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??????? ??? ????????????????? ??????? · ??? · 主 编 马 复 副 主 编 史炳星 章 飞 本册主编 张惠英 出版发行：北京师范大学出版社 北京新街口外大街19号 邮政编码：100875 印 刷： 经 销：全国新华书店 开 本：184 mm × 260 mm 印 张：11.5 字 数：278 千字 版 次：2013 年 11 月第 1 版 印 次：2013 年 11 月第 1 次印刷 定 价：7.95 元 ISBN 978-7-303- 责任编辑：王永会 兰小银 装帧设计：王 蕊 责任校对：李 菡 责任印制：李 啸 版权所有 侵权必究 反盗版、侵权举报电话：010-58800697 北京读者服务部电话：010-58808104 本书如有印装质量问题，请与印制管理部联系调换。 印制管理部电话：010-58800825 外埠邮购电话：010-58808083 基础教育教材网址 http：// 亲爱的同学，祝贺你跨入了新学期，并在数学世界里不断成长！ 在此之前，我们已经认识了有理数及其扩充——实数，体会到方程（组） 和一次函数模型的作用，多角度分析了数据所蕴含的信息，知道了直角坐标系 中的简单轴对称与坐标之间的关系，研究了为什么要证明、怎样证明一个命题 是正确的…… 在学习过程中， 我们不仅学到了丰富的数学知识， 而且还积累了观察、 归纳、 类比、猜想、证明等许多数学活动的经验，这将有助于我们进一步发现和提出 数学问题、分析和解决数学问题． 在本册教科书中，我们将要学习一些新内容． 等腰三角形、直角三角形、平行四边形有哪些基本性质？我们采用什么方 法发现并证明这些性质？通过第一章和第六章的学习，相信你会找到自己的 答案． 与“相等”关系相比， 生活中我们见到的更多是“不等”关系．在数学里， 不等式（组）是刻画不等关系的最常见模型．在第二章中我们会研究最基本的 一元一次不等式（组） ． 图形的变化也是我们要继续研究的一个课题，在图形平移、旋转过程中什 么是不变的？平移、旋转有什么基本性质？相信你也很好奇！通过第三章的学 习，你一定会有更多的收获！ 除此之外，我们还将学习因式分解的基本方法，了解分式的意义，学习解 分式方程…… 你在以前的数学学习过程中可能已经体会到，有效的学习方法对于学好数 学有很大的作用．继续尝试下面的方法吧 ： 先自己想一想、做一做，再与同伴 议一议，然后读一读教科书，听一听老师的讲解，再试一试解几个问题． 让我们一起走进数学新天地！ 走进数学新天地 目 录 MULU 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形 .2 2 直角三角形 14 3 线段的垂直平分线 22 4 角平分线 28 回顾与思考 .33 复习题 .33 第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组 1 不等关系 37 2 不等式的基本性质 40 3 不等式的解集 43 4 一元一次不等式 46 5 一元一次不等式与一次函数 50 6 一元一次不等式组 54 回顾与思考 .61 复习题 .61 1 第三章 图形的平移与旋转 1 图形的平移 65 2 图形的旋转 75 3 中心对称 81 4 简单的图案设计 85 回顾与思考 .87 复习题 .87 第四章 因式分解 1 因式分解 92 2 提公因式法 95 3 公式法 99 回顾与思考 104 复习题 104 2 第六章 平行四边形 1 平行四边形的性质 .135 2 平行四边形的判定 .140 3 三角形的中位线 .150 4 多边形的内角和与外角和 .153 回顾与思考 158 复习题 158 综合与实践 ⊙ 生活中的“一次模型” 162 综合与实践 ⊙ 平面图形的镶嵌 163 总复习 166 第五章 分式与分式方程 1 认识分式 .108 2 分式的乘除法 .114 3 分式的加减法 .117 4 分式方程 .125 回顾与思考 131 复习题 131 3 第 一 章 三角形的证明 我们曾经探索过等腰三角形和直角三角形的一些性质，如等腰三角形 “三 线合一”的性质、勾股定理等. 你还记得获得这些结论的过程吗？你能根据已 有基本事实和定理证明这些结论吗？ 本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证 明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，还将研究直角三角形全等的判定， 进一步体会证明的必要性. 学 习 目 标 经历探索、证明等腰三角形和直角三角形等图形性 质与判定的过程，进一步发展推理能力 能证明等腰三角形的性质定理和判定定理 掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些 简单的实际问题 探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 能证明线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其 逆定理 2 1 等腰三角形 在“平行线的证明”一章中，我们给出了 8 条基本事实，并从其中的几条 基本事实出发证明了有关平行线的一些结论. 运用这些基本事实和已经学习过 的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论. 想一想 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （AAS） 根据全等三角形的定义，我们可以得到 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 议一议 （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流. 