1、平面几何中的向量方法因为有了运算，向量的力量无限.因为有了向量，就像鸟儿有了翅膀.复习回顾12120 x xy y1221x yx y设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y2)|a |=2211xy向量的长度(模)222221212121yxyxyyxxcos向量的夹角1 21 2xxy y向量数量积的坐标表示a b 重要性质:(1)_.ab b|_.a(2)_.a a(3)设a 、b都是非零向量,则0ab b2|a2a2ac co os s = = |a ba bab 为为 ， 的的夹夹角角/ ab b0且 b b向量数量积的定义a b| | |cosab平行垂直=ab b向量
2、的坐标表示：/ ab bab b与向量有关的如平行、垂直、距离、夹角、三点共线等几何问题可充分利用向量这个工具来解决求求证证：平平行行四四边边形形两两条条对对角角线线的的平平方方和和等等于于相相邻邻两两边边的的平平方方和和的的两两倍倍。DACB,ABa ADb 证证明明：设设22|ACab 2()ab 222aa bb 22|DBab 2()ab 222aa bb 22|ACDB 222()ab 222()ABAD . 1例所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问
3、题举例思考：如果不用向量的方法，你能证明上述关系吗？求求证证：平平行行四四边边形形两两条条对对角角线线的的平平方方和和等等于于相相邻邻两两边边的的平平方方和和的的两两倍倍。DACB. 1例利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问题举例2已知,平行四边形 .求证： 证明：做 , . 是平行四边形（已知） , , , (所做） （垂直于一条直线的两条直线平行） 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） （平行四边形对边相等） (等量减等量,差相等） （勾股定理）= = = = P110 检检3问题问题1：如图平行四边形如图平行四边形ABCD,已知已知AD=1，AB=2，BD=
4、2,求对角线求对角线AC的长度。的长度。ABDC22|ACDB 222()ab 222()ABAD |6AC 求求证证：平平行行四四边边形形两两条条对对角角线线的的平平方方和和等等于于相相邻邻两两边边的的平平方方和和的的两两倍倍。DACB,ABa ADb 证证明明：设设22|ACab 2()ab 222aa bb 22|DBab 2()ab 222aa bb 22|ACDB 222()ab 222()ABAD . 1例所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.几何问题向量化几何问题向量化向量运算关系化向量运算关系化
5、向量关系几何化向量关系几何化利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问题举例（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化例例2.
6、如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？猜想：猜想：AR=RT=TCABCDEFRT解一：相似解一：相似ABCDEFRT12因此abab ,ABa ADbACab解二：解二：设设 则则因为因为 所以所以111222()ARbabab ARAEER又因为又因为 共线，共线，所以设所以设12() EREBab EREB与与ab由于由于 与与 共线，所以设共线，所以设AR AC ()ARabab 12EBABAEab 基向量法 A
7、RAEER102()()即ab 0102 ,ab不共线，不共线， 1 1解解 得得 ：= = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TC111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是ABCDEFRTab12因此abab ABCDEFRT解三：解三：设设 则则,ABa ADbACab又因为又因为 所以所以12=- 因为因为E,R,B三点共线，三点共线，11212()()()ARAEABADABba ab由于由于 与与 共线，所以设共线，所以设AR AC(),ARn
8、ab nR (),ARn ab nR 111333=ARADABAC11(), =33ARab n 思考思考:T:T的位置用三点共线的位置用三点共线的结论应该如何证明？的结论应该如何证明？“向量法解决几何问题向量法解决几何问题”的两个角度：的两个角度： 基向量角度和坐标角度基向量角度和坐标角度P111 课课10练练1.如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，AB=2，AD=1，E,F分别为分别为BC,CD的中点，则（的中点，则（AE+AF）BD=_ABCDEFP110 检检4练练2.如图，在三角形如图，在三角形ABC中，中，BAC=120AB=AC=3，点点D在线段在线段BC上，上，DC=2BD,求：求：（1）AD的长；的长；（2）DAC的大小的大小.1、几何法2、基向量（选择合适的基底）3、坐标法（建立合适的坐标系）对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？ 作业：课时作业（作业：课时作业（34）课后思考题：课后思考题：求证：求证：1，ABC的三条中线交于一点的三条中线交于一点 2，ABC的三条高交于一点的三条高交于一点 谢谢大家！谢谢大家！
