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y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 北京出版集团公司 北 京 出 版 社 北京教育科学研究院 北京出版集团公司 合编 北京市义务教育课程改革实验教材 数 学 七年级 下册 十四册目录.indd 12012-8-20 16:46:20 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 十四册目录.indd 22012-8-27 10:15:15 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第五章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一 不等式与不等式的基本性质 ………………………………… 2 5.1 不等式 …………………………………………………… 2 5.2 不等式的基本性质 ……………………………………… 4 习题5 - 1 ……………………………………………………… 7 二 一元一次不等式 ……………………………………………… 9 5.3 不等式的解集 …………………………………………… 9 5.4 一元一次不等式及其解法 ………………………………11 习题5 - 2 ………………………………………………………15 三 一元一次不等式组 ……………………………………………17 5.5 一元一次不等式组及其解法 ……………………………17 习题5 - 3 ………………………………………………………19 数学文化 符号“ ”和“ ” 、 “ - 1， 2x 5， a ≠ b，5 - 9 b . 又如，2011 年底北京地区注册博物馆数量已超过 159 家，如果用 n 表示博物馆数，那么就可表示成： n 159． 我们还经常把大于号“ ”和等号“ = ”结合起来使用， 写成“ ” ， 读作“大于或等于” ，也就是“不小于” ；同样地，符号“ ”读作“小 于或等于” ，也就是“不大于” ．用符号“ ”或“ ”连接起来的式子 也叫做不等式． 一 不等式与不等式的基本性质 图 5 - 1 数学五章最终文件.indd 22012-8-16 10:48:25 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第五章 一元一次不等式和一元一次不等式组 3 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 例 1 用不等式表示下面的不等关系： ( 1 ) 张平的年龄比杨洋大； ( 2 ) 某种电梯标明 “载客不超过 13 人” ； ( 3 ) 北京某一天的最低气温是 - 3 ℃，最高气温是 12 ℃． 解： ( 1 ) 设张平的年龄为 a，杨洋的年龄为 b. 张平的年龄比杨洋大，用不等式表示为 a b. ( 2 ) 设电梯的载客人数为 x. 载客不超过 13 人，用不等式表示为 x 13. ( 3 ) 设北京某一天的气温为 x ℃ . 最低气温是 - 3 ℃，最高气温是 12 ℃，用不等式表示为 - 3 x 12． 例 2 用不等式表示下列关系： ( 1 ) a 的一半大于 3 ； ( 2 ) x 与 6 的差是负数； ( 3 ) x 的 5 倍不小于 20 ； ( 4 ) b 的 1 5 与 7 的和是非正数 . 解： ( 1 ) a 2 3 ； ( 2 ) x - 6 ”或“ b ± c ； 2. 如果 a b，且 c 0，那么 ac bc ( 或 a c b c ) ； 3. 如果 a b，且 c b 的两边都加上 - 3，不 等号的方向不变，所以得 a - 3 b - 3. ( 2 ) 根据不等式的基本性质 2，在不等式 a b 的两边都乘 2，不等号的方 向不变，所以得 2a 2b. ( 3 ) 根据不等式的基本性质 3，在不等式 a b 的两边都乘- 1 2 ，不等号的 方向改变，所以得 - 1 2 a ； ( 4 ) - 2x 15 . ( 4 ) 根据不等式的基本性质 3，不等式的两边都除以 - 2，不等号的方向改 变，得 x 3 2 . 乘负数时别忘了 改变不等号的方向！ 不等式的两边都除以 - 2， 不等号的方向要改变！ 数学五章最终文件.indd 62012-8-16 10:48:29 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第五章 一元一次不等式和一元一次不等式组 7 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 如果 a，b，c 为有理数，其中 c ≠ 0，而且 a b c，下列不等式中 哪些正确？ ( 1 ) ab bc ； ( 2 ) a + b b + c ； ( 3 ) a c b c . 交 流 练 习 1. 设 a ”或“ 1 ； ( 2 ) 10 + x 5 ； ( 4 ) 2x - 3． 5. 下列数值中哪些能使不等式 x + 3 ” 、 “ = ”或“ 0，那么 a + b a ； ( 5 ) 如果 b = 0，那么 a + b a ； ( 6 ) 如果 b 0，b 0 时，ab 0 ； ( 2 ) 当 a 0，b 0 时，ab b，b c，那么 a c. 