1、第 1 页，共 18 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.已知点(1,2)，(2,1)，则直线 AB 的斜率为()A. 13B. 13C. 3D. 32.在空间直角坐标系中，点(1,2，1)与(0,1，1)之间的距离为()A. 2B. 6C. 5D. 33.过点(0,1)且垂直于直线 =12的直线方程为()A. = 21B. = 21C. = 2 + 2D. = 2 + 14.用一个平面去截下图的圆柱体，则所得的截面不可能是()A. B. C. D. 5.与圆(1)2+( + 2)2= 1关于原点对称的圆的
2、方程为()A. (1)2+(2)2= 1B. ( + 1)2+( + 2)2= 1C. ( + 1)2+(2)2= 1D. (2)2+( + 1)2= 16.已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是()A. 若/， ，则/B. 若 ，/，则 C. 若/， ，则 D. 若/，/，则/7.已知直线1： + 3 = 0与直线2： = 0平行， 则它们之间的距离是()第 2 页，共 18 页A. 2 2B. 4C. 2D. 28.我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺问积几何？” ，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个
3、鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为 1，则该鳖臑的体积为()A. 6B. 9C. 18D. 279.已知实数 x，y 满足条件 + 2 02 + 2 0 3，则 = 3的最小值为()A. 6B. 103C. 92D. 10310.已知正方体1111中，M，N 分别为 AB，1的中点，则异面直线1与 BN 所成角的大小为()A. 30B. 45C. 60D. 9011.已知( 3,0)，(0,1)，点 C 为圆2+ 2+4 + 1 = 0上任意一点，则 面积的最大值为()A. 32B. 332C. 532D. 73212.如图，将边长为 2 的正 沿着高 AD 折起，使 = 12
4、0，若折起后 A、B、C、D 四点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为()A. 72B. C. 132D. 133二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分）13.圆2+ 2+2 + 2 = 0的半径为_第 3 页，共 18 页14.一个圆锥的侧面展开图是半径为3， 圆心角为120的扇形， 则该圆锥的体积为_15.已知长为2( 0)的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点的轨迹方程为_16.如图，在棱长为 1 的正方体1111中，点 E，F分别是棱 BC，1的中点，P是侧面11内一点，若1/平面AEF， 则线段1长度的取值范围是_三
5、、解答题（本大题共 7 小题，共 72.0 分）17.已知 的顶点(1,4)，(2,1)，(0,1)是 BC 的中点(1)求直线 AC 的方程；(2)求 AC 边上的高所在直线的方程18.如图，在正方体1111中，E， F分别是AB，11的中点(1)求证：/平面11；(2)求证： 平面11第 4 页，共 18 页19.已知圆1：2+ 2= 1与圆2：2+ 26 + = 0(1)若圆1与圆2外切，求实数 m 的值；(2)在(1)的条件下，若直线 + 2 + = 0与圆2的相交弦长为2 3，求实数 n 的值20.如图，在四棱锥中， ，/， = 2 = 2 = 4， = 2 5， 是正三角形(1)求
6、证： ；(2)求 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值第 5 页，共 18 页21.如图，在四棱锥中， ，/， = 2 = 2 = 4， = 2 5， 是正三角形(1)求证： ；(2)求二面角的大小22.已知圆 O：2+ 2= 4，点 P 是直线 l：28 = 0上的动点，过点 P 作圆 O 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B(1)当| = 2 3时，求点 P 的坐标；(2)当取最大值时，求 的外接圆方程23.已知圆 O：2+ 2= 4，点 P 是直线 l：28 = 0上的动点，过点 P 作圆 O 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B(1)当| = 2 3时，求点 P 的坐标；(2)设
