一类由甲村走水路到乙村，再由乙村到丙村：只有路到乙村，再由乙村到丙村：只有1种走法。种走法。第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：有有22=4种走法。种走法。由分类计数原理：由分类计数原理：1+4=5 2.从甲村到乙村有从甲村到乙村有2条旱路，一条水路，从乙村条旱路，一条水路，从乙村到丙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村到丙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村时，再从乙村到丙村就只能走
2、南路，问从甲村经时，再从乙村到丙村就只能走南路，问从甲村经过乙村到丙村共有多少种不同的走法？过乙村到丙村共有多少种不同的走法？答：共有答：共有5种不同的走法。种不同的走法。问题引入：问题引入：问题问题1:从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天名参加某天的一项活动的一项活动,其中其中1名同学参加上午的活动名同学参加上午的活动,1名同名同学参加下午的活动学参加下午的活动,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?探索研究探索研究 解决这个问题需分解决这个问题需分2个步骤：个步骤：第一步，确定参加上午活动的同学，从第一步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选人中任选1人人有有3种
3、方法；种方法；第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的第二步，确定参加下午的同学，只能从余下的2人中选，人中选，有有2种方法种方法;根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有32=6种不同的方法种不同的方法.甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲 丙丙 乙乙相应的排法相应的排法: 我们把上面问题中被选的对象我们把上面问题中被选的对象( (同学）叫做同学）叫做元素元素。 上述问题就是从上述问题就是从3个不同的元素个不同的元素a，b，c中任取中任取2个，然后按照一定的顺个，然后按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法。排列方法。不同的排
4、列为不同的排列为: ab，ac，ba，bc，ca，cb问题问题2:从从a、b、c、d这这4个字母中，取出个字母中，取出3个按个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分解决这个问题，需分3个步骤：个步骤：第一步，先确定左边的字母，在第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取个字母中任取1个，个，有有4种方法；种方法；第二步，确定中间的字母，从余下的第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，个字母中去取，有有3种方法；种方法；第三步，确定右边的字母，只能从余下的第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中个字母中去取，有去取，有2种方
5、法种方法.根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有432=24种不同的排法种不同的排法bacdb d a d a b b c a c a bc da ca dc d b d b cb c da c da b da b c不同排法如下图所示不同排法如下图所示: :所有的排列为：所有的排列为： abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb 我们把上面问题中被取的对象我们把上面问题中被取的对象（字母）叫做（字母）叫做元素元素。于是，所提出。于是，所提出
6、的问题就是从的问题就是从4个不同的元素个不同的元素a、b、c、d中任取中任取3个，然后按一定的顺个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同序排成一列，求一共有多少种不同的的排列排列方法。方法。 一般地说，从一般地说，从 n 个不同元素中，任取个不同元素中，任取 m (mn) 个元素，按照一定的个元素，按照一定的顺序顺序排成排成一列，叫做从一列，叫做从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个个元素的一个元素的一个排列排列。一、排列的定义：一、排列的定义：排列的定义中包含两个排列的定义中包含两个基本内容基本内容： 一是一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定顺序排按照一定顺序排列