拓展 判断以下各题的结论是否正确，并说明理由： ( 1 ) 如果 a b，那么 11 ab b，c = d，那么 ac bd ； ( 3 ) 如果 ac 2 bc 2，那么 a b ； 数学五章最终文件.indd 82012-8-16 10:48:31 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第五章 一元一次不等式和一元一次不等式组 9 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O ( 4 ) 如果 ax 0； ( 6 ) 如果 a，b，c 为有理数，其中 c ≠ 0，而且 a b c，那么 a - b b - c． 5.3 不等式的解集 思 考 不等式 x - 2 ，…的不等式，它 们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0，我们把 这样的不等式叫做一元一次不等式 . 求不等式的解集的过程，叫做解不等式 . 同解一元一次方程类似，解一元一次不等式的过程，就是要利用不等式的 基本性质将不等式变形成 x a 的形式． 5.4 一元一次不等式及其解法 思 考 在解方程时“移项要变号”的法则，在解不等式的变形中 是否仍然成立？为什么？ 数学五章最终文件.indd 112012-8-16 14:30:03 12 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 可以发现，解一元一次不等式与解一元一次方程类似，也可以“移项” ， 即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向 . 例 2 解不等式 x x− −1 2 2 21 3 ，并把它的解集在数轴上表示出来 . 解：去分母，得 3( x - 1 ) 4( 2x - 1 )． 去括号，得 3x - 3 8x - 4． 移项，得 3x - 8x 3 - 4． 合并同类项，得 - 5x - 1． 两边都除以 - 5，得 x 12，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：根据不等式的基本性质 1，两边都减去 2，得 5x 12 - 2． 合并同类项，得 5x 10． 根据不等式的基本性质 2，两边都除以 5，把系数化为 1，得 x 2． 这个不等式的解集在数轴上表示，如图 5 - 7． 与解方程比较 解方程 x −1 2 = 2 21 3 x − . 解：去分母，得 3( x - 1 ) = 4( 2x - 1 )． 去括号，得 3x - 3 = 8x - 4． 移项，得 3x - 8x = 3 - 4． 合并同类项，得 - 5x = - 1． 两边都除以 - 5，得 x = 1 5 ． 一元一次方程的解只有 一个，而一元一次不等式的 解有无穷多个 . −4−3−2−101 1 5 图 5 - 8 102367854 图 5 - 7 这一过程是否相当于把 2 变号后移到了不等号的右边？ 数学五章最终文件.indd 122012-8-16 10:48:36 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第五章 一元一次不等式和一元一次不等式组 13 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 解一元一次不等式的一般步骤是什么？它和解一元一次方程的主要 区别在哪里？ 交 流 练 习 1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： ( 1 ) 0. 3x - 10 3. 在数轴上表示下列不等式的解集： ( 1 ) x 4 ； ( 2 ) x 0 ； ( 3 ) x 2 ； ( 4 ) x - 5， ① x 3. ② 在同一数轴上表示不等式①、②的解集，如图 5 - 10． −5−4−3−2−13201 图 5 - 10 可以看出，使不等式①、②同时成立的 x 的值是 - 5 和 3 之间的所有 数 ( 包括 3 )，记作 - 5 - 2 1 ，x x ， bax xa xb ， xa xb − −− () 数学五章最终文件.indd 192012-8-16 10:48:44 20 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 2. 解下列不等式组： ( 1 ) ， ； ( 2 ) 210 211 ()x x + - ， ； ( 3 ) ， ； ( 4 ) xx xx 23 1 23320 - − − − 2 30 60 322 452 3 2 3 xx xx x x + −. 数学五章最终文件.indd 202012-8-16 10:48:45 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第五章 一元一次不等式和一元一次不等式组 21 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 探究应用 某地区家用电脑上网实行两种收费标准，包月制或计时制 . 包月制：每月 50 元 ( 限一部个人住宅电话上网 ) . 