定理 等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为：等边对等角. 3 第一章 三角形的证明 已知：如图 1-1，在 △ABC 中，AB = AC. 求证：∠ B = ∠ C. 图 1-2图 1-1 A BCCD A B 图 1-3 分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等（如图 1-2）. 实 际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形. 这启发我们，可以作一条辅 助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等. 证明：如图 1-3，取 BC 的中点 D，连接 AD. ∵ AB = AC，BD = CD，AD = AD， ∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）. ∴ ∠ B =∠ C（全等三角形的对应角相等）. 你还有其他证明方法吗？与同伴交流. 想一想 在图 1-3 中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？ 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互 相重合. 随堂练习 1．在 △ABC 中，AB = AC. （1）若 ∠ A = 40°，则 ∠ C 等于多少度？ 4 数学 八年级 下册 （2）若 ∠ B = 72°，则 ∠ A 等于多少度？ 2．如图，在 △ABD 中，AC⊥BD，垂足为 C，AC = BC = CD. （1）求证：△ABD 是等腰三角形； （2）求 ∠ BAD 的度数. 习题 1.1 知识技能 1．将下面证明中每一步的理由写在括号内. 已知：如图，AB = CD，AD = CB. 求证：∠ A = ∠ C. 证明：如图，连接 BD. 在 △BAD 和 △DCB 中， ∵ AB = CD（ ） ， AD = CB（ ） ， BD = DB（ ） ， ∴ △BAD ≌ △DCB（ ）. ∴ ∠ A = ∠ C（ ）. 2．已知：如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB = DE， AC = DF，BE = CF. 求证：∠ A = ∠ D. 3． 如图，在 △ABC 中，∠ BAC = 108°，AB = AC，AD⊥ BC，垂足为 D，求∠ BAD 的度数. 数学理解 4．如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为 D， 点 E 是 AD 上一点，连接 BE，CE. 请找出图中所有相等的 角，并说明理由. A BD C （第 2 题） （第 1 题） A D CB （第 2 题） A BECF D A B D C （第 3 题） A E B D C （第 4 题） 5 第一章 三角形的证明 5．两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形全等吗？ ． 请证明你的结论. 问题解决 6．如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D，E 都在边 BC 上， 且 AD = AE，那么 BD 与 CE 相等吗？请证明你的结论. 在等腰三角形中画出一些线段（如角平分线、中线、高等） ，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？ 证明：等腰三角形两底角的平分线相等. 已知：如图 1-4，在 △ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是 △ABC 的角平分线. 求证：BD = CE. 证明：∵ AB = AC， ∴ ∠ ABC = ∠ ACB（等边对等角）. ∵ BD，CE 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB， ∴ ∠ 1 = 1 2 ∠ ABC，∠ 2 = 1 2 ∠ ACB. ∴ ∠ 1 = ∠ 2. 在 △BDC 和 △CEB 中， ∵ ∠ ACB = ∠ ABC，BC = CB，∠ 1 = ∠ 2， ∴ △BDC ≌ △CEB（ASA）. ∴ BD = CE（全等三角形的对应边相等）. 等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它 们，并与同伴交流. 议一议 如图 1-5，在 △ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在 边 AC 和 AB 上. 例1 A BC DE （第 6 题） A BC DE 12 图 1-4 图 1-5 C A E D B 6 数学 八年级 下册 （1）如果∠ ABD = 1 3 ∠ ABC，∠ ACE = 1 3 ∠ ACB，那么 BD = CE 吗？如 果 ∠ ABD = 1 4 ∠ ABC，∠ ACE = 1 4 ∠ ACB 呢？由此你能得到一个什么结论？ （2）如果 AD = 1 2 AC，AE = 1 2 AB，那么 BD = CE 吗？如果 AD = 1 3 AC， AE = 1 3 AB 呢？由此你能得到一个什么结论？ 想一想 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？ 定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图 1-6，在 △ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°. 证明：∵ AB = AC， ∴ ∠ B = ∠ C（等边对等角）. 又∵ AC = BC， ∴ ∠ A = ∠ B（等边对等角）. ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C. 在 △ABC 中， ∵ ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°， ∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°. 随堂练习 1．求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数. 2． 如图，在 △ABC 中，D，E 是 BC 的三等分 点，且△ADE 是等边三角形，求 ∠BAC 的 度数. A BC DE （第 2 题） 图 1-6 A BC 7 第一章 三角形的证明 习题 1.2 知识技能 1．如图，在 △ABC 中，AB = AC，BD 平分 ∠ ABC，交 AC 于点 D. 若 BD = BC， 则 ∠ A 等于多少度？ 2．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，D 为 BC 的中点，点 E，F 分别在 AB 和 AC 上， 并且 AE = AF. 求证：DE = DF. （第 2 题）（第 3 题）（第 1 题） BC D EF A BC D E A A BC D 3．已知：如图，点 D，E 分别是等边三角形 ABC 的两边 AB，AC 上的点，且 AD = CE. 求证：CD = BE. 数学理解 4．如图，在一个风筝 ABCD 中，AB = AD，BC = DC. （1） 分别在 AB， AD 的中点 E， F 处拉两根彩线 EC， FC，证明： 这两根彩线的长度相等； （2） 如果 AE = 1 3 AB，AF = 1 3 AD，那么彩线的长度相等吗？ 如果 AE = 1 4 AB，AF = 1 4 AD 呢？由此你能得到什么结论？ （3） 除了（1） （2）的条件外，你还能在哪些已知条件下得到两 根彩线的长度相等的结论？ （第 4 题） C BD EF A 8 数学 八年级 下册 前面已经证明了等腰三角形的两底角相等. 反过来，有 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图 1-7，在 △ABC 中，∠ B = ∠ C，要想证明 AB = AC， 只要能构造两个全等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就 可以了. 你是怎样构造的？ 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 这一定理可以简述为：等角对等边. 请你写出证明过程. 已知：如图 1-8，AB = DC，BD = CA. 求证：△AED 是等腰三角形. 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴ △ABD ≌ △DCA（SSS）. ∴ ∠ ADB = ∠ DAC（全等三角形的对应角 相等）. ∴ AE = DE（等角对等边）. ∴ △AED 是等腰三角形. 想一想 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边 也不相等. 你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 小明是这样想的： A CB 图 1-9 如图 1-9，在 △ABC 中，已 知 ∠ B≠∠ C，此时 AB 与 AC 要 么相等，要么不相等. 假设 AB = AC，那么根据“等 边对等角”定理可得 ∠ C = ∠ B， 这与已知条件 ∠ B≠∠ C 相矛盾，因此 AB≠AC. 例2 A BC 图 1-7 AD CB E 图 1-8 9 第一章 三角形的证明 你能理解他的推理过程吗？ 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事 实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立. 这种 证明方法称为反证法（reduction to absurdity）. 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠ A, ∠ B, ∠ C 中不能有两个角是直角. 证明：假设 ∠ A, ∠ B, ∠ C 中有两个角是直角，不妨设 ∠ A 和 ∠ B 是 直角，即 ∠ A = 90°，∠ B = 90°. 于是 ∠ A + ∠ B + ∠ C = 90°+ 90°+ ∠ C 180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“ ∠ A 和 ∠ B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 随堂练习 1．如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ ABC，交 AC 于点 D， 过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，请判断 △BDE 的形 状，并说明理由. 2．已知五个正数的和等于 1，用反证法证明：这五个数中 至少有一个大于或等于 1 5. A BC DE （第 1 题） 习题 1.3 知识技能 1．已知：如图，∠ CAE 是 △ABC 的外角，AD∥BC， 且 ∠ 1 = ∠ 2. 求证：AB = AC. 例3 （第 1 题） A BC D E 1 2 10 数学 八年级 下册 2．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 E 在 CA 的延长线上， EP⊥BC，垂足为 P，EP 交 AB 于点 F. 求证：△AEF 是等腰三 角形. 