1、第 1 页，共 15 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.命题“若 ，则2 2，则为()A. ，2 2B. ，2 2C. ，2 2D. ，2= 24.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知动点(,)到两定点1(4,0)，2(4,0)的距离之和是 10，则点 P 的轨迹方程是()A. 225+29= 1B. 225+216= 1C. 225+29= 1D. 225+216= 15.抛物线：2= 的焦点坐标是()A. (0,12)B. (0,14)C. (12,0)D. (14,0)6.椭圆24+22= 1与双曲
2、线222= 1有相同的焦点，则 a 的值为( )A. 1B. 2C. 2D. 37.已知双曲线2228= 1的离心率为 3，则该双曲线的渐近线方程为()第 2 页，共 15 页A. = 12B. = 22C. = 2D. = 28.已知向量 = (2,3，1)， = (1,2，0)，则|等于()A. 1B. 3C. 3D. 99.已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外一点，下列条件中能确定点 M 与点A，B，C 一定共面的是()A. = + + B. = +2 +3C. =12 +12 +12D. =13 +13 +1310.如图， 空间四边形 OABC 中， = ， = ， =
3、， 点 M 是 OA 的中点， 点 N 在 BC 上，且 = 2，设 = + +，则 x，y，z 的值为()A. 12,13,23B. 12,23,13C. 12,23,13D. 12,13,2311.已知直线 = + 2与双曲线22= 4的右支相交于不同的两点，则 k 的取值范围是()A. (1,1)B. ( 2, 2)C. (1, 2)D. ( 2,1)12.已知抛物线2= 2( 0)的焦点为 F，准线为 l，过点 F 且斜率为 3的直线交抛物线于点(在第一象限)， ， 垂足为 N， 直线 NF 交 y 轴于点 D， 若| =3，则抛物线方程是()A. 2= B. 2= 2C. 2= 4D
4、. 2= 8二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.椭圆22+220= 1的焦点在 x 轴上，焦距为 8，则该椭圆的离心率为_14.已知命题 p： ，2+ + 1 = 0；命题 q： ，42+4(2) + 1 0.若命题 为真命题，为真命题，则实数 m 的取值范围是_第 3 页，共 15 页15.已知椭圆29+25= 1的左、右焦点分别为1，2，点 P 是椭圆上的一点，若1 2，则 12的面积是_16.动点 P 在正方体1111的对角线1上，记11= ，当为钝角时，的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知 p：26 0，q：(1)( + 1)
5、0，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围18.已知空间三点(2,5,1)，(2,2,4)，(1,4,1)(1)求向量与的夹角；(2)若() ( +)，求实数 k 的值第 4 页，共 15 页19.如图，在正方体1111中，棱长为 2，M，N 分别为1，AC 的中点(1)证明：/1；(2)求1与平面11所成角的大小20.如图，四面体ABCD中，平面 底面ABC， = = = 4， = = 2 2， O 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点(1)证明： 底面 ABC；(2)求二面角的余弦值21.已知抛物线2= 2( 0)的经过点(3,2 3)(1)求抛物线的方程；(2)过抛物
6、线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，若| = 8，求直线 l 的方程第 5 页，共 15 页22.已知椭圆 C：22+22= 1的右焦点为(1,0)，离心率 =33(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知动直线 l 过点 F，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，试问 x 轴上是否存在定点M，使得 = 119恒成立？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由第 6 页，共 15 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解： ，若2= 0，则2 2不成立，则原命题是假命题，所以它的逆否命题是假命题；则逆命题为若2 2，则 2； 2 0； ； 逆命题是真命题，所以它的否命题是真
7、命题； 真命题个数是 2故选：B先判断出原命题为假命题， 根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性知它的逆否命题为假命题然后写出它的逆命题，否命题，即可判断这两个命题的真假性，从而得出真命题的个数考查原命题和它的逆否命题真假性的关系，原命题、逆命题、否命题、以及逆否命题的概念，注意2= 0的情况2.【答案】A【解析】解： ： = 1且 = 2，： + = 3， ，反之不成立，例如： = 2， = 1 是的充分非必要条件，故选：A，反之不成立，例如： = 2， = 1.即可判断出本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】C【解析】解 ： 因为特称命题的否定是全