7、列”. “. “一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标是判断一个问题是不是排列问题的重要标志志 注注 意：意：1 1、我们研究的排列问题中，不能有、我们研究的排列问题中，不能有重复元素重复元素的排列，也不能的排列，也不能重复抽取相同重复抽取相同的元素；的元素； 4、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用上面两题中的方法最好采用上面两题中的方法“树形图树形图”. 2、两个排列相同的、两个排列相同的充要条件充要条件是什么？是什么？1）元素全相同）元素全相同2）元素排列顺序也完全相同）元素
8、排列顺序也完全相同3、概念中，如果、概念中，如果mn，这样的排列只是选一部，这样的排列只是选一部分元素作排列，叫做选排列；如果分元素作排列，叫做选排列；如果m=n，这样，这样的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列；的排列是取出所有元素作排列，叫做全排列；例例1: :判断下列几个问题是不是排列问题判断下列几个问题是不是排列问题? ?从班级从班级5名团员中选出名团员中选出3人参加下午的团委会；人参加下午的团委会；从从2、3、5、7、11中任取两个数相除；中任取两个数相除； 20位同学互通话一次；位同学互通话一次； 20位同学互通一封信；位同学互通一封信； 以圆上的以圆上的10个点为端点作弦；个点为
9、端点作弦； 以圆上的以圆上的10个点为起点，且过另一点的射线个点为起点，且过另一点的射线.例题讲解：例题讲解：排列问题的有：排列问题的有： 、 、 、 例例2:在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选举出在甲、乙、丙、丁四位候选人中，选举出正、副班长各一人，共有几种不同的选法正、副班长各一人，共有几种不同的选法?写写出所有可能的选举结果出所有可能的选举结果.解：选举过程可以分为两个步骤：解：选举过程可以分为两个步骤： 第一步，先选出正班长，第一步，先选出正班长，4 4人中任何一人都可能当选，人中任何一人都可能当选，有有4 4种选法；种选法； 第二步，选出副班长，余下第二步，选出副班长，余下3 3人中任
10、何一人都可能当选，人中任何一人都可能当选，有有3 3种选法种选法. . 根据分步计数原理，不同选法共有：根据分步计数原理，不同选法共有：4 43=12(3=12(种种). ). 其选举结果是：其选举结果是：甲乙甲乙 甲丙甲丙 甲丁甲丁 乙甲乙甲 乙丙乙丙 乙丁乙丁丙甲丙甲 丙乙丙乙 丙丁丙丁 丁甲丁甲 丁乙丁乙 丁丙丁丙课堂练习：课堂练习：1:下列问题中属于排列问题的是下列问题中属于排列问题的是 . 有有10个车站，共需准备多少种车票？个车站，共需准备多少种车票？ 有有10个车站，共有多少种不同的票价？个车站，共有多少种不同的票价？平面内有平面内有10个点，共可作多少条射线？个点，共可作多少条
11、射线？10个同学，每两人互通信一次，通信多少次？个同学，每两人互通信一次，通信多少次？从从10名学生中选出名学生中选出2名分别参加数学和物理竞名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方案？赛，有多少种选派方案？、2:北京、上海、广州北京、上海、广州 三个民航站之间的直达三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？航线，需要准备多少种不同的飞机票？不同排法如下图所示不同排法如下图所示:种）(623北京北京上海上海广州广州北京北京上海上海广州广州北京北京上海上海广州广州北京北京北京北京上海上海广州广州北京北京上海上海上海上海广州广州北京北京上海上海广州广州广州广州二、排列数二、排列数定义定
12、义()mnnm mnnmP从 个不同元素中，任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的排列数。用符号表示。第1位第2位nn-1)(1 2 nnPn 第1位第2位第3位第m位nn-1n-2n-m+1)()()(12 1 mnnnnPmn三、排列数公式三、排列数公式：(1)(1)mnPn nnm(1)3 2 1nnmnPn n 特别地，当时，有公式，!nnnnPn这是从 个不同元素中，取出全部元素参加排列的排列数，叫做 个不同元素的，记作全排列数。!0!()!0! 1mnnPmnnm这样，。注意，当时，分母就变成，为使公式仍然成立，规定特别。公式特点：公式特点：1mnm21n
13、1 因因数数是是个个因因数数相相乘乘，最最后后一一个个共共有有；面面的的因因数数小小后后面面的的每每个个因因数数都都比比前前第第一一个个因因数数是是)(,)( 5答：1！!20)2()!)(4(mn)!1(2)5(2nnn 1 5 425 43 42 5)(1)!111(5)!(1)!(1)!nm nmnnn练习：化简（）！（ ）！4（(3)7!4-k1kP1 ）例例：计计算算：（)!()!(312 nn）（)()(2nm3m2m1 ）（各各式式：例例：用用排排列列数数表表示示下下列列)()(9m4m1m2222 m）（61kk1k51k4k1k1k1)()()!()!()!( ）原原式式（)
