1、6.3.2二项式系数的性质教学设计课题 6.3.2二项式系数的性质单元第六单元学科数学年级高二学习目标理解并掌握二项式系数的性质，并会简单的应用，能够灵活应用二项式系数的性质求二项展开式的系数最大项.重点二项式系数的性质及应用.难点二项式系数的性质及应用.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课新知导入：情景一：计算(a+b)n展开式的二项式系数？答：二项式系数:Cn0,Cn1,Cn2,Cnn将上表写成如下形式：思考：通过上表和上图，能发现什么规律？答：在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等,即每一行都具有对称性，即Cnm=Cnn-m； 在相邻的两行中,除了开头和结
2、尾的两个数外,其他每个数都等于它肩上两个数之和，即Cn+1m=Cnm-1+Cnm；第n(nN*)行的各数之和为2n ;当n=2，4，6时,中间一项值最大;当n=1，3，5时,中间两项值最大.学生思考问题，引出本节新课内容. 设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课.讲授新课新知讲解：二项式系数的性质(1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式Cnm=Cnn-m得到,对称轴为r=n/2 (2)增减性与最大值 因为Cnk=n(n-1)(n-2)(n-k+1)k(k-1)!=Cnk-1n-k+1k 即 CnkCnk-1=n-k+1k，由n-k+1k1kn+12当
3、 kn+12时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知，它的后半部分是逐渐减小的.当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值.当n是奇数时，中间的两项Cnn-12和Cnn+12相等,且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和已知 (1+x)n=1+Cn1x+Cnkxk+Cnnxn令x=1得，(1+1)n=Cn0+Cn1+Cnn=2n所以，(a+b)n的展开式的各二项式的系数之和为2n例题讲解：例1 证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.答：在展开式(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn中，令a=1,b=-1得(1-1
4、)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn，即0=Cn0+Cn2+-Cn1+Cn3+，因此Cn0+Cn2+=Cn1+cn3+，即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1) 二项式系数之和. (2) 各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和.解：设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9（1）二项式系数之和为：C90+C91+C92+C99=29（2）各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a9(23)91. (3)令x1，y1，可得a0a1a2a959，又
5、a0a1a2a91，将两式相加得a0a2a4+a6+a8=(59-1)/2，则所有奇数项之和为(59-1)/2例3 在x-2x28的展开式中（1） 求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项?解：展开式的通项公式为Tk+1=C8k(x)8-k-2x2k=(-1)k2kC8kx4-52k(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，因此T5=(-1)424C84x4-524=1120x-6(2)设第k+1项系数的绝对值最大，则&C8k2kC8k+12k+1&C8k2kC8k-12k-1，即18-k2k+12k19-k解得k=5或k=6，故系数绝对值最大的项是第6项或第7项.课堂练
6、习：13x-1x6展开式中各项系数之和为（ A ）A26 B36 C46 D12已知x+23xn的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则 （ C ）A4 B5 C6 D73(1-2x)7的展开式中系数最大的项为（ B ）A第4项 B第5项 C第7项 D第8项4. 已知1-x2n的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是（ C ）A72 B358 C7 D705(1+x)n的展开式中，系数最大的项是 ( C )A第n2+1项 B第n项C第n+1项 D第n项与第n+1项6. 若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+.+a7x7，则a0+a2
7、+a4+a6= （ B ）A3 B4 C5 D67已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m=（ B ）A74 B72 C4 D 7拓展提高：8. 设 (1-x)15=a0+ a1x+ a2x2+.+ a15x15求: (1) a1+ a2+ a3+ a4+.+ a15 (2) a1+ a3+ a5+.+ a15答：（1）令x=0可得115=a0，则a0=1令x=1可得015=a0+a1+a2+.+a15，所以 a1+a2+.+a15=-a0=-1（2）令x=-1可得215=a0-a1+a2-a3+.-a15 令x=1 可得 015=a0+a1+a2+a3+.+
8、a15 - 得：215=-2(a1+a3+a5+.+a15 )所以a1+a3+a5+.+a15=-2149在2x3+1x12的展开式中.求：（1）所有项的系数和； （2）x4的系数； （3）系数最大的项.解：（1）令x=1 ，该展开式中所有项的系数和为312(2) 该展开式的通项公式为：Tk+1=C12k212-kx36-4k k=0,1,2,12令36-4k=4，解得k=8，所以x4的系数为：C12824=7920(3) 设第k+1（rN,k12）项的系数最大，则&C12k212-kC12k-1213-k&C12k212-kC12k+1211-k解得103k133,因为kN，所以k=4，所以
9、该展开式中系数最大的项为C1242x381x4=126720x20链接高考10（2011 全国高考真题（理） x+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( D )A-40 B-20 C20 D4011. （2020 北京高考真题）在(x-2)5的展开式中，x2的系数为（ C ）A-5 B5 C-10 D1012（2018 全国高考真题（理） (x2+2x)5的展开式中x4的系数为( C )A10 B20 C40 D8013（2020 天津高考真题）在(x+2x2)5的展开式中，x2的系数是_10_14（2020 全国高考真题（理） (x2+2x)6的展开式中常数项是_
10、240_（用数字作答）学生根据情境问题，探究二项式系数的性质利用例题引导学生掌握并灵活运用二项式系数的性质解决实际相关计算问题.通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用.利用情境问题，探究二项式系数的性质，培养学生探索的精神.加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题.通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神.课堂小结1. 二项式系数的性质学生回顾本节课知识点，教师补充.让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.板书6.3.2 二项式系数的性质一、新知导入 三、例题讲解二、新知讲解 四、课堂练习1.二项式系数的性质 五、拓展提高 六、课堂总结 七、作业布置
