1、第 1 页，共 19 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.直线 l 经过点(0,1)和(1,0)，则直线 l 的倾斜角为()A. 23B. 34C. 3D. 42.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 3B. 4C. 2 + 4D. 3 + 43.若直线1： + (1)3 = 0与直线2：(1) + (2 + 3)2 = 0互相垂直，则 a 的值是()A. 3B. 1C. 0 或32D. 1 或34.直三棱柱111中， 若 = 90， = = 1，则异面直线1与1所成的角等于()A. 3
2、0B. 45第 2 页，共 19 页C. 60D. 905.两圆2+ 22 = 0和2+ 2+4 = 0的位置关系是()A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切6.一平面四边形 OABC 的直观图如图所示，其中 ， ，/，则四边形 OABC 的面积为()A. 322B. 3 2C. 3D. 327.已知互不重合的直线 a，b，互不重合的平面，给出下列四个命题，正确命题的个数是()若/，/， = ，则/若 ， ， 则 若 ， ， = ，则 若/，/，则/A. 1B. 2C. 3D. 48.直线 = ( + 2)被圆2+ 2= 4截得的弦长为2 3，则直线的倾斜角为()A. 6或56B. 3或23
3、C. 6D. 39.过圆2+ 2= 2外一点(1,3)向该圆引两条切线，M，N 为切点，则 MN 的直线方程为()A. 2 + 1 = 0B. + 32 = 0C. + 23 = 0D. 23 + 2 = 010.设入射线光线沿直线2 + 1 = 0射向直线 = ， 则被 = 反射后， 反射光线所在的直线方程是()第 3 页，共 19 页A. 21 = 0B. 2 + 1 = 0C. 32 + 1 = 0D. + 2 + 3 = 011.直线 l 是圆2+ 2= 4在点( 3,1)处的切线，P 是圆24 + 2= 0上的动点，则点 P 到直线 l 的距离的最小值为()A. 1B. 2C. 3D
4、. 212.已知 的三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 = 2， = 4， = 2 5，三棱锥的体积为43，则球 O 的表面积为()A. 22B. 743C. 24D. 36二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.如图，已知 E 是正方体1111的棱 BC 的中点，设为二面角1的平面角，则 = _14.一个简单几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形， 俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为_；表面积为_15.经过直线1：3 + 4 = 0和2：2 + + 5 = 0的交点，并且经过原点的直线方程是_16.已知点(,)在圆 C：(1)2+(1)2= 1上，则 +
5、 2的最小值是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.如图，在直三棱柱111中，D，E 分别为 BC，AC的中点， = 第 4 页，共 19 页求证：(1)11/平面1；(2) 1E.18.已知直线 l： 32 = 0，(1)若直线1的倾斜角是 l 倾斜角的两倍，且 l 与1的交点在直线2 = 0上，求直线1的方程；(2)若直线2与直线 l 平行，且2与 l 的距离为 3，求直线2的方程19.如图， 菱形 ABCD 中， =23，1 平面ABCD，1/1， 且 = 3，1= 2，1= 4(1)求证：平面1 平面1(2)求直线11与平面1所成角的正弦值第 5 页，共 19 页2
6、0.已知圆 C 过点(0,2)、(3,1)，且圆心 C 在直线 + 2 + 1 = 0上(1)求圆 C 的方程；(2)设直线 + 1 = 0与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点(2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由21.如图，在四棱锥中，底面 ABCD 是平行四边形， 平面ABCD， = = 6， = 6 2， E是棱 PC 上的一点(1)证明： 平面 PBD；(2)若/平面 BDE，求的值；(3)在(2)的条件下，三棱锥的体积是 18，求 D 点到平面 PAB 的距离第 6 页，共 19 页22.已知圆 C：(3)2+(4
7、)2= 4和直线 l： + 2 + 2 = 0，直线 m，n 都经过圆 C外定点(1,0)()若直线 m 与圆 C 相切，求直线 m 的方程；()若直线 n 与圆 C 相交于 P，Q 两点，与 l 交于 N 点，且线段 PQ 的中点为 M，求证：| |为定值第 7 页，共 19 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解：经过点(0,1)和(1,0)的直线的斜率为 =1001= 1设直线 l 的倾斜角为(0 )， = 1，则 =4故选：D由已知点的坐标求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解本题考查直线斜率的求法，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2.【答案】D【解析】【分析】本题
8、考查的知识点是柱体表面积，简单几何体的三视图，属于简单题由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，代入柱体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积 = 2 12 + (2 + ) 2 = 3 + 4，故选：D3.【答案】D【解析】解： 12 (1) + (1) (2 + 3) = 0，即(1)( + 3) = 0第 8 页，共 19 页解得 = 1或 = 3故选 D利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出 a 的值本题考查两直线垂直的充要条件 ：1：1 +1 +1