计时制：每小时 3 元 . 两种收费制都要缴纳话费 0. 02 元 / 分 . 请你根据上面上网收费的两种标准，分析一下在什么情况下 选用哪种收费标准比较实惠 . 也可了解你所居住地区的上网收费情况，解决类似问题 . 数 学 文 化 符号“ ”和“ ”和“ B ； BξA 表示 B ”和“ b 表示 a 量大于 b 量； 小于的记号： a ” 、 “ b， “b2 Ⅰ 3a”表示 b 2，所以 a3 2b ( a，b 为正数 )，故 a b，小于号的意思亦同．这种记号不仅难用，而且还容易与竖线 除号混淆，因此，它诞生后不久便湮没于历史中，只留下六卷数学 巨著被人传颂． 符号 “ ” 和 “ 0 或 ax + b 6a ( a a 与 x a ( x ” ； “小于” 、 “不足”等一般抽象 为“ 50 36 ， ； 复 习 题 数学五章最终文件.indd 252012-8-16 10:48:49 26 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 ( 3 ) ， ； ( 4 ) ， ； ( 5 ) ， ； ( 6 ) ， 7. 解不等式： ( 1 ) ； ( 2 ) - 3 ； ( 2 ) x − − − − + . − − 2 3 2 3 x x x xxx + − −−≤− 1 4 1 2 1 4 1 2 2 1 2 ()31 228 337 3282 () (). xx xx xx + 数学五章最终文件.indd 262012-8-16 10:48:50 第六章 二元一次方程组 在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动，并采取积分方法记分， 每答对 1 题要得分，每答错 1 题要扣分 . 在猜谜活动中，王强答对了 7 道题，答错了 3 道题，共获得 50 分；李翔答对了 8 道题，答错了 1 道题，共获得 62 分 . 问答对 1 道题得多少分，答错 1 道题扣多少分 . 解决这类问题要用到二元一次方程组的知识，本章我们将要学习 二元一次方程组的解法，并研究如何利用它来解决一些实际问题 . 数学六章最终文件.indd 272012-8-16 10:52:32 28 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 6.1 二元一次方程和它的解 现在我们来研究章前页提出的问题 . 思 考 1. 如果我们用方程的知识来解决上述问题， 首先要想清楚问题中都涉及了哪些数量，这些数量 中哪些是已知量？哪些是未知量？ 2. 是否可以设两个未知数，列出含有这两个 未知数的方程来求解呢？ 如果设答对 1 题得 x 分，答错 1 题扣 y 分，那么根据 x，y 之间的 关系，我们可以得到下面两个方程： 7x - 3y = 50 ； 8x - y = 62. 交 流 这两个方程和我们已经学习过的一元一次方程有什么区别和联系？ 它们之间有什么相同点和不同点？ 上面的两个方程中，每一个方程都含有两个未知数 x，y，并且含未知数 的项的次数都是 1，我们把这样的方程叫做二元一次方程 . 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次 方程的一个解 . 例如，当 x = 1，y = 1 时，方程 3x + 8y = 11 左右两边的值相等，我们就把 一 二元一次方程和 二元一次方程组 数学六章最终文件.indd 282012-8-16 10:52:33 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第六章 二元一次方程组 29 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O x = 1，y = 1 叫做方程 3x + 8y = 11 的一个解，记作 x y = = 1 1. ， 方程 3x + 8y = 11 的解 要这样联立在一起表示 . 思 考 怎样确定二元一次方程 ax + by = c ( 其中 a，b，c 是已知数， 且 a ≠ 0，b ≠ 0 ) 的一个解？ 只要我们给出 x ( 或 y ) 的一个值，把它代入方程中，就可以将方程 转化为含有另一个未知数 y ( 或 x ) 的一元一次方程，从而求出相应的 y ( 或 x ) 的一个值 . 这样的一对 x，y 的值就是这个二元一次方程的一 个解 . 例 1 已知： 2x + 5y = 7，用含 y 的代数式表示 x. 解：由 2x + 5y = 7，得 2x = 7 - 5y. x y = -75 2 . 例 2 求出二元一次方程 3x + 2y + 4 = 0 的任意 3 个解 . 解：由 3x + 2y + 4 = 0，得 2y = - 3x - 4. y x = - +34 2 . 令 x 分别取 - 1，0，2，代入 y x = - +34 2 中，得出的 y 的值分别为： - 1 2 ， - 2， - 5. 所以 x y = 0 = - 2 ， ； x y = − 1 = − 1 2 ， ； x y = = - 2 5 ， 是二元一次方程3x + 2y + 4 = 0 的 3 个解 . 一般地，一个二元一次方程有无数个解 . 就是把 y 看做“已知 数” ，解关于 x 的方程 . 