1、一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1ppt课件ouAB1轴同方向的单位向量，轴同方向的单位向量，是与是与设设ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设uCBA,eBCeABeAC)()()(
2、 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e机动 目录 上页 下页 返回 结束 2ppt课件证证例例 1 1 在在u轴上取定一点轴上取定一点o作为坐标原点设作为坐标原点设BA,是是u轴上坐标依次为轴上坐标依次为1u, 2u的两个点，的两个点，e是与是与u轴轴同方向的单位向量，证明同方向的单位向量，证明euuAB)(12 .ouAB1e1u2u机动 目录 上页 下页 返回 结束 3ppt课件空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴
3、空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4ppt课件空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.机动 目录 上页 下页 返回 结束 5ppt课件空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线
4、段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.机动 目录 上页 下页 返回 结束 6ppt课件ABjuPr.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 机动 目录 上页 下页 返回 结束 投影定理投影定理(1)(1)7ppt课件定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等
5、；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8ppt课件投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a机动 目录 上页 下页 返回 结束 9ppt课件二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标1M1P2M2P上的投影分别为点上的投影分别为点在轴在轴点点为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设
6、212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10ppt课件如果如果e是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量，.)(12euu 设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.由例由例1知知eaPPu 21机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束 11ppt课件xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12ppt课件kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaia
8、zyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 13ppt课件向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 14ppt课件解解例例
9、 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点，而在点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为为两部分两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐标，求分点的坐标.ABMxyzo机动 目录 上页 下页 返回 结束 15ppt课件M为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16ppt课件非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标
10、轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式机动 目录 上页 下页 返回 结束 17ppt课件xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 18ppt课件0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxx
11、aaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式机动 目录 上页 下页 返回 结束 19ppt课件1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为机动 目录 上页 下页 返回 结束 20ppt课件例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 21ppt课件例例 4 4 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标.解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ppt课件例例 5 5 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 23ppt课件思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.机动 目录 上页 下页 返回 结束 24ppt课件
