1、第 1 页，共 19 页 高三（上）期中数学试卷 高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = |2 1”，命题 q：“1 B. C. D. 11.已知数列的首项1= 35，且满足1= 21，则的最小值为()A. 2 34B. 595C. 353D. 12第 3 页，共 19 页12.已知函数() =21( 1)( 1)，若 0)的最小正周期为 (1)求()；(2)当 12,2时，求函数()的值域第 4 页，共 19 页19.如图，在平面四边形 ABCD 中， ， = 1， =7, = 2, =23, =3(1)求sin的值；(
2、2)求 BE 的长20.如图，四棱锥中，/， =12 = 1，E 为 PC 中点(1)证明：/平面 PAD；(2)若 是边长为 2 的正三角形， 平面 PBC，求点 E 到平面 PAD 的距离第 5 页，共 19 页21.设() =1( 1)()判断函数()的单调性；()是否存在实数 a、使得关于 x 的不等式 0；()若() = | + 4| + ，() 1”，命题 q：“1 1或 0，第 8 页，共 19 页故 p 是 q 的充分不必要条件，故选：B解出关于 q 的 x 的范围，结合集合的包含关系，判断即可本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题5.【答案】B【解析】解：作
3、出实数 x，y 满足2 + 43 12 2对应的平面区域如图：(阴影部分)由 = + 得 = + ，平移直线 = + ，由图象可知当直线 = + 经过点 A 时，直线 = + 的截距最小，此时 z 最小由2 + = 42 = 2解得(2,0)代入目标函数 = + 得 = 2即目标函数 = + 的最小值为2.没有最大值故选：B作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最值本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键6.【答案】C【解析】【分析】此题考查了余弦定理，考查学生的计算能力，熟练掌握余
4、弦定理是解本题的关键利用余弦定理，结合条件，两边除以 ac，求出 cosB，即可求出 sinB 的值【解答】解：在 中，由余弦定理得：2+ 22= 2，第 9 页，共 19 页代入已知等式得：2 =12，即 =14，因为， =1(14)2=1116=154故选 C7.【答案】B【解析】解：函数() = 2( +6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得 = 2(2 +6)，即() = 2(2 +6)，令2 +6=2+， 得： =12 +6，当 = 0时，可得一个对称中心为(6,0)故选：B根据三角函数的平移变换规律求解()，结合三角函数的性质即可求解一个对称中心本题主要考查
5、三角函数的图象和性质，平移变换规律的应用属于基础题8.【答案】D【解析】解：A，如果输出 b 的值为 792，则 = 792，() = 279，() = 972， = ()() = 972279 = 693，不满足题意B，如果输出 b 的值为 693，则 = 693，() = 369，() = 963， = ()() = 963369 = 594，不满足题意C，如果输出 b 的值为 594，则 = 594，() = 459，() = 954， = ()() = 954459 = 495，不满足题意D，如果输出 b 的值为 495，则 = 495，第 10 页，共 19 页() = 459，()
6、 = 954， = ()() = 954459 = 495，满足题意故选：D利用验证法判断求解即可本题主要考查了循环结构的程序框图，用验证法求解是解题的关键，属于基础题9.【答案】A【解析】解 ： 根据三视图可得该几何体是由棱长为 2 的几何体挖去两个圆锥所得，如图，则该几何体的体积为 = 2 2 22 13 12 1 = 823故选：A根据三视图可得该几何体是由棱长为 2 的几何体挖去两个圆锥所得，利用正方体、圆锥体积公式即可计算本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键属于中档题10.【答案】D【解析】 解 ： 根据题意， 函数()恒满足()() = 0，
7、 即() = ()， 则函数()为偶函数，又由当 0时，() =2，易得()在0, + )上为增函数， = (31.2) = (31.2)， = (log30.2) = (log35) = (log35)，又由30.2 1 log35 3 ；故选：D根据题意，分析可得()为偶函数且在0, + )上为增函数，又由 = (31.2) = (31.2)， = (log30.2) = (log35) = (log35)，且30.2 1 log35 3 31.2，据此分析可得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数()的奇偶性与单调性，属于基础题11.【答案】C【解析】第 11 页，共
8、 19 页【分析】本题考查累加法求数列的通项公式，考查基本不等式求最值，注意 n 为自然数，考查运算能力，属于中档题和易错题运用累加法和等差数列的求和公式，可得，再由基本不等式和 = 5，6 时，的值，即可得到所求最小值【解答】解：数列的首项1= 35，且满足1= 21，可得=1+(21) + (32) + + (1)= 34 + (1 + 3 + 5 + + 21)= 34 +(1 + 21)2= 34 + 2，则= +34 2 34，此时 =34，解得 =34 ，由于 ，5 34 6，可得当 = 5时，5 +345=595；当 = 6时，6 +346=353 1)( 1)的图象如下图所示：