可以把 x 看做“已 知数” ，把原方程化为 用 x 表示 y 的形式 . 数学六章最终文件.indd 292012-8-16 10:52:35 30 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 为了研究章前页提出的问题，我们在 6. 1 节列出了两个二元一次方 实 践 请填写下表，并指出二元一次方程 3x + 2y = 17 的所有自然数解 . 3x + 2y = 17 x012… y… 通过“实践” ，你能否体会求 二元一次方程的整数解的方法？ 练 习 1. 把下列二元一次方程改写成用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的 形式： ( 1 ) x - 3y = 13 ； ( 2 ) 3x - 2y = 5 ； ( 3 ) 4x - 5y + 6 = x + 3y - 4. 2. 填写下表，使表中的每一对 x，y 的值都是方程 2x - 3y = 5 的一个解： 2x - 3y = 5 x - 3 6 - 23 - 2 3 y - 2 7 - 5 4 3. x y = - = 1 3 ， 是不是方程 3x + y = 0 和 x + 3y = 8 的公共解？ x y = = 1 1 ， 是不是方程 2x - y = 1 和 3x + y = 5 的公共解？请你检验一下 . 6.2 二元一次方程组和它的解 通过填表我们知道，二元一次方程 3x + 2y = 17 的自然数解为： x y = = 1 7 x y = = 3 4 ， ，， ；； x y = = 5 1. 数学六章最终文件.indd 302012-8-16 10:52:37 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第六章 二元一次方程组 31 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 实 践 请你填写下表，并指出既是方程 7x - 3y = 50 的解，又是方程 8x - y = 62 的解的一对 x，y 的值是什么？ 7x - 3y = 50 x… - 1 25811… y…… 8x - y = 62 x… - 1 25811… y…… 通过填表，我们知道 x y = = 8 2 ， 既是方程 7x - 3y = 50 的解，又是方 程 8x - y = 62 的解，即 x y = = 8 2 ， 是方程组 7350 862 xy xy -= -= ， 的解 . 例 1 判断 x y = - = 2 1 ， 是不是方程组 xy xy += -= - 31 259 ， 的解 . 解：把 x y = - = 2 1 ， 代入 x + 3y = 1 的左右两边， 左边 = - 2 + 3 × 1 = 1，右边 = 1. 程 . 因为在这个问题中，两位同学的得分情况是同时存在的，所以两个 方程应同时成立 . 因此，我们把 7x - 3y = 50 和 8x - y = 62 放在一起，写 为 7350 862 xy xy -= -= 的形式 . 这样就组成了一个二元一次方程组 . 一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组 . 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相等的两个 未知数的值 ( 即两个方程的公共解 )，叫做二元一次方程组的解 . 数学六章最终文件.indd 312012-8-16 10:52:38 32 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O ∵ 左边 = 右边， ∴ x y = - = 2 1 ， 是 x + 3y = 1 的解 . 把 x y = - = 2 1 ， 代入 2x - 5y = - 9 的左右两边， 左边 = 2 × ( - 2 ) - 5 × 1 = - 9，右边 = - 9. ∵ 左边 = 右边， ∴ x y = - = 2 1 ， 是 2x - 5y = - 9 的解 . 所以 x y = - = 2 1 ， 是方程组 xy xy += -= - 31 259 ， 的解 . 例 2 已知 ，x y = - = 1 2 是关于 x，y 的方程组 axy xby += -= 31 24 的解，求 a + b 的值 . 解：∵ ，x y = - = 1 2 是方程组 axy xby += -= 31 24 的解， ∴ 把 x = - 1，y = 2 分别代入两个方程，得 - a + 6 = 1， - 2 - 2b = 4. 解得 a = 5， b = - 3. ∴ a + b = 5 + ( - 3 ) = 2. 练 习 1. 在 ① x y = = 3 0 ， ； ② ， ； x y = = - 0 1 ③ x y = = 1 1 ? 这三对数值中， 是方程 x + 2y = 3 的解， 是方程 x + y = 2 的解，因此 是方程 数学六章最终文件.indd 322012-8-16 10:52:40 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第六章 二元一次方程组 33 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 组 ，xy xy += += 23 2 的解 . 