1、第 1 页，共 19 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1.已知集合 = | + 1 0， = | ，若 = ，则实数 a 的值可以为()A. 2B. 1C. 0D. 22.下列函数中，在区间(0, + )上不是单调函数的是()A. = B. = 2C. = +D. = |1|3.已知等差数列的前 n 项和为，若3=3，且3 0，则43= ()A. 1B. 53C. 83D. 34.不等式1 1成立的一个充分不必要条件是()A. 0 1C. 0 1D. 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，且不共线第 3 页
2、，共 19 页当 = 1时， 面积的最小值为_；若存在 是等腰直角三角形，则的最小值为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.已知数列为各项均为正数的等比数列，为其前n项和，2= 3，3+4= 36()求数列的通项公式；()若 121，求 n 的最大值16.已知函数() = 2( +3) +32()求函数()的最小正周期；()若() + 0对 0,2恒成立，求实数 m 的取值范围17.已知函数() =133+ 2+ + ，曲线 = ()在(0,(0)处的切线方程为 = + 1()求 b，c 的值；()若函数()存在极大值，求 a 的取值范围第 4 页，共 19 页18.在 中
3、， = 7， = 5， = 8()求 sinA 的值；()若点 P 为射线 AB 上的一个动点(与点 A 不重合)，设= 求 k 的取值范围；直接写出一个 k 的值，满足：存在两个不同位置的点 P，使得= 19.已知函数() =()判断函数()在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；()求证：() 1220.已知集合 ， 且 M 中的元素个数 n 大于等于5.若集合 M 中存在四个不同的元素 a，b，c，d，使得 + = + ，则称集合 M 是“关联的”，并称集合,b，c，是集合 M 的 “关联子集” ； 若集合 M 不存在 “关联子集” ， 则称集合 M 是 “独立的”()分别判断集合2,4
4、，6，8，10和集合1,2，3，5，8是“关联的”还是“独立第 5 页，共 19 页的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；()已知集合1,2,3,4,5是“关联的” ，且任取集合, ，总存在 M 的关联子集 A，使得, .若12342 + 94第 6 页，共 19 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算可以求出 = | 1，根据 = 即可得出 1，从而得出 a 的值可以为2【解答】解： = | 1， = | ，且 = ， 1， 的值可以为2故选：D2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基
5、础试题结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断【解答】解：由一次函数的性质可知， = 在区间(0, + )上单调递增；由二次函数的性质可知， = 2在区间(0, + )上单调递增；由幂函数的性质可知， = +在区间(0, + )上单调递增；结合一次函数的性质可知， = |1|在(0,1)上单调递减，在(1, + )上单调递增故选：D3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题第 7 页，共 19 页利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【解答】解：设等差数列的公差为 d， 3=3，且3 0， 31+3 =1+2，化为：21=
6、 043=41+4 3231+3 22=2321+ 3 (21)121=83故选：C4.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件【解答】解：该不等式的解集为：(0,1)，则其一个充分不必要条件可以是：(0,12)；故选：A5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(2+)的值【解答】解：角以 Ox 为始边，它的终边与单位圆 O 相交于点 P，且点 P 的横坐标为35，则sin(2+) = =35，故选：B6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量
7、平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力第 8 页，共 19 页与计算能力，属于中档题过 C 作/，又/.可得四边形 AECD 是平行四边形 = + ，根据= +(, ).可得 = 1， = ，又 + =32，可得 =12.即可得出结论【解答】解：如图所示，过 C 作/，又/ 四边形 AECD 是平行四边形 = + ，又 = +(, ) = 1， = ，又 + =32， =12则|=|=12故选：B7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题存在实数0，使得(0) = (0)，转化为22| = 有根，进而转化为 = 2
8、2|与 = 的图象有交点【解答】解： () = 3+ 22|且(0) = (0)， 30+ 202|0| = (30+ 202|0|)整理得202|0| = ， 原题转化为 = 22|与 = 的图象有交点，画出 = 22|的图象如下：第 9 页，共 19 页 = 1时 = 1，由图可知， 1故选 A8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题对题目中给的新定义要充分理解， 对于 ，() = 0或 1， 可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题【解答】解： 对于 ，定义() =1, 0, ， 例如 = 正奇数
9、， = 正偶数， = ， = ， ( ) = 0；( ) = 1，故正确；若( ) = 0，则 ( )，则 且 ，或 且 ，或 且 ； () () = 0；若( ) = 1，则 ( )，则 且 ； () () = 1； 任取的两个不同子集 A，B，对任意 都有( ) =() ()；正确，故正确；例如： = 1,2，3， = 2,3，4， = 1,2，3，4，当 = 2时，( ) = 1；() = 1，() = 1； ( ) () +()；第 10 页，共 19 页故错误； 所有正确结论的序号是：；故选：A9.【答案】6【解析】【分析】本题考查向量共线，考查计算能力直接利用向量的共线的充要条件求
