1、第 1 页，共 17 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 2,1,0，1，2， = |(1)( + 2) 0，则 的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.设命题 P： ，2 2，则为()A. ，2 2B. ，2 2C. ，2 2D. ，2 23.若复数 z 满足(34) = 11 + 2，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部为()A. 2B. 2C. 2D. 2i4.我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞
2、穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半问两鼠在第几天相遇？()A. 第 2 天B. 第 3 天C. 第 4 天D. 第 5 天5.已知变量 x，y 满足约束条件 1 + 323 0，则 = 2 + 的最小值为()A. 0B. 1C. 4D. 66.已知等差数列的前 n 项和满足12 0，13 B. C. D. 10.已知函数() = 2( + )( 0,| )的部分图象如图所示，且(2,1),(,1)，则的值为()A. 56B. 6C. 56D. 611.已知函数() = ln(21) + 2+ 2，则使不等式( + 1) (2)成立的 x 的取值范围是()
3、A. (,1) (1, + )B. (1, + )C. (,13) (1, + )D. (,2) (1, + )12.已知函数() = +2sin( +4)，若对于任意的1,2 0,2),(12)，均有|(1)(2)| 0, 0)，求2 + 1+1的最小值第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：由已知得： = 2,1,0，1，2， = |(1)( + 2) 0 = (2,1)， = 1,0，所以子集个数：22= 4个，故选：B化简集合 B，再求出 ，计算即可考查集合的子集的问题，基础题2.【答案】C【解析】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题 P： ，2 2，
4、则为 ，2 2故选：C由特称命题的否定为全称命题，可得结论本题考查特称命题的否定为全称命题，属于基础题3.【答案】B【解析】解：由(34) = 11 + 2，得 =11 + 234=(11 + 2)(3 + 4)(34)(3 + 4)=25 + 5025= 1 + 2 的虚部是 2故选：B把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，属于基础题利用已知条件，逐步求出结果即可【解答】第 7 页，共 17 页解：第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：1 + 1 = 2；第二天：大老鼠
5、与小老鼠的打洞尺数：2 + 0.5 = 2.5，两天总和：2 + 2.5 = 4.5，第三天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：4 + 0.25 = 4.25 0.5，所以两鼠在第 3 天相遇，故选：B5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 = 2 + 得 = 2 + ，平移直线 = 2 + ，由图象可知当直线 = 2 + 经过点B时，直线的截距最小，此时 z 最小，由 = 123 = 0，解得 = 1 = 1，即(1,1)，此时 = 1 21 = 1，故选：B作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6
6、.【答案】D【解析】解：由已知得：12 0，13 0，1+13= 27 0,7 0,7 0，从而可求 m，然后再代入等差数列的求和公式即可求解本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题第 8 页，共 17 页7.【答案】C【解析】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图所示；对于，AN 在平面 CDGN 中的射影是 DN，由 知 ，正确；对于，由/知是 CF 与 ED 所成的角，又 是正三角形，所以 CF 与 EN 所成的角为60，正确；对于，由图形知， BD与MN是异面垂直，错误；对于， 平面 EBF， 平面 GCN，得出 是二面角的平面角，由 = 45，判断正确；综上
7、知，正确的命题序号为，共 3 个故选：C将正方体展开图还原成正方体，数形结合对题目中的命题分析、判断正误即可本题考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系与正方体结构特征应用问题，也考查了转化求解能力，是中档题8.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的线性运算的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题直接利用平面向量的线性运算的应用求出结果【解答】解： 中， = 2，E 为 BD 中点，由已知得： = + = +32= +32( + ) = +32(2 + )= 52 +3，第 9 页，共 17 页所以 = 3, = 52则：2 = 8故选：C9.【答案】A【解析】解