数学理解 3． （1） 已知：如图（甲） ，等腰三角形的一个内角为锐角 α，腰 为 a，求作这个等腰三角形； α a （甲） α （乙） （第 3 题） （2） 在（1）中，把锐角 α 变成钝角 α，其他条件不变，求作这个等腰三角形. 问题解决 4．如图，一艘船从 A 处出发，以 18 kn1 的速度向正北航行，经 过 10 h 到达 B 处. 分别从 A，B 望灯塔 C，测得 ∠ NAC = 42°， ∠ NBC = 84°. 求从 B 处到灯塔 C 的距离. 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件 时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形. 1 kn 是速度单位 “节” 的符号， 一般只用于航行. 1 节 = 1 海里/时 = 1.852 千米/时. C A B N 84° 42° （第 4 题） A BC E F P （第 2 题） 11 第一章 三角形的证明 做一做 用两个含 30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一 个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半. 已知：如图 1-10（1） ，△ABC 是直角三角形，∠ C = 90°，∠ A = 30°. 求证：BC = 1 2 AB. 图 1-10 （1） A BC （2） A BD C 证明：如图 1-10（2） ，延长 BC 至点 D，使 CD = BC，连接 AD. ∵ ∠ ACB = 90°，∠ BAC = 30°， ∴ ∠ ACD = 90°，∠ B = 60°. ∵ AC = AC， ∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）. ∴ AB = AD（全等三角形的对应边相等）. ∴ △ABD 是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三 角形）. ∴ BC = 1 2 BD = 1 2 AB. 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图 1-11，在 △ABC 中，AB = AC，∠ B =15°，CD 是腰 AB 上 例3 12 数学 八年级 下册 的高. 求证：CD = 1 2 AB. 证明：在 △ABC 中， ∵ AB = AC，∠ B = 15°， ∴ ∠ ACB = ∠ B = 15°（等边对等角）. ∴ ∠ DAC = ∠ B + ∠ ACB = 15°+ 15°=30°. ∵ CD 是腰 AB 上的高， ∴ ∠ ADC = 90°. ∴ CD = 1 2 AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半）. ∴ CD = 1 2 AB. 随堂练习 直角三角形的一个角等于30°，斜边长为 4，用四个这样的直角三角形拼成如图所示 的正方形，求正方形 EFGH 的边长. A B C DE F G H 习题 1.4 知识技能 1．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交 AB 和 AC 于点 D，E. 图 1-11 A B C D 13 第一章 三角形的证明 求证：△ADE 是等边三角形. (第 1 题) A BC DE (第 2 题) AC B E D 2．房梁的一部分如图所示，其中 BC⊥AC，∠ A = 30°，AB = 7.4 m，点 D 是 AB 的中 点，且 DE⊥AC，垂足为 E，求 BC，DE 的长. 联系拓广 3． （1） 如图，△ABC 是等边三角形，过它的三个顶点分别作对 边的平行线，得到一个新的△DEF，△DEF 是等边三角 形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？点 A，B，C 分 别是 EF，ED，FD 的中点吗？请证明你的结论. （2） 如果 △DEF 是等边三角形，点 A，B，C 分别是 EF， ED，FD 的中点，那么 △ABC 是等边三角形吗？请证明 你的结论. 4．证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐 角等于 30°. 5．如图（1） ，ABCD 是一张正方形纸片，E，F 分别为 AB，CD 的中点，沿过点 D 的 折痕将 A 角翻折，使得点 A 落在 EF 上（如图（2）的点 A′） ，折痕交 AE 于点 G，那 么 ∠ ADG 等于多少度？你能证明你的结论吗？ （提示：利用第 4 题的结论） ※ ※ （第 5 题） FE A B D C （1）（2） FE A G A′ B D C （第 3 题） A BC D EF 14 2 直角三角形 我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流. 想一想 （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ （2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为 什么？ 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理. 实际上，利用基 本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理（有关证明过程参见本节“读一 读” ）. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾 用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形” 的结论. 下面我们证明这个结论. 