1、一、一、随机事件间的关系及运算随机事件间的关系及运算第二节 事件的关系和运算二、小结与思考题二、小结与思考题第一章一、随机事件间的关系及运算一、随机事件间的关系及运算样本点样本点 = 基本事件基本事件样本空间样本空间 = 全体样本点全体样本点= 必然事件必然事件随机事件是由具有某些特征的基本事件随机事件是由具有某些特征的基本事件所组成，所以所组成，所以随机事件随机事件 = 样本空间样本空间 的一个子集的一个子集.如：如：个个外外形形设设袋袋中中有有袋袋中中摸摸球球10.:2E从从中中，字字相相同同的的球球，分分别别标标有有数数.1021.所所标标的的数数字字任任意意摸摸一一球球，观观察察球球上
2、上记记 i“摸到标号为摸到标号为i的球的球” (i=1,2,10)则样本点为：则样本点为： = i 样本空间：样本空间： =1,2,10事件事件D=球的标号是奇数球的标号是奇数=1，3，5，7，9F=球的标号球的标号5=1，2，3，4，5 FD,D, F均是均是 的子集的子集.1.运算运算(有有3种）种） 运算运算 符号符号 概率论概率论集合论集合论Venn图图 BA和和差差BA 事件事件A发生发生而而B不发生不发生积积ABBA或或事件事件A与与B同时发生同时发生A与与B的并集的并集A与与B的差集的差集A与与B的交集的交集事件事件A与与B至少至少有一个发生有一个发生事件事件 A 与与 B 的并
3、的并(和事件和事件).|. ,BeAeeBABABABA 或或，显显然然记记作作的的与与事事件件称称为为事事件件个个事事件件至至少少发发生生一一个个”也也是是一一“二二事事件件和和事事件件实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BABA事件事件 A 与与 B 的差的差图示图示 A 与与 B 的差的差AB AB 实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度
4、合格长度合格” 与与“直径合格直径合格”的差的差. 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. AABBA ABB 事件事件 A 与与 B 的交的交 (积事件积事件).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 .| ,BeAeeBABABABA 且且，显显然然记记作作的的与与事事件件事事件件称称为为也也是是一一个个事事件件同同时时发发生生二二事事件件积积事事件件, ,图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件.实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度
5、与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件. ABAB 推广推广.,:21121中中至至少少有有一一个个发发生生nininAAAAAAA .,:21121中中至至少少有有一一个个发发生生niinAAAAAAA .,:21121同同时时发发生生nininAAAAAAA .,:21121同同时时发发生生niinAAAAAAA 2.关系关系(有有4种）种）关系关系 符号符号 概率论概率论集合论集合论VennVenn图图包含包含BA A发生则发生则B必发生必发生A是是B的的子集子集等价等价BA BA A
6、B 且且A与与B相等相等互斥互斥(互不互不相容相容) AB事件事件A与与B不不能同时发生能同时发生A与与B不不相交相交对立对立(互逆互逆)AA A的对立事件的对立事件A A的余集的余集 AA AAA若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 , 则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A, 记作记作.BAAB 或或实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A. 包含关系包含关系BA事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件
7、A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现, B出现也必然导致出现也必然导致 A不出现不出现,则称事件则称事件 A与与B互不相互不相容容, 即即. ABBA实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互互斥斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为
8、互斥. 设设 A 表示表示“事件事件 A 出现出现”, 则则“事件事件 A 不出现不出现”称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作.A实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA 若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有. ABBA且A对立对立事件事件 A 的对立（互逆）事件的对立（互逆）事件注注. 1 互斥与互逆的关系互斥与互逆的关系互逆互逆 互斥互斥如：对于如：对于，2E5,2 BA AB互互斥斥与与BA但但 10, 2, 15 , 2 BA不互逆不互逆与与BA.1086429 , 7 , 5
9、, 3 , 1互逆互逆，与与 GD2 必然事件必然事件 与不可能事件与不可能事件互逆互逆.对立对立(或或互逆互逆)事件与互斥事件的区别事件与互斥事件的区别 ABABA A、B 对立对立A、B 互斥互斥 . ABBA且, AB互互 斥斥对对 立立3. 运算法则运算法则ABBA )1(:. 1 交换律交换律BAAB )2()()()1(:. 2CBACBA 结合律结合律)()()2(BCACAB )()()2(CBCACAB BCACCBA )()1(:. 3 分配律分配律)()(CABABCA )(CA)(CBACBAB)(ABC= =CAB )()(CBCA4. 对偶律对偶律(De Morga