9、第 12 页，共 19 页若 0恒成立，故 = 1 1)( 1)的图象，结合 0， =5+ 12，34+ 2626+ 45=1=512，故答案为：512根据等差中项的定义建立方程关系，结合等比数列的通项公式求出公比即可本题主要考查等比数列公比的求解， 根据等差数列和等比数列的性质和通项公式是解决本题的关键16.【答案】16【解析】【分析】本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键，属于中档题设 AC 中点为 M，VA 中点为 N，过 M 作面 ABC 的垂线，球心 O 必在该垂线上，连接ON，则 可得 = 2，即三棱锥的外接球的半径为 2，即可求出三
10、棱锥的外接球表面积【解答】解：如图，设 AC 中点为 M，VA 中点为 N， 面 面 ABC， ， 过 M 作面 ABC 的垂线，由面面垂直得到 OM 垂直面 ABC，即球心 O 是三角形 VAC 的外接圆圆心，球心 O 必在该垂线上，连接 ON，则 在 中， = 1， = 60，第 14 页，共 19 页 = 2，即三棱锥的外接球的半径为 2， 三棱锥的外接球的表面积 = 42= 16故答案为：1617.【答案】解：()设数列的公差为 d，根据题意得：1+ = 321+ 8 = 18解得：1= 1 = 2， 通项公式为= 21() + 1= 2，1=5= 9 是首项为 9 公比为 2 的等比
11、数列 =9(12)12= 9 29【解析】()设数列的公差为 d，根据题意得：1+ = 321+ 8 = 18，解方程可求1及 d，从而可求通项()由 + 1= 2，可得是公比为 2 的等比数列，结合已知求出首项后，代入等比数列的求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的通项公式、求和公式的简单应用，属于基础试题18.【答案】解：(1)() =122+3 =322122 +12= sin(26) +12 函数()的最小正周期为，且 0，22= ，解得 = 1第 15 页，共 19 页 () = sin(26) +12(2) 12,2， 26 3,56根据正弦函数的图象可得：当
12、26=2，即 =3时，() = sin(26)取最大值 1 当26= 3，即 = 12时() = sin(26)取最小值321232 sin(26) +1232，即()的值域为132,32【解析】 本题主要考查了二倍角公式， 两角和公式， 正函数的周期性， 单调性等问题 考查了学生运用所学知识解决实际的能力(1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用正弦函数的最小正周期求得，则函数解析式可得(2)根据 x 的范围可确定26的范围，进而根据正弦函数的单调性求得函数的最大值和最小值，则函数的值域可得19.【答案】解：设 = ，(1)在 中，由余弦定理得2= 2+22 ，即7
13、= 2+1 + ，则2+6 = 0，解得 = 2或 = 3，(舍去)，在 中，由正弦定理得sin=sin，于是 =23=2 327=217，即 =217(2)由题意知0 3，于是由(1)知， =1sin2 =12149=277，而 =23，所以cos = cos(23) = cos23 + sin23 = 12277+32217=714，在 中，cos =2，故 =2cos=2714= 4 7第 16 页，共 19 页【解析】(1)设 = ，在 中，由正弦定理化简可得答案(2)由题意知0 1) () =11(1)2，设() = 11,( 1) () =121=12 0， = ()在1, + )
14、上为减函数 () = 11 (1) = 0， () =11(1)2 0 函数() =1在(1, + )上为减函数(2) (1)在(1, + )上恒成立，(1) 0在(1, + )上恒成立，设() = (1)，则(1) = 0， () =1，若 0显然不满足条件，若 1，则 1, + )时，() =1 0恒成立， () = (1)在1, + )上为减函数 (1) (1) = 0在(0, + )上恒成立， (1)在(1, + )上恒成立，若0 0，不能使 (1)在(1, + )上恒成立， 1【解析】(1)对()求导后，构造新的函数()，利用导数求解函数单调的方法步骤进行求解(2)根据已知 (1)在
15、(1, + )上恒成立等价于(1) 0在(1, + )上恒成立，构造新的函数() = (1)，本题所要求的 a 的取值范围，只需满足一个条件：使得()在定义域内为减函数即可本题考查利用导数研究函数的单调性问题，这一道题的新颖之处是构造新的函数，这也是教学中的重点和难点，希望在平时多加练习，掌握要领22.【答案】解：()直线 l 的参数方程为 = 112 =32(为参数)，消去参数，可得直线 l 的普通方程为： 3 + 3 = 0 ，曲线 C 的极坐标方程为 = 6，即2= 6，化为直角坐标方程为2+ 2= 6，即圆 C 的直角坐标方程为：(3)2+ 2= 9；()把直线的参数方程代入圆 C 的方程，设 A，B 对应的参数为1，2，化简得：2+25 = 0，所以，1+2= 2，12= 5 12，当 1时，1 12，解得， 1，当 1时，1 21解得， 1或 0；第 19 页，共 19 页()原不等式等价于|1| + | + 4| 的解集非空，令() = |1| + | + 4|，即()= (|1| + | + 4|) 5【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题()去掉绝对值，求出各个范围内的 x 的范围取并集即可；()问题转化为(|1| + | + 4|) ，从而求出 m 的范围即可