7、的外接圆为圆 M，当点 P 在直线 l 上运动时，圆 M 是否过定点(异于第 6 页，共 18 页原点)？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由第 7 页，共 18 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解：点(1,2)，(2,1)，则直线 AB 的斜率为=1221= 3故选：D根据两点的坐标计算直线 AB 的斜率本题考查了根据两点的坐标求直线斜率的问题，是基础题2.【答案】B【解析】解：在空间直角坐标系中，点(1,2，1)与(0,1，1)之间的距离为(10)2+ (21)2+ (11)26，故选：B用两点间的距离公式求出考查空间两点间的距离公式，基础题3.【答案】A【解析】
8、解：垂直于直线 =12的直线斜率为 = 2，且直线过点(0,1)，所以直线方程为：(1) = 2(0)，即 = 21故选：A根据垂直关系求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程本题考查了直线方程的应用问题，是基础题4.【答案】D【解析】解：当平面与底面垂直时，截面为长方形；故 A 正确；当平面与底面平行时，截面为圆；故 B 正确；当平面只与侧面相交时，截面为椭圆；故 C 正确；故选：D用一个平面截几何体，可以横截，竖截，斜截，角度不同得到的截面形状不同经过尝第 8 页，共 18 页试可知：用平面截圆柱，截面可能是圆，椭圆，长方形，拱形本题考查了几何体与平面的关系，属于基础题5.【答案】C【解析
9、】解：圆心坐标为(1,2)，半径为 1，则圆关于原点对称的圆，实质是圆心的对称，则对应圆的圆心坐标为(1,2)，半径为 1，即对应圆的方程为( + 1)2+(2)2= 1，故选：C根据圆的对称性，转化为圆心的对称，直接求出对称圆心坐标进行求解即可本题主要考查圆的方程的求解，结合圆的对称性转化圆心的对称是解决本题的关键比较基础6.【答案】B【解析】解：对于 A，/， 时，得出/或 m 与 n 是异面直线， A 错误；对于 B，当 ，/时， ， B 正确；对于 C，当/， 时，有 或 m 与相交或 m 与平行或 ， C 错误；对于 D，/，/时，则/或 m、n 相交或 m、n 异面， D 错误故选
10、：B根据空间中的直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系，判断即可本题考查了空间中的线、面关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题7.【答案】C【解析】解：直线1： + 3 = 0与直线2： = 0平行，则 (1)1 1 = 0，解得 = 1；所以直线1： + 3 = 0与直线2： + 1 = 0的距离是 =|31|12+ (1)2=22=2故选：C根据直线1与直线2平行求出 m 的值，再求两直线间的距离本题考查了两条平行线之间的距离计算问题，是基础题第 9 页，共 18 页8.【答案】A【解析】解：由题意，可知原图为一个底边为直角等腰三角形的直三棱锥，具体图形如下：则有：
11、 =13底 =1312 3 3 4 = 6故选：A本题主要是根据三视图想出对应的空间立体图形， 然后根据三棱锥的体积公式进行计算本题主要考查空间想象能力以及计算能力本题属基础题9.【答案】C【解析】解：不等式组 + 2 02 + 2 0 3表示的平面区域如下图阴影部分所示：由 = 3得， =133，这是斜率为13的一族平行直线，直线在 y 轴上的截距为3，截距最大时，z 最小，根据图形看出，当直线 =133经过点 B 时，截距最多，z 取最小值，解2 + 2 = 0 = 3得， = 3 =52，第 10 页，共 18 页= 3 = 3152= 92故选：C可画出不等式组所表示的平面区域，而由
12、= 3可得出 =133，表示斜率为13的一族平行直线，当直线在 y 轴上的截距取最大值时，z 取得最小值，从而结合图形即可求出最大截距，即得出 z 的最小值本题考查了线性规划求最值的方法，能找出不等式组所表示的平面区域，数形结合的思想方法，考查了推理和计算能力，属于基础题10.【答案】D【解析】解：正方体1111中，M， N 分别为 AB，1的中点，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC为 y 轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111中棱长为 2，1(0,2，2)，(2,1，0)，(2,2，0)，(2,0，1)，1 = (2,1,2)，= (0,2,1)，设异面直线1与 BN 所
13、成角的大小为，则 =|1 |1| |= 0， = 90 异面直线1与 BN 所成角的大小为90故选：D以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1与 BN 所成角的大小本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题第 11 页，共 18 页11.【答案】C【解析】解：化圆2+ 2+4 + 1 = 0为2+( + 2)2= 3，则圆心坐标为(0,2)，半径 =3，过( 3,0)，(0,1)的直线方程为3+ = 1，即 3 +3 = 0M 到直线 3 +3 = 0的距离