10、n定理定理)BABA )1(意义：意义： “A，B至少有一发生至少有一发生”的对立事件的对立事件是是“A，B均不发生均不发生”.BAAB )2(意义：意义：“A，B均发生均发生”的对立事件是的对立事件是“A，B至少有一个不发生至少有一个不发生”.2022-5-1119推广：推广：niiniiAA11 niiniiAA11 5. .AABBBABA ，则，则若若特别地，特别地，AA,A A=，AA 3例例1 设设 A，B为随机事件，证明：为随机事件，证明：(1) A-B=A-AB(2)ABBABAABABA ABAABA )1(证证)(BABA )(BAA BAAABABABA ABAABA )
11、2()(AABA )(BABA ABBABA ABABABBA )(BAABA 例例2 下列命题是否正确？下列命题是否正确？BAAB )1(A，B至少有至少有一个不发生一个不发生A，B均不均不发生发生BABA )()2(解解 不正确不正确.BBAABA )(一般地，一般地，AB-AAB特别地，特别地，BBABA ，则则若若从而从而BBAABA )(BCBACAB )()3(解解 正确正确.BCBABCBA )(CBBA )(CBBA CBABBA =CBACBA )(CAB 例例3设设A A，B B，C C为三个事件，试用这三个事件为三个事件，试用这三个事件的运算关系表示下列事件：的运算关系表
12、示下列事件：.)1(都都不不发发生生，发发生生，而而CBA可表示为：可表示为：CBA或或CBA.)2(中中恰恰有有一一个个发发生生，CBA可表示为：可表示为：CBACBACBA .)3(中中恰恰有有两两个个发发生生，CBA可表示为：可表示为：BCACBACAB ABCACBCAB 或或.)4(中中不不多多于于一一个个发发生生，CBA可表示为：可表示为：CBACBACBACBA .ACBCAB或或.)4(中中不不多多于于一一个个发发生生，CBA可表示为：可表示为：CBACBACBACBA .ACBCAB或或例例4 在计算机系学生中任选一名学生，设事件在计算机系学生中任选一名学生，设事件A=“选出
13、的学生是男生选出的学生是男生”；B=“选出的学生是三年级学生选出的学生是三年级学生”；C=“选出的学生是运动员选出的学生是运动员”.)1(的的含含义义叙叙述述事事件件CAB成成立立？在在什什么么条条件件下下，CABC )2(成成立立？什什么么时时候候关关系系BC )3(解解CAB)1(的含义是的含义是“选出的学生是三年级选出的学生是三年级的男生，但他不是运动的男生，但他不是运动员员”.CABC )2(的充要条件是：的充要条件是：CABC ABCC ABABC 又又的充要条件是：的充要条件是：CABC ABC ABC 即即“计算系学生中的运动员都是计算系学生中的运动员都是三年级的男生三年级的男生
14、”.成成立立？什什么么时时候候关关系系BC )3(解解 当运动员都是三年级的学生时，当运动员都是三年级的学生时，C是是B的子事件，即的子事件，即.成成立立BC 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(2) A, B都出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;练习练习1(7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现三个
15、事件至少有两个出现;(9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(10) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.解解CBA)(1;)(CABorCAB2;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;CBAor);(CBAor;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA (1)没有一个是次品没有一个是次品;(2)至少有一个是次品至少有一个是次品;(3)只有一个是次品只有一个是次品;(4)
16、至少有三个不是次品至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品至多有一个是次品.解解;)1(4321AAAA:)4 , 3 , 2 , 1(,下下列列各各事事件件表表示示试试用用个个零零件件是是正正品品产产的的第第表表示示他他生生零零件件设设一一个个工工人人生生产产了了四四个个iiAiiA 练习练习24321432143214321)2(AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA 43214321AAAAAAAA ,4321AAAA
17、 ;4321AAAA或或;)3(4321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAA 4321432143214321)4(AAAAAAAAAAAAAAAA ;4321AAAA 4321432143214321 )5(AAAAAAAAAAAAAAAA .)6(43214321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 二、小结二、小结 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件A与事件与事件B相等相等空间空间(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的补集的补集A是是B的子集的子集A集合与集合与B集合相等集合相等eAABA BA BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集AB 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集2022-5-1137