8、程命题，所以，命题 p： ， 2，则为： ，2 2故选：C直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可第 7 页，共 15 页本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题4.【答案】A【解析】解：由已知可得动点 P 的轨迹 E 为椭圆，焦点在 x 轴上， = 4，2 = 10，所以 = 5故2= 22= 9，故 E 的方程为：225+29= 1故选：A由已知可得动点 P 的轨迹 E 为椭圆，焦点在 x 轴上， = 4，2 = 10，进而可得 E 的方程；本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查5.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应
9、用，定位、定量是关键先根据标准方程求出 p 值，判断抛物线2= 的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标【解答】解： 抛物线2= 中，2 = 1， 2=14，又 焦点在 y 轴上，开口向上， 焦点坐标是(0,14)，故选 B6.【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用，属于基础题由题意确定 0，且椭圆的焦点应该在 x 轴上，则42= + 2，即可求出 a 的值【解答】解：因为椭圆24+22= 1与双曲线222= 1有相同的焦点，所以 0，且椭圆的焦点应该在 x 轴上，第 8 页，共 15 页所以42= + 2，所以 = 2，或 = 1，因为 0，所以 = 1
10、故选 A7.【答案】C【解析】解：双曲线2228= 1的离心率为 3，可得=2+ 8=3，解得 = 2，所以双曲线2428= 1的渐近线方程为： = 2.故选：C利用双曲线的离心率求出 a，然后求解双曲线的渐近线方程即可本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查8.【答案】B【解析】解： = (2,3，1)， = (1,2，0)， = (1,1，1) | =1 + 1 + 1=3先根据空间向量的减法运算法则求出，然后利用向量模的公式求出所求即可本题主要考查了空间向量坐标的减法运算，以及向量模的计算，着重基本运算的考查，属于基础题9.【答案】D【解析】解：根据空间向量共面定理，系数和等于
11、1，13+13+13= 1，故选：D根据空间向量共面定理，系数和等于 1，判断即可考查空间向量共面定理及其应用，基础题10.【答案】C【解析】解： = + + ， = 12， =13 =13()，第 9 页，共 15 页所以 = 12 +23 +13，故选：C利用向量的加法， = + + ，利用中点公式代入考查向量的加法原理，向量共线等，基础题11.【答案】D【解析】解：双曲线22= 4的渐近线方程为 = ，直线 = + 2恒过(0,2)点， 直线 = + 2与双曲线22= 4的右支交于不同的两点，消去 y 可得(12)248 = 0， 0，解得 ( 2,1)故选：D根据双曲线的方程求得渐近线
12、方程，把直线与双曲线方程联立消去 y，利用判别式大于0 和 0所以 = (48)216 0，解得1 3，由于命题 为真命题，为真命题，所以 p 为假命题，q 为真命题所以2 21 3，解得1 2，故 m 的取值范围是(1,2)故答案为(1,2)15.【答案】5【解析】解：根据条件可知12= 2 = 2 95 = 4，1+2= 2 = 6，因为1 2，所以21+22=122，即(1+2)221 2=122，代入得1 2=62422= 10，第 11 页，共 15 页所以 12的面积 =12 1 2=12 10 = 5，故答案为 5根据条件可得21+22=122，代入相应数值计算出1 2的值即可本
13、题考查椭圆中焦点三角形的面积求法，正确利用垂直条件是关键，属于基础题16.【答案】(13,1)【解析】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，则有(1,0，0)，(1,1，0)，(0,1，0)，1(0,0，1) 1 = (1,1，1)， 1 = (,)， = 1+ 1 = (,) + (1,0，1) = (1，1)， = 1+ 1 = (,) + (0,1，1) = (，1，1)，显然不是平角，所以为钝角等价于cos 0， 0， (1)() + ()(1) + (1)2= (1)(31) 0，得13 0 得 3 ： = | 3；解不等式( 1)( + 1) 0，得 + 1 ： = | + 1
14、； 是 q 的充分不必要条件， 但 q 推不出 p，所以，1 2 + 1 2 + 1 3，解得1 2或1 2，于是1 2第 12 页，共 15 页所以，实数 a 的取值范围是1,2【解析】写出 p，q 对应的集合 A、B，由 p 是 q 的充分不必要条件，所以，得出 a的取值范围即可本题考查了充分必要条件与集合的关系，以及不等式的解法，属于基础题18.【答案】解：(1)由已知得： = (0,3，3)， = (1,1，0)， cos = | |=0 (1) + 3 1 + 3 00 + 32+ 321 + 1 + 0=12，又0 180， 向量与的夹角为60；(2)2= 18,2= 2， ()
15、( +)， () ( +) =222= 1822= 0，解得 = 3或 = 3， 实数 k 的值是 3 或3【解析】(1)可以求出 = (0,3,3), = (1,1,0)，从而可求出cos 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角；(2)根据() ( +)即可得出() ( +) = 0，进行数量积的运算即可求出 k 的值本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题19.【答案】解：(1)证明：如图，以点 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1为 z 轴建立空间直角坐