10、解即可【解答】解：由向量 = (1,2)， = (3,)，若/，可得 = 2 3 = 6故答案为：610.【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与 x 轴的交点的横坐标解方程，根据方程的根的个数，即可得出()的零点个数【解答】解：由题意可知 0时，() = 6 = 0，可得( )2 6 = 0，解得 = 2(舍去)或 = 3， = 9；函数() = 6的零点个数是 1故答案为：111.【答案】0 ；1【解析】【分析】本题考查数列的前 n 项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型直接利用题目所给的数列的前 n 项和公
11、式求出数列的首项和5+6+7+8的值【解答】解：数列的前 n 项和为=log2，第 11 页，共 19 页则1=1=log21 = 0则5+6+7+8=84=log28log24 = 1故答案为：0；112.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可【解答】解：由题意可知： = | |cos = |cos ，其几何意义是在方向上的投影值，由图形可知：向量 = 时，投影值最大，且最大值为 3故答案为：313.【答案】33, + )【解析】【分析】本题考查的知识要点 ： 利用函
12、数的导数求出函数的单调区间和最值， 恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果【解答】解：数列的通项公式为= ，若存在 ，使得 对任意的 都成立，故 ()，设() =，则() =1 ln2，令() =1ln2= 0，解得 = ，0 0, 时，() ln22，所以 p 的取值范围是33, + )故答案为：33, + )14.【答案】2 ；2【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维
13、能力，属于一般题型直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值【解答】解：当 = 1时，() =2，() =2，当 面积最小时，如图所示：所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2， 的高为 2 22+222 = 2所以： =12 2 2 = 2当 = 1时， 面积的最小值为2；若存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则2= 2 ( 2 22+2 22)，解得的最小值为2故答案为：2；2第 13 页，共 19 页15.【答案】解：()设等比数列的公比为 q， 0，2= 3，3+4= 36， 3( +
14、 2) = 36，解得 = 3又31= 3，解得1= 1，= 31()=3131 121，3 243，解得： 5 满足 121，n 的最大值为 4【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题()设等比数列的公比为 q，由2= 3，3+4= 36，可得3( + 2) = 36，解得.又31= 3，解得1，进而求得数列的通项公式()=3131 0时，() = 2+2 + 1，令2+2 + 1 = 0，()当 = 44 0即 1时，不合题意，()当 = 44 0即0 1时，方程2+2 + 1 = 0有 2 个不相等的实数根，设方程两根为1，2，且12，x，()
15、，()的变化如下：x(,1)1(1,2)2(2, + )()+00+() 递增极大值递减极小值递增故(1)为极大值；当 0恒成立，设方程两根为1，2且1 0，解得： 0， 0又因为 0，所以() 0恒成立所以()在区间(0,1)上是单调递增函数()证明“() 12”等价于证明“()12”.由题意可得， (0, + )，因为() =1，再令() =1，则() = 121 0，() =11 0，故()在(1,)上单调递增，故() (1) = 因为0 (1,)，所以()=100112所以() 12【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合应用，属于综合题()对()求
16、导，判断()的符号，即可得函数的单调性；()证明“() 12”等价于证明“()12”.求()的最大值即可证明20.【答案】解：()2,4，6，8，10是“关联的”，关联子集有2,4，6，8，4,6，8，10，2,4，8，101,2，3，5，8是“独立的”()记集合M的含有四个元素的集合分别为 ：1= 2,3,4,5，2= 1,3,4,5，3= 1,2,4,5，4= 1,2,3,5，5= 1,2,3,4，所以，M 至多有 5 个“关联子集”，若2= 1,3,4,5为“关联子集”，则1= 2,3,4,5，不是“关联子集”，否则1=2，同理可得若2= 1,3,4,5为“关联子集”，则3，4不是“关联
17、子集”，所以集合 M 没有同时含有元素2，5的“关联子集”，与已知矛盾所以2= 1,3,4,5一定不是“关联子集”，同理4= 1,2,3,5一定不是“关联子集”，所以集合 M 的“关联子集”至多为1，3，5，若1不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素3，5的“关联子集”，与已知矛盾；若3不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素1，5的“关联子集”，与已知矛盾；第 18 页，共 19 页若5不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素1，3的“关联子集”，与已知矛盾；所以1，3，5都是“关联子集”，所以有2+5=3+4，即54=32；1+5=2+4，即54=21；1+4=2
18、+3，即43=21；所以54=43=32=21，所以1，2，3，4，5是等差数列()不妨设集合 = 1,2,( 5)， ， = 1，2，n，且12 ，记 = | =+,1 2 + 94，所以任取 ， 2 + 94，因为 ，所以 2 + 84，所以+2 + 84+2 + 841 =2 + 821 =22+3，所以任取 ， 22+3，任取 ， 1 + 2 = 3，所以 3,4，22+3，且 T 中含有2=(1)2个元素，()若3 ，则必有1= 1，2= 2成立，因为 5，所以一定有121成立，所以1 2，所以+12 + 84+2 + 842 =22+2，所以 = |3 22+2, ，所以=2 +
19、84，1=2 + 842，因为4 ，所以3= 3，所以有+1=1+3，矛盾；()若3 ，则 4,5，22+3，而 T 中含有2=(1)2个元素，所以 = |4 22+3, 所以=2 + 84，1=2 + 841，因为4 ，所以1= 1，2= 3，因为22+2 ，所以22+2 =2+，所以2=2 + 842，所以+1=2+3，矛盾，第 19 页，共 19 页所以命题成立【解析】本题属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，组合，属于高难题；()根据题意即可求解；()根据题意，1= 2,3,4,5，2= 1,3,4,5，3= 1,2,4,5，4= 1,2,3,5，5= 1,2,3,4，进而利用反证法和等差数列的定义求解；()不妨设集合 = 1,2,( 5)， ， = 1，2，n，且12 ，记 = | =+,1 ,i， ，进而利用反证法求解；