已知：如图 1-12（1） ，在 △ABC 中，AB2 + AC2 = BC2. A BC A′ B′ C′ （1）（2） 图 1-12 15 第一章 三角形的证明 求证：△ABC 是直角三角形. 证明：如图 1-12（2） ，作 Rt△A′B′C′，使 ∠ A′ = 90°，A′B′ = AB，A′C′ = AC， 则 A′B′2 + A′C′2 = B′C′ 2（勾股定理）. ∵ AB2 + AC2 = BC2， ∴ BC2 = B′C′2. ∴ BC = B′C′. ∴ △ABC ≌ △A′B′C′ （SSS）. ∴ ∠ A = ∠ A′ = 90°（全等三角形的对应角相等）. 因此，△ABC 是直角三角形. 定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形. 议一议 观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关 系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流. 再观察下面三组命题： 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流. 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 16 数学 八年级 下册 件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 想一想 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题 吗？它们都是真命题吗？ 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 如果一个定理的逆命题 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆 定理. 例如，本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三 个定理和第四个定理也是一对互逆定理. 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 随堂练习 1．在 △ABC 中，已知 ∠ A = ∠ B = 45°，BC = 3，求 AB 的长. 2．已知：在 △ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 边上的中线 AD = 12 cm. 求证：AB = AC. 3．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0. 读一读 勾股定理的证明 利用教科书给出的基本事实和已有定理，我们可以证明勾股定理. 如图 1-13（1） ，在 △ABC 中，∠ C = 90°，BC = a，AC = b， AB = c. 分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形 AHIB，ACDE，CBFG（如 图 1-13（2） ）. 连接 EB，CH. 过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于 17 第一章 三角形的证明 图 1-13 AB C ba c （1）（2） AB M D E F G H I N C b a c 点 M，N. ∵ EA = CA， ∠ EAB = ∠ CAH = 90°+ ∠ CAB， AB = AH， ∴ △EAB ≌ △CAH ( SAS ). 又∵ S正方形ACDE = 2S△EAB，S长方形AHNM = 2S△CAH， ∴ b2 = S长方形AHNM . 同理 a2 = S长方形MNIB . ∴ c2 = a2 + b2. 以上是欧几里得在《原本》中证明勾股定理的大致过程. 勾股定理是数学史上非常重要的定理之一. 两千多年来，人们对它进 行了大量的研究，给出了多达数百种的证明方法. 如果你有兴趣，可查阅 有关资料，了解勾股定理的其他证明方法. 习题 1.5 知识技能 1．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点， 且 ∠ BAE = 25°，∠ CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长. （第 1 题） A D B C E 18 数学 八年级 下册 2．一个直角三角形房梁如图所示，其中 BC⊥AC，∠ A = 30°，AB = 10 m，CB1⊥AB， B1C1⊥AC，垂足分别为 B1，C1，那么 BC 的长是多少？B1C1 呢？ A B C C1 B1 （第 2 题） 问题解决 3．如图，小红想测量离 A 处 30 m 的大树的高度，她站在 A 处仰望树顶 B，仰角为 30° （即 ∠ BDE = 30°）. 已知小红身高 1.52 m，求大树的高度（结果精确到 0.1 m）. B E 30° A D （第 3 题） A B C D A′ B′ C′ D′ （第 5 题） 4．有一块三角形空地，它的三条边线分别长 45 m，60 m 和 70 m. 已知 60 m 长的边线为 南北向，是否有一条边线为东西向？ 5．如图，正四棱柱的底面边长为 5 cm，侧棱长为 8 cm，一只蚂蚁从点 A 出发，沿棱柱 侧面到点 C′ 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？如果 其中一组等边所对的角是直角呢？ 做一做 已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 19 第一章 三角形的证明 已知：如图 1-14，线段 a，c（a 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 E， AC 的垂直平分线交 BC 于点 F，请找出图中相等的线段，并求 △AEF 的周长. A BC EF 习题 1.8 知识技能 1．