14、=|23+3|2=332 圆上点 C 到直线的最短距离为332+3 =532又| =(3)2+ 12= 2，则 面积的最大值为 =12 2 532=532故选：C求出圆上动点 C 到直线 AB 的最大距离，代入三角形面积公式，可得答案本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形面积公式，是基础的计算题12.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养由题意，将边长为 2 的正 沿着高 AD 折起，使 = 120，可得三棱锥，且 AD 垂直于底面 BCD，求解底面 外接圆半径，利用勾股定理可求解球 O 的半径平方，从而得球 O
15、的表面积【解答】解：由题意，将边长为 2 的正 沿着高 AD 折起，使 = 120，可得三棱锥，且 AD 垂直于底面 ，底面 中， = 120， = = 1，那么 =1 + 12 1 1cos120 =3，设底面 外接圆半径为 r，第 12 页，共 18 页则2 =3sin120，即 = 1因为 AD 垂直于底面 BCD， =3，所以球心与圆心的距离为32，设球 O 的半径为 R，所以2= 2+(32)2=74即球 O 的表面积 = 42= 7故选：B13.【答案】 2【解析】解：圆的标准型为( + 1)2+( + 1)2= 2，所以半径为 2，故答案为： 2换成标准型，求出半径本题考查圆的方
16、程和性质，为基础题14.【答案】223【解析】【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为 r，则2 = 3 23，得 = 1则圆锥的高 =3212= 2 2 圆锥的体积 =13 12 2 2 =223故答案为：223第 13 页，共 18 页【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为 r，由展开后所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得底面半径，进一步求出圆锥的高，代入圆锥体积公式求解本题考查圆锥体积的求法，考查剪展问题的求解方法，是中档题15.【答案】2+ 2= 2( 0)【解析】解：设线段 AB 的中点(,)，若 AB 不是原点时，则 是直角三角形，且为直角，则 =12，而 = 2，所以 = ，即
17、 (0)2+ (0)2= 2+ 2= 2( 0)；若 AB 有一个是原点，同样满足2+ 2= 2( 0)；故答案为：2+ 2= 2( 0)求哪个点的轨迹方程就设那个点的坐标为(,)，然后由题意写等式，进而整理出关于x，y 的表达式就是它的轨迹方程，注意有时会有取值限制考查求点的轨迹方程，这个题用直接法求出，属于简单题16.【答案】324,52【解析】【分析】本题考查线段的长度问题，线面平行的判定，面面平行的判定，属于较难题分别取棱1、11的中点 M、N，连接 MN，易证平面1/平面 AEF，由题意知点P 必在线段 MN 上，即可得解【解答】解：如图所示：分别取棱1、11的中点 M、N，连接 M
18、N，连接1， 、N、E、F 为所在棱的中点， /1，/1，第 14 页，共 18 页 /，又平面 AEF， 平面 AEF， /平面 AEF； 1/，1= ， 四边形1为平行四边形，1/，又1平面 AEF， 平面 AEF，1/平面 AEF，又1 = ， 平面1/平面 AEF， 是侧面11内一点，且1/平面 AEF，则 P 必在线段 MN 上，在 11中，1 =121+ 12=1 + (12)2=52，同理，在 11中，求得1 =52，1为等腰三角形，当 P 在 MN 中点 O 时1 ，此时1最短，P 位于 M、N 处时1最长，1 =122=(52)2(24)2=324，1 =1 =52，所以线段
19、1长度的取值范围是324,52.故答案为324,52.17.【答案】解：(1)设(,)，由题意得2 + = 01 + = 2，解得 = 2 = 3， 点 C 的坐标为(2,3)； 直线 AC 的方程为434= + 12 + 1，化为一般式为 + 311 = 0；(2) (1,4)，(2,3)，第 15 页，共 18 页=342 + 1= 13， 边上的高所在直线的斜率 = 3， 边上的高所在直线方程为4 = 3( + 1)，化为一般式为3 + 5 = 0【解析】(1)设(,)，利用中点坐标求出点 C，再写出直线 AC 的方程；(2)求出 AC 的斜率，得出 AC 边上的高所在直线的斜率，利用点
