1、4.2.2等差数列的前n项和公式（1） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（1）数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A. 掌握等差数列前n项和公式的推导方法
2、B.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题C.掌握等差数列的前n项和的简单性质1.数学抽象：等差数列前n项和公式2.逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导 3.数学运算：等差数列前n项和公式的运用 4.数学建模：等差数列前n项和公式综合运用重点： 等差数列的前n项和的应用难点：等差数列前n项和公式的推导方法 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 新知探究据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，17771855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 问题1
3、：为什么11002995051呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.高斯的算法：（1+100）+（2+99）+(50+51)= 10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，n，前100项的和问题.等差数列中，下标和相等的两项和相等.设 ann，则 a11，a22，a33，如果数列an 是等差数列，p，q，s，tN*，且 pqst，则 apaqasat 可得：a1+a100=a2+a99=a50+a51问题2： 你能用上述方法计算123 101吗？问题3： 你能计算123 n吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n为偶数时， Sn=1+n+2+n-1+n2+n2-1=1+n+
4、1+n+1+n=n21+n =n(1+n)2当n为奇数数时， n1为偶数Sn=1+n+2+n-1+n+12-1+n+12+1+n+12=1+n+1+n+1+n+n+12=n-121+n+n+12 =n(1+n)2对于任意正整数n，都有123 n=n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？Sn= 1+2+3+nSn= n+n-1+n-2+1将上述两式相加，得2Sn= n+1+n-12+n-2+3+1+n= 1+n+1+n+1+n= n1+n所以Sn= 1+2+3+n=n(1+n)2问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列an的前n项和吗？倒序求和法Sn= a1+a2
5、+a3+an-2+an-1+an,Sn=an+an-2+an-1+a3+a2+a1.2Sn=( a1+an)+a2+an-1+(an+a1)因为：a1+an=a2+an-1=an+a1所以：2Sn =( a1+an)+ ( a1+an)+(a1+an)=n( a1+an)即：Sn=n(1+n)2等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式Snn(a1+an)2Snna1+n(n-1)2 d功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 二、典例解析例6.已知数列an是等差数列.（1）若a1=7, a50=101,求S50
6、；（2）若a1=2, a2= 52,求S10；（3）若a1=12，d= - 16, Sn= -5,求n ；分析：对于（1），可以直接利用公式Sn=n(a1+an)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d ，再利用公式Sn=na1+n(n-1)2 d求和；（3）已知公式Sn=na1+n(n-1)2 d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n解：（1）因为a1=7, a50=101 ，根据公式Sn=n(a1+an)2，可得S20=50(7+101)2=2700.（2）因为a1=2, a2= 52， 所以d= 12.根据公式Sn=na1+n(n-1)2 d，可得S10=102+10(10-1)
7、2 12 = 852（3）把a1=12，d= - 16, Sn= -5代入Sn=na1+n(n-1)2 d，得-5=12n+n(n-1)2 （-16）整理，得n2-7n-60=0解得n=12或n=-5（舍）,所以n=12等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用跟踪训练1已知等差数列an(
8、1)a1，a15，Sn5，求d和n；(2)a14，S8172，求a8和d.解(1)a15(151)d，d.又Snna1d5，解得n15或n4(舍)(2)由已知，得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.例7.已知一个等差数列an 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式2后， 可得到两个关于a1与d的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和 d 解：由题意，知S10=310, S20=1220,把它们代入公式Sn=na1+n(n-1)2 d得10a1+45d=3
9、1020a1+190d=1220 解方程组，得a1=4d=6所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。(法二)数列an为等差数列，S10，S20S10，S30S20也成等差数列，2(S20S10)S10S30S20，即2(1 220310)310S301 220，S302 730. (法三)设SnAn2Bn(A，B为常数)由题意，得解得Sn3n2n.S303900302 730. (法四)由Snna1d，得a1(n1)，是以a1为首项，为公差的等差数列，成等差数列，2，S303030(12231)2 730.通过回顾历
10、史中高斯小故事，提出等差数列求和问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素三、达标检测1在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20B30 C40 D50【答案】Ca3a11a5a92a7，a3a5a7a9a1
11、15a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5() A5 B7 C9 D11【答案】A由题a1a3a53，3a33.a31又S55.3已知数列an的前n项和为Snn2，则()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1【答案】B由anSnSn1(n2)得an12n，当n1时，S1a11符合上式an2n1.4在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.【答案】190S19190.5已知等差数列an中，a1，d，Sn15，求n及a12.【答案】Snn15，整理得n27n600，解之得n12或n5(舍去)，a12(121)4.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景-建立模型-求解-解释-应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