8、： = 11649= 1423 = 332= 1323 0.6， ，b，c 的大小关系为 故选：A利用指数函数、对数函数的单调性能比较三个数的大小本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10.【答案】C【解析】解：由函数() = 2( + )( 0,| 0， 1时，() 0， ()在(1, + )上是增函数，且 = ln(21)在(1, + )上是增函数， ()在(1, + )上是增函数，第 10 页，共 17 页 由( + 1) (2)得，(| + 1|) 1| + 1| 1( + 1)2 (2)2，解得 1， 的取值范围是：(,2)
9、(1, + )故选：D容易看出()是(,1) (1, + )上的偶函数，可设() = 2+ 2，根据导数符号可判断()在(1, + )上是增函数， 从而判断出()在(1, + )上是增函数， 这样即可由( + 1) (2)得出(| + 1|) 1| + 1| |2|，解出 x 的范围即可本题考查了偶函数的定义及判断，根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式， 增函数的定义， 二次函数和对数函数的单调性， 以及绝对值不等式的解法，考查了推理和计算能力，属于中档题12.【答案】B【解析】【分析】把|(1)(2)| 0，故()在0,2递增，不妨设12，则1 2，(1) (2)，所以|
10、(1)(2)| |12|，得(1)(2) 12成立，即：(1)1 (2)2，构造函数() = +2sin( +4)，只需()在0,2递减，即() = + 0成立，令() = + ，分离参数即 () = ()，() = () 0，所以()在0,2递减，故 ()= (0) = 1，即 a 的最小值为 1第 11 页，共 17 页故选：B13.【答案】 =1【解析】解：由 = ，得 = ，当 = 1时， = | = 1= 0， 曲线 = 在点(1,1)处的切线方程为： =1故答案为： =1求出原函数的导函数，得到函数在 = 1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切
11、线方程，是基础题14.【答案】65【解析】解：由sin(32) + 2() = ，得2 = ，则 = 3 sin2 =sin2sin2 + cos2=tan2tan2 + 1=65故答案为：65由已知求得，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题15.【答案】2+ 14【解析】解：当 = 1， 的面积为2+ 214=12 2+ 222=12，所以 = ， = 1， =4， =2+ 212=22，得2+ 21 =2 21，当且仅当 = 时，取等号，所以 2 +22，=12 =122 +2222=2+ 14，故答案为：2+ 14先求出
12、 C，再利用余弦定理求出 ab 的最大值，代入即可本题考查了面积公式，余弦定理和基本不等式的应用，基础题第 12 页，共 17 页16.【答案】(3316,1516)【解析】解：取 AB 中点 E，则 且平分 AB， = 2 = 2|cos = 2|2= 2 32，同理可得， = 2 42= 32，由已知得： = 36 + 48 = 18 = 48 + 64 = 32， =3462 =4382， sin2 ( + 12) =(34)6+438sin22=12cos2(23+38) +2，令 = ，则 (1,1)， =122(23+38) +2有最小值，根据二次函数的性质可知， = (23+38
13、)2 12 (1,1)3316 1516故答案为：(3316,1516).由已知结合外心的性质可得， = 36 + 48 = 18 = 48 + 64 = 32，解出，后代入sin2 ( + 12)，结合二次函数的性质即可求解本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用， 还考查了二次函数最值取得条件的应用，属于中档试题17.【答案】解：(1)由cos22=12+2，得1 + 2=12+2， =， = = sin( + ) = + ，得 = 0，又 (0,)， 0，则 = 0，得 =2；(2)记 = ，则 = ，在 中， = ，在 中，cos =，即2 =6， 221 =6，解得
14、 =34或23(舍)第 13 页，共 17 页 cos =34【解析】本题考查三角形的解法，考查直角三角形中的边角关系，考查二倍角公式的应用，是基础题(1)利用倍角公式降幂，再由正弦定理化边为角，求得 = 0，得 =2；(2)记 = ，则 = ，分别在 与 中利用边与角的关系得关于的方程，则答案可求18.【答案】(1)证明：当 2时，= 2+2= 2(1) + 2，即(21)= 21+(1)( 2)，同除以(1)得 + 111= 1( 2)， + 1为等差数列，首项为 1，公差为 1(2)解：由(1)知 + 1= ， =2 + 1，= + 2( + 1)2=1211( + 1)2，= (112
15、 21) + (12 2113 22) + + (1211( + 1)2) = 11( + 1)2【解析】(1)利用数列的递推关系式，结合数列的通项与数列的和的关系，转化推出数列是等差数列即可(2)化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，等差数列的证明，考查转化思想以及计算能力，是中档题19.【答案】解：(1)() = cos22sin22+2 3sin2cos2= +3 = 2( +6)，令 +6=2+2得 =3+2, ，所以最大值为 2，此时 x 的取值集合为| =3+2, (2)由，为锐角，cos( + ) =1213得sin( +