2. 如果 ，x y = - = 1 2 1 是方程组 ， axy xby += -= 21 32 的解，那么 a，b 的值是多少？ 基础 1. 请判断下面给出的 x，y 的值是不是方程 3x + 2y = 5 的解： ( 1 ) ， ； x y = = - 2 1 2 ( 2 ) ，x y = - = 1 4. 2. 把下列方程写成用含 x 的代数式表示 y 的形式： ( 1 ) 2x + 3y = 0 ； ( 2 ) x - 2y + 5 = 0 ； ( 3 ) 3x - 2y = x + 5y ； ( 4 ) 2x + 4 = 3( 2y - 2 ) . 3. 判断 ，x y = = - 2 15 4 24 . . 是不是方程 4x + y = 3. 46 和方程 x - 3y = 14. 87 的公共解 . ( 可以用计 算器检验 ) 4. 在下面每一个二元一次方程组的后面给出了一对 x 和 y 的值，判断这对值是不是前面 方程组的解： ( 1 ) ， ； xy xy -= += 25 21 x y = = − 3 1 , () ( 2 ) ， ； 345 2 3 2 xy xy -= += x y = = − 1 1 2 , () ( 3 ) ，21 322 xy xy -= += . x y = = 1 1 , () 习 题 6 - 1 数学六章最终文件.indd 332012-8-16 10:52:42 34 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 提升 1. 根据下列关系列出二元一次方程，并写出它的 4 个解： ( 1 ) x 的 3 倍比 y 大 7 ； ( 2 ) 小明用 10 元买了 x 张 60 分的邮票和 y 张 80 分的邮票 . 2. 求满足方程 3x + y = 5 的非负整数解 . 3. 已知 ，x y = = - 1 1 是二元一次方程组 ，axyb xby += -= 2 43 的解，求 a，b 的值 . 4. 一个两位数， 十位上的数字与个位上的数字的和是13， 请写出满足条件的所有的两位数. 拓展 已知二元一次方程 3x - 2y = 5 ： ( 1 ) 方程 3x - 2y = 5 的整数解有多少个？请写出其中的任意 3 个解 . ( 2 ) 写出使 | x | + | y | 的值最小的整数解 . ( 3 ) 3x - 2y = 5 的整数解有规律吗？试写出它的规律 . 探究应用 让我们和王晓、张磊一起做一个数学游戏 . 王晓对张磊说： “请你想一个 0 与 10 之间的整数，将它乘 7， 再加上 5，把得数乘 3，再加上你想的另一个 0 与 10 之间的整数， 然后从这个得数中减去 8，说出你的最后计算结果 .” 当张磊说出最后计算出的结果是 121 时，王晓很快就说出了 张磊前后两次心里想的整数分别是 5 和 9. 请你思考： 1. 王晓为什么能很快地知道张磊两次想的整数分别是 5 和 9 ？请你写出解决这个问题的一般方法 . 2. 如果王晓请张磊想的数不是 “0 与 10 之间的整数” ， 而是 “任 意的正整数” ，那么这个问题能否得到解决？为什么？ 数学六章最终文件.indd 342012-8-16 10:52:42 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第六章 二元一次方程组 35 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 能否通过我们已经学习过的一元一次方程的解法来求这个二元一次方 程组的解？ 由于有相等关系： y = 5 - x，所以 y 和 5 - x 可以互相替代 . 如果我们 把方程 x - 2y = 2 中的 y 用 5 - x 替代，就得到一个关于 x 的一元一次 方程 x - 2( 5 - x ) = 2，从而可以求出 x 的值 . 化简方程得 3x = 12. x = 4. 把 x = 4 代入 y = 5 - x 中，得 y = 1 . 所以原方程组的解是 ，x y = = 4 1. 6.3 用代入消元法解二元一次方程组 探 索 怎样求出二元一次方程组 ， yx xy =- -= 5 22 的解？ 怎样消去一个未知数，转化 为一元一次方程去求解呢？ 是否可以把上面的解法运用到下面例题的求解中？ 二 二元一次方程组的解法 思 考 数学六章最终文件.indd 352012-8-16 10:52:43 36 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 例 解下列二元一次方程组： ( 1 ) ， ； xy xy -= -= 3 325 ( 2 ) ，325 431 xy xy += -= . 解： ( 1 ) ① ② ， . xy xy -= -= 3 325 由①，得 y = x - 3. ③ 把③代入②，得 3x - 2( x - 3 ) = 5. 解这个方程，得 x = - 1. 把 x = - 1 代入③，得 y = - 4. 所以原方程组的解是 x y = - = - 1 4. ， ( 2 ) ，325 431 xy xy += -= . ① ② 由①，得 y x = -53 2 . ③ 把③代入②，得 4x - 3 ×y x = -53 2 = 1. 