16、标系则(2,0，0)，(0,2，0)，1(2,0，2)，1(2,2，2)，(2,1，1)，(1,1，0) = (1,0,1)，1 = (2,0,2) 1 = 2， 1/， /1C.(2)解：(2,0，0)，1(2,2，2)， = (0,2,0)，1 = (0,2,2)第 13 页，共 15 页设平面 ADE 的一个法向量为 = (,y，)，则 1 = 0, 11= 0,即22 = 0,2 = 0,令 = 1，则 = 1， = 0，所以 = (1,0,1)设1与平面1 1所成角为，则 = |cos | =|1 |1| |=|2|222=121与平面1 1所成角为30【解析】(1)以点 D 为坐标
17、原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1为 z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明/1C. (2)求出平面 ADE 的一个法向量，利用向量法能求出1与平面1 1所成角的大小本题考查线线平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】(1)证明： = = 2 2， O 是AC 的中点， 平面 底面 ABC，平面 底面 = ， 底面 ABC(2)解：由条件易知 ， = = = 2， = 2 3如图，以点 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OC 为 z 轴建立空间0直角坐标系则(2,0，0)，(0,2
18、3,0)，(2,0，0)，(0,0，2)，(0, 3,1)， = (2, 3,1)， = (2,0,2)， = (4,0,0)设平面 ADE 的一个法向量为 = (1,1,1)，则 = 0, = 0,即21+ 21= 0,21+31+ 1= 0,令1= 1，则1= 1,1=33，所以 = (1,33,1)同理可得平面 AEC 的一个法向量 = (0,1, 3)cos = | |=1 0 +33 (1) + 1 31 +13+ 1 0 + 1 + 3=77第 14 页，共 15 页因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为77【解析】(1)证明 .利用平面 底面 ABC，推出 底面 ABC(
19、2)以点 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OC 为 z 轴建立空间0直角坐标系求出平面 ADE 的一个法向量，平面 AEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可本题考查二面角的平面角的余弦函数值的求法， 直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理以及计算能力，是中档题21.【答案】解：(1)把点(3,2 3)代入方程2= 2得 = 2，所以所求的抛物线方程为2= 4(2)由抛物线方程2= 4得其焦点坐标为(1,0 )，若直线 l 与 x 轴垂直，易得(1,2 )，(1,2 )，此时| 8若直线 l 不与 x 轴垂直，设直线 l
20、的斜率为 k，则直线 l 的方程为 = (1)由 = (1)2= 4消 y 整理得：22(22+4) + 2= 0，1+2=22+ 42= 2 +42 | =1+2+ = 2 +42+2 = 8，解得2= 1，即 = 1 直线 l 的方程为 = 1或 = + 1，即1 = 0或 + 1 = 0【解析】 本题主要考查了抛物线的定义在求解方程中的应用及直线与抛物线的位置关系的应用，直线的斜率存在的情况要考虑全面(1)把点(3,2 3)代入方程2= 2可求 p，进而可求抛物线方程；(2)先求出抛物线方程2= 4得焦点坐标(1,0 )，然后讨论直线的斜率的存在情况，结合直线与抛物线的位置及弦长公式分别
21、进行求解22.【答案】解：(1) = 1， =33， =3， 2= 22= 2， 椭圆方程为23+22= 1(2)假设 x 轴上存在点(,0)，使得 = 119，当直线 l 的斜率为 0 时，( 3,0)，( 3,0)，则 = ( +3,0) ( 3,0) = 23 = 119，解得 = 43第 15 页，共 15 页当直线 l 的斜率不存在时，(1,233)，(1,233)，则 = (1,233) (1,233) = (1)243= 119，解得 =23， =43由可得 =43下面证明 =43时， = 119恒成立直线 l 斜率存在时，设直线方程为 = (1)(1,1)(2,2).由 = (
22、1)22+ 32= 6消 y 整理得：(32+2)262 + 326 = 0，1+2=6232+ 2，12=32632+ 2，12= 2(11)(21) = 212(1+2) + 1 =4232+ 2，所以 = (143,1)(243,2) =1243(1+2) +169+12=32632+ 2436232+ 2+169+4232+ 2=92632+ 2+169= 3 +169= 119，综上，x 轴上存在点(43,0)，使得 = 119恒成立【解析】(1)根据条件求出 a，b 即可；(2)假设存在，可先求出 =43，然后证明(43,0)，使得 = 119恒成立即可本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于中档题