如图，已知线段 a，求作以 a 为底、以 1 2 a 为高的等腰三角形，这个等腰三角形 有什么特征？ （第 2 题） A CB a （第 1 题） 2．如图，已知 △ ABC， 求作： （1）AC 边上的高； （2）BC 边上的高. 问题解决 3．为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心. 在选址过程中，有人建议 该体育中心所在位置应与该市的三个城镇中心（图中以 P，Q，R 表示）的距离相等. 27 第一章 三角形的证明 （1）根据上述建议，试在图（1）中画出体育中心 G 的位置； P P Q Q R R （1）（2） （第 3 题） （2） 如果这三个城镇的位置如图（2）所示，∠ RPQ 是一个钝角，那么根据上述建议， 体育中心 G 应在什么位置？ （3）你对上述建议有何评论？你对选址有什么建议？ 4．如图，某市三个城镇中心 A，B，C 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三 个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇 A 为出发点设计了三种连接方案： （1）AB + BC； （2）AD + BC（D 为 BC 的中点） ； （3）OA + OB + OC（O为 △ABC 三边的垂直平分线的交点）. 要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？ A BC A BC D A BC D O （1）（2）（3） （第 4 题） 28 4 角平分线 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这 一性质，并与同伴交流. 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：如图 1-22，OC 是 ∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴ ∠ PDO = ∠ PEO = 90°. ∵ ∠ 1 = ∠ 2，OP = OP， ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）. ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）. 想一想 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上. 已知：如图 1-23，点 P 为 ∠ AOB 内一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为 D，E，且 PD = PE. 求证：OP 平分 ∠ AOB. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， 图 1-22 O 1 2 A B C P D E 图 1-23 O 1 2 A B P D E 29 第一章 三角形的证明 ∴ ∠ ODP = ∠ OEP = 90°. ∵ PD = PE，OP = OP， ∴ Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）. ∴ ∠ 1 = ∠ 2（全等三角形的对应角相等）. ∴ OP 平分 ∠ AOB. 如图 1-24，在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长. 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F， 且 DE = DF， ∴ AD 平分 ∠ BAC（在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠ BAC = 60°， ∴ ∠ BAD = 30°. 在 Rt△ADE 中，∠ AED = 90°，AD = 10， ∴ DE= 1 2 AD = 1 2 × 10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 随堂练习 1．如图，AD，AE 分别是 △ABC 中 ∠ A 的内角平分线和外角平分线，它们有什么 关系？ （第 1 题） AB C D E F （第 2 题） A 区 2．如图，一目标在 A 区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处 500 m，在 图上标出它的位置（比例尺 1 ∶ 20 000）. 例1 A E F CB D 图 1-24 30 数学 八年级 下册 习题 1.9 知识技能 1．利用尺规作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 2．已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. 联系拓广 3．如图，在 △ABC 中，∠ C = 90°，∠ A = 30°，作 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 D， 交 AC 于点 E，连接 BE，则 BE 平分 ∠ ABC. 请证明这一结论.你有几种证明方法？ A B C E D （第 3 题） A B C O D （第 4 题） 4．如图，求作一点 P，使 PC = PD，并且点 P 到 ∠ AOB 两边的距离相等. 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距 离相等. 已知：如图 1-25，在 △ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于 点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别是 D，E，F. 