9、= 0；2：2 +2 +2= 0垂直12+12= 0，如果利用斜率乘积等于1的方法，必须分类型解答4.【答案】C【解析】【分析】本小题主要考查直三棱柱111的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题延长CA到D， 根据异面直线所成角的定义可知1就是异面直线1与1所成的角，而三角形1为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长 CA 到 D，使得 = ，则11为平行四边形，1就是异面直线1与1所成的角，又1 =1 = =2，则三角形1为等边三角形， 1 = 60故选 C5.【答案】C【解析】解：把圆2+ 22 = 0与圆2+ 2+4 = 0分别化为标准方程得：(1)2
10、+ 2= 1，2+( + 2)2= 4，故圆心坐标分别为(1,0)和(0,2)，半径分别为 = 2和 = 1，第 9 页，共 19 页 圆心之间的距离 =(10)2+ (0 + 2)2=5， + = 3， = 1， + ，则两圆的位置关系是相交故选：C把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离 d，然后求出和 + 的值，判断 d 与及 + 的大小关系即可得到两圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别是：当0 时，两圆内含；当 = 时，两圆内切；当 + 时，两圆外离(其中 d 表示两圆心间的距离，R，r 分别表示两圆的半径)6.【答案】B【解析】 解
11、 ： 平面四边形OABC的直观图是直角梯形， 其面积为12 (1 + 2) 1 =32；根据平面图形与它的直观图面积比为 1：24，计算四边形 OABC 的面积为3224= 3 2故选：B计算直观图的面积，根据平面图形与它的直观图面积比求出四边形 OABC 的面积本题考查了平面图形与它的直观图面积的计算问题，是基础题7.【答案】C【解析】解：由互不重合的直线 a，b，互不重合的平面，知：在中，若/，/， = ，则由线面平行的性质定理得/，故正确；在中，若 ， ， ，则由线面垂直的性质定理得 ，故正确；在中，若 ， ， = ，则由线面垂直的判定定理得 ，故正确 ；在中，若/，/，则/或 ，故错误
12、故选：C在中，由线面平行的性质定理得/； 在中，由线面垂直的性质定理得 ； 在中，由线面垂直的判定定理得 ；在中，/或 第 10 页，共 19 页本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】A【解析】解：由题知：圆心(0,0)，半径为 2 直线 = ( + 2)被圆2+ 2= 4截得的弦长为2 3， 圆心到直线的距离为 =43 = 1 =|2|2+ 1，解得 = 33，设直线的倾斜角为(0 0，即2 0，解得 0则实数 a 的取值范围是(,0)由于12 (,0)，假设错误，故不存在实数 a，使得过点(2,0)的直线 l 垂直平
13、分弦 AB【解析】本题考查了利用待定系数法求圆的一般式方程，垂直平分线的性质及方程与函数的综合此题第二问利用的方法是反证法，此方法的步骤为：先否定结论，然后利用正确的推理得出与已知，定理及公理矛盾，得到假设错误，故原结论成立(1)设出圆的一般式方程， 表示出圆心坐标， 把圆心坐标代入到直线 + 2 + 1 = 0中得到一个关于 D，E 及 F 的方程，然后把 M 与 N 的坐标代入所设的圆的方程，得到两个关于 E，F 及 D 的方程，三个方程联立即可求出 D，E 及 F 的值，确定出圆 C 的方程；(2)利用反证法，先假设满足题意得点存在，根据线段垂直平分线的性质得到圆心 C 必然在直线 l
14、上，由点 C 与点 P 的坐标求出直线 PC 的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，求出直线 AB 的斜率，进而求出实数 a 的值，然后由已知直线 + 1 = 0，变形得到 = + 1，代入(1)中求出的圆 C 的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于 0，即可求出 a 的取值范围，发现求出的 a 的值不在此范围中，故假设错误，则不存在实数 a，使得过点(2,0)的直线 l垂直平分弦 AB21.【答案】证明：(1) 在四棱锥中，底面 ABCD 是平行四边形， 平面ABCD， ， = = 6， = 6 2， = ， 2+2= 2， ， = ，
15、平面 PBD解：(2)连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE，第 18 页，共 19 页则 O 是 AC 的中点， /平面 BDE， /， 是 PC 的中点，=12(3)到平面 PCD 的距离 =6 662= 3 2，设 = ，则 =12 =14 6 2 =322， 三棱锥的体积是 18，=13 =13 3 2 322 = 18，解得 = = 6，设点 D 到平面 PAB 的距离为 h， 平面 ABCD， = = 6， = 6 2， = =36 + 36 = 6 2， =12 6 2 6 2 60 = 18 3， =12 =12 6 6 = 18，=， 13 =13 ， = =6 18183
16、= 2 3 点到平面 PAB 的距离为2 3【解析】(1)推导出 ， ，由此能证明 平面 PBD(2)连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE，由/平面 BDE，得/，由此能求出(3)到平面 PCD 的距离 =6 662= 3 2，设 = ，则 =12 =14 6 2=322，由三棱锥的体积是 18，求出 = = 6，设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，由=，能求出 D 点到平面 PAB 的距离本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22.【答案】解：()若直线 m
17、 的斜率不存在，即直线是 = 1，符合题意第 19 页，共 19 页若直线 m 斜率存在，设直线 m 为 = (1)，即 = 0由题意知，圆心(3,4)到已知直线1的距离等于半径 2，即：|34|2+ 1= 2，解之得 =34所求直线方程是 = 1，343 = 0()用几何法，如图所示， ，则=，可得| | = | | = 2 5 35= 6，是定值【解析】()当直线 m 的斜率不存在， 即直线是 = 1， 成立，当直线 m 斜率存在，设直线 m 为 = (1)，由圆心到直线的距离等于半径求解()用几何法，作出直线与圆的图象，根据三角形相似，将| |转化为| |验证求解本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相切，直线与圆相交时构造三角形及三角形相似的应用
