1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值 学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。课程目标学科素养A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；B掌握求函数
2、最值的方法及其应用；C体会数形结合、化归转化的数学思想1.数学抽象：求函数最值的方法2.逻辑推理：函数极值与最值的关系 3.数学运算：运用导数求函数的最值 4.直观想象：最值与极值的关系重点： 求函数最值的方法及其综合应用 难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：解方程 f (x) = 0.当 f (x0) = 0 时：如果在x0附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0 ，那么 f (x0) 为极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0 ，那么 f (x0) 为极小值；二、 探究新知我们知
3、道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间a,b的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：那么f (x)在区间a,b的内最
4、大值、最小值呢?最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：观察a,b上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在a,b上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf (x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值连续不断 问题1：函数的极值与最值的区别是什么？函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内
5、取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值2求函数f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数yf (x)在区间(a，b)上的_；(2)将函数yf (x)的_与_处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_极值 ；各极值 ；端点 ；最大值 ；最小值 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f (x)在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得( )(2)开区间上的单调连续函数无最值 ( )(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值 ()(4)若函
6、数yf (x)在区间a，b上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点 ()解析：(1)函数在闭区间a，b上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确(3)因为y最大值y极值，y最小值y极值，故错误(4)正确答案(1)(2)(3)(4)三、典例解析例6: 求fx=13x3-4x+4在0,3的最大值与最小值.解：因为y=x2-4 =x+2x-2令y=0,解得：x1=-2,x2=2又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在0,3上取得最大值4，当x=2时，
7、函数f(x)在0,3上取得最小值- 43.求函数最值的着眼点(1)从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.(2)单调区间取端点,当图象连续不断的函数f(x)在a，b上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.求下列各函数的最值(1)f (x)3x39x5，x2，2；(2)f (x)sin 2xx，x. 解(1)f (x)9x299(x1)(x1)，令f (x)0得x1或x1.当x变化时，f (x)，f (x)变化状态如下表：x2(2，1)1(1，1
8、)1(1，2)2f (x)00f (x)111111从表中可以看出，当x2时或x1时，函数f (x)取得最小值1.当x1或x2时，函数f (x)取得最大值11.(2)f (x)2cos 2x1，令f (x)0，得cos 2x，又x，2x，2x.x.函数f (x)在上的两个极值分别为f ，f .又f ，f .比较以上函数值可得f (x)max，f (x)min.例7: 给定函数fx=x+1ex.（1）判断函数fx的单调性，并求出fx的极值；（2）画出函数fx的大致图像；（3）求出方程fx= a(aR)的解的个数.解：（1）函数的定义域为xR因为fx=x+1ex+x+1(ex)=ex+x+1ex=
9、x+2ex令f(x)=0,解得：x=-2.f(x)、fx的变化情况如表所示所以，fx在区间-，-2上单调递减，在区间-2，+上单调递增。当x=-2时，fx有极小值f-2= - 1e2.（2）令fx=0，解得：x=-1.当x-1时， fx-1时， fx0.所以fx的图像经过特殊点A(-2,- 1e2),B-1,0,C0,1.当x-时，与一次函数相比，指数函数y=e-x 呈爆炸性增长，从而y=x+1e-x 0;当x+时， fx+, f(x)+根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程fx=a(aR)的解的个数为函数y=fx的图像与直线y=a的交点个数。由（1）及图可得，当x=-2时，有最小
10、值f-2=- 1e2所以，方程fx= a的解得个数有如下结论；当a- 1e2时，解为0个当a=- 1e2或a0时，解为1个当-1e2a0时，解为2个函数fx的图像直观地反映了函数fx的性质，通常可以按如下步骤画出函数fx的大致图像（1）求出函数fx的定义域；（2）求导数f(x)及函数f(x)的零点；（3）用零点将fx的定义域为若干个区间，列表给出f(x)在各个区间上的正负，并得出fx单调性与极值；（4）确定fx图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；（5）画出fx的大致图像.例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分,其r (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出
11、售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y=fr=0.243r3 -0.8r2=0.8r33-r2,0a6.所以fr=0.8(r2-2r)令fr=0,解得r=2.当x(0,2)时，fr0.因此，当半径r2时，fr0,fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r2时，fr0, fr单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为6cm时，利润最大（2）半径2cm时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。1优
12、化问题生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题2解决优化问题的基本思路利润最大；用料最省；效率最高函数；导数跟踪训练2请你设计一个帐篷如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为x m，帐篷的体积为V(x) m3，且1x4.由题设可得正六棱锥的底面边长为(m)，故底面正六边形的面积为6()2(82xx2)
13、(m2)，故V(x)(82xx2)(1612xx3)，则V(x)(123x2)令V(x)0，解得x12，x22(舍去)当1x0，V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0，V(x)为减函数所以当x2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)16.综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16 m3.温故知新，提出问题，引导学生探究运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过特例，体会函数极值与最值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数最
14、值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1函数y的最大值为()Ae1 BeCe2D10A令y0xe.当xe时，y0；当0xe时，y0，所以y极大值e1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.2设函数f (x)x32x5，若对任意x1，2，都有f (x)m，则实数m的取值范围是_f (x)3x2x20，x1或x.f (1)，f ，f (1)，f (2)7，m.3已知a是实数，函数f (x)x2(xa)，求f (x)在区间0，2上的最大值解f (x)3x22ax.令f (x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f (x)在0，2上单调递增，从而f (x)
15、maxf (2)84a.当2，即a3时，f (x)在0，2上单调递减，从而f (x)maxf (0)0.当02，即0a3时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，从而f (x)max综上所述，f (x)max4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚
16、时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当50，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的最值定义及利用导数求最值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。