14、()!()!)()(2133212 nnnnnn）原原式式（11)-nm3m2m1 ()(）原原式式（12 nmP)()(3m322)(m1)(m-1)(mm2 mm）原原式式（73 mP1x9x84P3P 例例：解解方方程程：8x91x8xNx *由由题题意意得得：)!(!)!(!x1094x883 且且)!()!(x 1012x81)!)()()!(xxx 891012x816 x21, 2,93例用中任意个不同数字构成三位数，共有几个不同三位数？399 8 7504P 解：363例从 个同学中，选 人任组长、副组长和干事，共有几种？366 5 4120P 解：45例安排 人分别当车工、钳
15、工、刨工、铣工和油漆工，已知甲不能当钳工、油漆工，问有几种方法？解法一：解法二：23434 3 3!72P P 先考虑谁当钳工、油漆工，14343 4!72P P 先考虑甲，四、几种特殊的排列四、几种特殊的排列1.1.优优先先排列排列5 6例人排一排，甲不在头，也不在尾，有几种排法？()特殊位置 头和尾解法一：2454480P P 解法二：()特殊元素 甲1545480P P 解法三：间接法65652480PP2.2.集团排列集团排列（捆绑法）（捆绑法）643例已知 男 女排成一排，男一起；女一起；男一起，女一起，分别有几种排法？3535720P P 432432288P P P 44P1 第
16、第一一步步：排排男男生生有有)(44P有有一一起起后后看看作作一一个个整整体体，第第二二步步：把把男男生生捆捆绑绑在在576PP4444 共共有有3.3.间隔排列间隔排列743例已知 男 女排成一排，男不一起；女不一起；男不一起，女不一起，分别有几种排法？43451440P P 3434144P P 33P1 第第一一步步：排排女女生生有有)(44P4个空位排男生，即个空位排男生，即两端共有两端共有第二步：女生之间加上第二步：女生之间加上441PP4433 共共有有844例已知 男 女排成一排，男不一起且女不一起，有几种排法？ 解：或4314421152P P P 4.4.有序排列有序排列95
17、例已知 人比赛跑步，甲比乙快，有几种情形？解：甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多，55/ 260P10, , , , ,a b c d e fa b c例，按顺序的排列有几种？6633120PP解：1163例书架上有 本书，插入 本，要求不改变原顺序，有几种插法？99669 8 7504PP 解：2.(1)(2)(3)(4)七人站成一排照相有几种站法？若甲必须站在中间，有几种站法？若甲不能站两端，有几种站法？若甲、乙必须相邻，有几种站法？77(1)5040P 解：66(2)6720P 先将其余 人排好，再将甲插在中间即可。1656(3)3600P P 6262(4)1440P P 先合后分。综合练
18、习综合练习5.1, 2,95从中取出 个，组成无重复数字的五位数。规定奇数数字必须排在奇数位号，求这样的五位数的个数。解：偶数位上只能放偶数，而奇数位上皆可。23472520P P共有个9.1 884穿有号运动衣的位运动员排成一排，其中号运动员必须排在号码比他大的运动员左边，共有几种排法？x解：设有 种排法，45, 6, 7,8x把号分别与号运动员互换位置，仍然分别得到种排法。8858!xP8064x10. 2534(1)(2)(3)(4)名教师， 名学生排二排照相，前排人，后排人。共有几种排法？两教师在前排？两教师相邻且在前排？教师甲在前排，乙在后排？解：本题关键在于将两排对应到一排。253
19、5(2)720P P 125225(3)2480P P P 将教师作为一个整体，先合后分，115345(4)1440P P P 77(1)5040P 12. 104个同学排一队行走，要求女相邻，且既不走前面，又不走后面，问有几种排法？16456486400P P P 解：13.1, 2,7(1)(2)(3)用排成无重复数字的七位数。偶数不相邻，有几种排法？偶数一定在奇数位上？奇数位上一定是奇数，偶数位上一定是偶数？4345(1)P P解： 间隔排列。3444(2)4P P先在个奇数位上排偶数。4343(3) P P14. 38人坐 个位置，要求每人两旁都为空位，有几种？5解：由题意，有个空位。
20、543只要在个空位之间的个间隔插入人即可。3424P有种。15. 963个座位坐 人，要求 个空位各不相邻，有几种？637解：先将 人排好，再将 个空位插入 个间隔中即可。3 个空位是相同的，6367/3!25200P P共有个。16.8234有 名划船手共划一条船参加比赛，其中 人只能左， 人只能右。现要使两边各有 人，分别负责不同岗位，问：有多少种安排方式？3解：有 人能左能右，在其中选一人到右边。1443441728P P P 课堂小结：课堂小结：1、从、从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中个不同元素中取出取出m个元素的一个个元素的一个当两个排列的元素完全相同，且元素的排列当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序相同时称两个排列相同；顺序相同时称两个排列相同；3、解题时要深挖具体题目中的、解题时要深挖具体题目中的“有序有序”条件；条件；4、排列、排列数、全排列和阶乘；、排列、排列数、全排列和阶乘；5、掌握排列数公式，并能利用它计算排列数。、掌握排列数公式，并能利用它计算排列数。