16、) =513， 0 2，第 14 页，共 17 页6 +623，又sin( +6) =35 (12,22)，6 +64， cos( +6) =45， cos(6) = cos( + )( +6) = cos( + )cos( +6) + sin( + )sin( +6) =6365， ( +6) = 2( +3) = 2(2+6) = 2(6) =12665【解析】(1)利用二倍角公式体积两角和与差的三角函数化简解析式，然后求解函数的最大值以及 x 的集合(2)利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数集合诱导公式转化求解函数值即可本题考查推荐三角函数的基本关系式以及诱导公式，两角和与
17、差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力20.【答案】解：(1)证明：由四边形 ABCD 是直角梯形， =3， = 2 = 2， ，可得 = 2， =3，从而 是等边三角形， = 2，BD 平分 为 CD 的中点， = = 1， ，又 ， = ， 平面 PBD又 平面 ABCD， 平面 平面 ABCD(2)在平面 PBD 内作 于 O，连接 OC，又 平面 平面 ABCD，平面 平面 = ， 平面 ABCD 为 PC 与平面 ABCD 所成的角，则 =4， 由题意得 = =3 = ， ， 为 BD 的中点， 以 OB，OC，OP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,
18、0，0)，(0, 3,0)，(1,0，0)，(0,0， 3)，第 15 页，共 17 页假设在侧面 PCD 内存在点 N，使得 平面 PCD 成立，设 = +(, 0, + 1)，由题意得(, 3, 3( + 1)， = (1, 3, 3( + 1)， = (0, 3, 3)， = (1,0， 3)，由 = 0 = 0，得3 + 3( + 1) = 0 + 1 + 3( + 1) = 0，解得 =15, =25，满足题意， 点到平面 ABCD 的距离为 3( + 1) =235【解析】(1)推导出 ， ，从而 平面.由此能证明平面 平面 ABCD(2)在平面 PBD 内作 于 O，连接 OC，
19、推导出 平面 ABCD，则为 PC与平面 ABCD 所成的角， =4，以 OB，OC，OP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 N 点到平面 ABCD 的距离本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21.【答案】(1)证明：() =123=223 0， ()在 2, + )上单增， 2时，() (2)，即 +12 2 +14， 2时，2 + 1 (2 +14)2(2)证明：() = 2 +132+3132+1 = 2( +12+)由()在 2, + )上单增且() = 1 +
20、12,(2) = 2 +14， (214,112)知存在唯一的实数0 (,2)，使得(0) = 0，即0+120+ = 0， ( 2,0),() 0，()单增， ()= (0)，0满足0+120+ = 0，第 16 页，共 17 页 = 0120， (0) =13300+31930+ 0= 309+230( 0 2)，记() = 193+23( 2)，则() =2323 0， ()在(,2)上单减， 69+232= (2) () () = 39+23，所以()的值域为(69+232,39+23)【解析】(1)求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，推出结果(2)求出
21、() = 2 +132+3132+1 = 2( +12+)，利用函数的单调性求解函数的最小值，()= (0)，构造函数() = 193+23( 2)，利用函数的单调性求解函数的值域即可本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题22.【答案】解 ：(1)当 2时，不等式() 3 + 4化为3 + 2 3 + 4，解得 2；综上知，不等式的解集为12, + )(2)函数() = |2| + |2 + 4| = |2| + | + 2| + | + 2| |(2)( + 2)| + | + 2|，当且仅当2 2时取等“ = ”；所以() 4 + |
22、 + 2| 4，当且仅当 = 2时取“ = ”；所以当 = 2时，函数()取得最小值为 4，即 = 4；所以2 + = 4，所以2 + 1+1=162( + 1) + (2 + 1+1) =16(5 +2( + 1)+2 + 1) 16(5 + 2第 17 页，共 17 页2( + 1)2 + 1) =32；当且仅当2( + 1)=2 + 1且2 + = 4，即 = 1， = 2时取“ = ”；所以2 + 1+1的最小值为32【解析】(1)讨论 x 的取值，去掉绝对值求对应不等式的解集即可；(2)利用绝对值不等式求出函数()的最小值 a，再利用基本不等式求2 + 1+1的最小值本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题， 也考查了利用基本不等式求最值的问题