求证：∠ A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF. 证明：∵ BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等）. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. ∴ 点 P 在 ∠ A 的平分线上（在一个角的内部，到 例2 A BC D EF （第 2 题） A BC E D P M F N 图 1-25 31 第一章 三角形的证明 角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） ， 即 ∠ A 的平分线经过点 P. 如图 1-26，在 △ABC 中，AC = BC，∠ C = 90°，AD 是 △ABC 的 角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. （1）解：∵ AD 是 △ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E， ∴ DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∵ AC = BC， ∴ ∠ B = ∠ BAC（等边对等角）. ∵ ∠ C = 90°， ∴ ∠ B = 1 2 × 90°= 45°. ∴ ∠ BDE = 90°- 45°= 45°. ∴ BE = DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形 BDE 中， BD = 2DE2 = 42 cm（勾股定理）. ∴ AC = BC = CD + BD =（4 + 4 2）cm. （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）. ∴ AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵ BE = DE = CD， ∴ AB = AE + BE = AC + CD. 随堂练习 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB =90°， ∠ B = 60°，AD，CE 是角平分线，AD 与 CE 相交于 点 F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N. 求证：FE = FD. A B C D N F E M 例3 A CB D E 图 1-26 32 数学 八年级 下册 习题 1.10 知识技能 1．已知：如图，∠ C = 90°，∠ B = 30°，AD 是 △ABC 的角平分线. 求证：BD = 2CD. 2．已知：如图，△ABC 的外角 ∠ CBD 和 ∠ BCE 的平分线相交于点 F. 求证：点 F 在 ∠ DAE 的平分线上. A BC D （第 1 题）（第 2 题） A BC DE F （第 3 题） A B C D O P 3．已知：如图，P 是 ∠ AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D. 求证： （1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线. 问题解决 4．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库. （1） 如果要求油库到两条公路 AB，AC 的距离都相等，那么 如何选择油库的位置？ （2） 如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选 择油库的位置？ （第 4 题） A B C 33 第一章 三角形的证明 复习题 知识技能 1．请将下面证明中每一步的理由填在括号内： 已知：如图，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，DE∥BA，DF∥CA. 求证：∠ FDE = ∠ A. 证明：∵ DE∥BA（ ） ， ∴ ∠ FDE = ∠ BFD（ ）. ∵ DF∥CA（ ） ， ∴ ∠ BFD = ∠ A（ ）. ∴ ∠ FDE = ∠ A（ ）. 回顾与思考 1．说说作为证明基础的几条基本事实. 2．等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？直角三角形呢？它们各自分别有哪些判 定条件？ 3．说说两个直角三角形全等的判定条件，并证明本章中学过的一个判定条件. 4．分别说说线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理．你是怎样发现和证 明它们的？ 5．如何用反证法证明？请举例说明，并与同伴交流． 6．请你说出一对互逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． 7．你认为本章哪些定理的证明方法比较独特？与同伴交流． 8．已知底边及底边上的高线，如何用尺规作等腰三角形？已知一直角边和斜边，如 何用尺规作直角三角形？ 9．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流. A BC D E F （第 1 题） 34 数学 八年级 下册 2．已知：如图，AD∥CB，AD = CB. 求证：△ABC ≌ △CDA. 3．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，且 ∠ ABD = ∠ ACE， BD 与 CE 相交于点
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