1、4.2.2等差数列的前n项和公式（2） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及
2、应用.B.会求等差数列前n项和的最值.1.数学抽象：等差数列前n项和公式2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数3.数学运算：等差数列前n项的应用4.数学建模：等差数列前n项的具体应用重点： 求等差数列前n项和的最值 难点： 等差数列前n项和的性质及应用多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 课前小测1思考辨析(1)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也是等差数列()(2)若a10，d480，在24小时内能构筑成第二道防线例9.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析：由a10和
3、d0，可以证明an是递减数列，且存在正整数k，使得当nk时，an0,Sn递减，这样，就把求Sn的最大值转化为求an的所有正数项的和。另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+a1-d2n，所以当d0时， Sn可以看成二次函数y=d2x2+a1-d2x(xR)，当x= n时函数值。如图，当d 0时， Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n, Sn的值。解法1.由d2，得an1an20，得an1an ，所以an是递减数列. 由a110，d2，得an10(n1)(2) 2n12.可知，当n6时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0.所以,
4、 S1S2S5S6 S7也就是说，当n5或6时，Sn最大.因为S5=52210+(5-1)(-2) =30所以Sn的最大值为30.解法2：因为由a110，d2，因为Sn=d2n2+a1-d2n=-n2+11n=-n-1122+1214所以，当n取与112 最接近的整数，即5或6时，Sn最大，最大值为30. 1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找 (2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正
5、数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点跟踪训练2. 数列an的前n项和Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项公式为an34
6、2n.法二：(结构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，anS7S5，有下列四个命题正确的是()A.d0； C.S12S7，a7
7、S5，a6a70，a60，d0，B正确S12(a1a12)6(a6a7)0，C不正确Sn中最大项为S6，D不正确故正确的是AB2已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_【答案】6或7由|a5|a9|且d0得a50，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小3已知数列an的前n项和公式为Snn230n.(1)求数列 an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值.【答案】(1)Snn230n，当n1时，a1S129.当n2时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合，an2n31，nN*
8、. (2)法一：Snn230n2225当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.法二：an2n31，a1a2a1515时，an0.当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d0，则S1是Sn的最大值五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景-建立模型-求解-解释-应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