20、斜式求出 AC 边上的高所在直线方程本题考查了直线方程的求法应用问题，是基础题18.【答案】证明：(1)连接1， 1111是正方体， /11， =11， ，F 分别是 AB，11的中点， /1， = 1 1是平行四边形， /1 平面11，1 平面11， /平面11(2)由(1)得/1， 1111是正方体11 平面11， 11 1， 11 ， 1111是正方体， 11是正方形，1 1， 1 ，1 平面11，11 平面11，111 =1， 平面11【解析】(1)连接1，推导出1是平行四边形，/1.由此能证明/平面11(2)推导出/1，11 平面11，11 1，11 ，1 1，1 ，由此能证明 平面
21、11本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.【答案】解：(1) 1(0,0)，1= 1， 2+ 26 + = 0的标准方程为(3)2+ 2= 9，2(3,0)，2=9， 9，第 16 页，共 18 页 圆1与圆2外切， |12| =1+2，即3 = 1 +9， = 5；(2)由(1)得 = 5，圆2的方程为(3)2+ 2= 4，2(3,0)，2= 2，由题意可得圆心2到直线 + 2 + = 0的距离 =|3 + |5=223 = 1，得| + 3| =5，即 = 3 +5或 = 3 5【解析】本题主要考查圆与圆的位置关
22、系的应用，结合圆外切以及直线和圆相交时的弦长公式建立方程是解决本题的关键考查学生的计算能力，难度中等(1)求出圆心坐标和半径，结合圆与圆外切的等价条件建立方程进行求解即可(2)根据相交弦的弦长公式建立方程进行求解即可20.【答案】解：(1)证明： 是正三角形， = 2 = 4， = 2， = 2， 2= 2+2= 20， ， ， 平面 PAD， (2)解：设点 E 是 PD 的中点，连接 AE，CE， 是正三角形， ， = 2 3，由(1)得 平面 PAD， 平面 平面 PAD， 平面 PCD， 与平面 PCD 所成角为， ， =2+ 2= 2 5， 与平面 PCD 所成角的正弦值为sin =
23、155【解析】(1)推导出 ， ，从而 平面 PAD，由此能证明 (2)设点 E 是 PD 的中点，连接 AE，CE，推导出 ， 平面 PCD，从而 AC与平面 PCD 所成角为，由此能求出 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21.【答案】解：(1)证明： 在四棱锥中， ，/， = 2 = 2 = 4， = 2 5， 是正三角形第 17 页，共 18 页 2+2= 2， ， = ， 平面 PAD， 平面 PAD， (2)解：设点 E 是 AD 的中点，连接 PE，BE
24、， 是正三角形， ， = 2 3， /， ， = 2 = 2 = 4， = = 2， ，/， 是正方形， ， 平面 PBE， ， 是二面角的平面角，由(1)得 平面 PAD， ， ， tan =3， = 60【解析】(1)推导出 ， ，从而 平面 PAD，由此能证明 (2)设点 E 是 AD 的中点， 连接 PE， BE， 推导出 ， = 2 3， ， BCDE是正方形，从而 ，进而 平面 PBE， ，是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22.【答案】解：(1)由题可知，圆
25、 O 的半径 = 2，设(2 + 8,)， 是圆 O 的一条切线， = 90， =(2 + 8)2+ 2=2+ 2= 4，解得 = 4或 = 125， (0,4)或(165,125)；(2)由题意可知当 时，取最大值，设此时(,)，由 = 228 = 0，解得 =85 = 165， (85,165)， 的外接圆方程为(45)2+( +85)2=165第 18 页，共 18 页【解析】(1)设(2 + 8,)，在 中，由已知结合勾股定理列式求得 b，则 P 点坐标可求；(2)由题意可知当 时，取最大值，设此时(,)，联立直线方程求得 P 的坐标，再由中点坐标公式可得 的外接圆的圆心坐标，则圆的方
26、程可求本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了三角形外接圆方程的求法，考查计算能力，是中档题23.【答案】解：(1)由题可知，圆 O 的半径 = 2，设(2 + 8,)， 是圆 O 的一条切线， = 90， =(2 + 8)2+ 2=2+ 2= 4，解得 = 4或 = 125， (0,4)或(165,125)；(2)设(0,0)，则(02,02)， 的外接圆方程为20 + 20 = 0，0208 = 0， 0= 20+8， (28 + 2)0(2 + ) = 0，令2 + = 028 + 2= 0，解得 =85 = 165或 = 0 = 0(舍去)， 圆 M 过定点(85,165).【解析】(1)设(2 + 8,)，在 中，由已知结合勾股定理列式求得 b，则 P 点坐标可求；(2)设(0,0)，则(02,02)，求出 的外接圆方程为20 + 20 = 0，再由点P 在直线上，可得(28 + 2)0(2 + ) = 0，然后利用圆系方程求得圆 M 过定点的坐标本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系方程的应用，考查计算能力，属中档题