解得 x = 1. 把 x = 1 代入③，得 y = 1. 所以原方程组的解是 x y = = 1 1. ， 请你心算检验， ，x y = = 1 1 是不是方程组 ，325 431 xy xy += -= 的解？ 这个方程组与前面 “探索” 中给出的方程组在形式上有什 么不同？怎样变形可以使它与 上面的方程组有相同的形式？ 只要用含有 x 的代数式 表示 y 就可以了 . 我们可以把方程①变形为用 含有 x 的代数式表示 y，通过代换 求解 . 求出 x 的值后，要代 入③，再求出 y 的值 . 数学六章最终文件.indd 362012-8-16 10:52:45 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第六章 二元一次方程组 37 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数 x ( 或 y ) 表示另一个 未知数 y ( 或 x ) 的代数式，然后把它代入另一个方程中，消去未知数 y ( 或 x )， 得到关于 x ( 或 y ) 的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一 次方程组的解 . 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫 做代入消元法，简称代入法 . 上面的题目我们还可以用图形计算器求解 . 按键步骤如下： 1. 在上面例题的求解中是怎样消去 y 的？ 2. 用消去 x 的方法能否解上面的例题？ 3. 通过以上例题的解题过程，你能否总结出一种解二元一次方程 组的一般方法 . 交 流 如图 6 - 1，得原方程组的解是 x y = = 1 1. ， 图 6 - 1 数学六章最终文件.indd 372012-8-16 10:52:46 38 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 探 索 *用图形计算器解二元一次方程组 0 12051 1 2 11 1 113 2 . xy xy += -= ， 练 习 用代入消元法解下列方程组： ( 1 ) ， ； yx xy =- += 31 238 ( 2 ) ， ； xy xy -= += 31 326 ( 3 ) ， ； xy xy += -= 31 33 ( 4 ) ，237 40 xy xy -= += . 6.4 用加减消元法解二元一次方程组 思 考 请你观察方程组 ，321 23 xy xy += -= 的结构特点，想一想，除了 可以用代入法解方程组外，是否还有其他的解法 . 通过观察我们发现，这个方程组的两个方程中分别含有 2y 和 - 2y 的项，它们的系数互为相反数，因此它们的和为零，所以我们还可以用 下面的方法解这个方程组 . 解： ，321 23 xy xy += -= . ① ② 这两个方程中含 y 的项的 系数互为相反数，把两个方程 相加就可以消去 y，进而求解 . 数学六章最终文件.indd 382012-8-16 10:52:48 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 第六章 二元一次方程组 39 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O ① + ②消去 y，得 4x = 4. x = 1. 把 x = 1 代入①，得 2y = - 2. y = - 1. 所以原方程组的解是 x y = = - 1 1. ， 请你心算检验， ，x y = = - 1 1 是不是方程组 ，321 23 xy xy += -= 的解 . 例 1 解方程组 ，235 31 xy xy += += . 解： ① ② ，235 31 xy xy += += . ① - ②，得 x = 4. 把 x = 4 代入②，得 4 + 3y = 1. y = - 1. 所以 ，x y = = - 4 1 是原方程组的解 . 1. 分析上面的解题过程，请你总结一下这类方程组具有什么特点， 可以运用怎样的方法求解 . 2. 如果一个二元一次方程组中，两个方程的某个未知数的系数相 同或互为相反数时，可以运用什么方法求解？ 交 流 数学六章最终文件.indd 392012-8-16 10:52:49 40 x+3 2 x+3 2 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 数学 七年级 下册 y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O y=kx+b m≥-1 AB⊥CD △ABC ⊙O 当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时， 可以把方程的两边分别相加 ( 当某个未知数的系数互为相反数时 ) 或相减 ( 当 某个未知数的系数相等时 ) 来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而 求得二元一次方程组的解 .
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