1、第四章第四章 金属自由电子理论金属自由电子理论 4.1 限制在边长为限制在边长为L的正方形中的的正方形中的N个自由电子，电子的能量个自由电子，电子的能量 2y2x2yxkk2mk,kE （1）求能量）求能量E到到E+dE之间的状态数；之间的状态数；（2）求此二维系统在绝对零度的费密能量。）求此二维系统在绝对零度的费密能量。解：解：（1）由周期性边界条件得由周期性边界条件得Ln2kyy yxk,k轴相邻两代表点的间距为轴相邻两代表点的间距为沿沿。L2因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为2L2 。Ln2kxx 在在kdkk 面积元面积元yxdkdkkd
2、中含有的状态数为中含有的状态数为kd2L2 。每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元则在面积元kd中中容纳电子数为容纳电子数为kdk22L2kd2L2dz22 又又2mkE22 dkmkdE2 所以所以E到到E+dE之间的状态数之间的状态数dEmLdEm2L42222 （2）在在E到到E+dE内的电子数为内的电子数为dN dzEfdN 在绝对零度时在绝对零度时 FFEE 1EE0 Ef0F22E022EmLEdmLN0F 则则222220FmL4NhnmmLNE 4.2 4.2 设金属中的电子可看成是在边长为设金属中的电子可看成是在边长为L L的
3、方匣内运动的自由的方匣内运动的自由粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密粒子，试分别采用驻波边界条件和周期性边界条件，求状态密度的表示式。度的表示式。解：解：电子在方匣中运动，设其势函数电子在方匣中运动，设其势函数 0)( xV可写为可写为，则薛定谔方程则薛定谔方程08222 Ehm(1) 令令 )(4282222222zyxkkkkEhm (2) zyxzyx ,(3) 代入代入(1)式可得式可得 02222 xxxkdxd 02222 yyykdyd (4) 02222 zzzkdzd 应用驻波边界条件：应用驻波边界条件： 00 ,), 0 ,(), 0( yxzxzy 0
4、,),(),( LyxzLxzyL 可得驻波解为可得驻波解为 zkykxkAzyx 2sin2sin)2sin( 式中波矢的各分量分别为式中波矢的各分量分别为LnkLnkLnkzzyyxx2,2,2 (5) 这里这里 zyxnnn,为任意正整数，为任意正整数， 因而因而 zyxkkk,也只取正值。也只取正值。 由由(5)式得知，式得知， 间中一个状态代表点所占体积为间中一个状态代表点所占体积为kVLLL81212121 3LV 代表金属体体积。代表金属体体积。 由上式知道，由上式知道， k空间中的状态密度等于空间中的状态密度等于8V。 因为能量因为能量 dEEE 之间的状态数即是之间的状态数即
5、是 k空间中半径在空间中半径在 dkkk 之间球壳体积的之间球壳体积的1/8内所包含的状态数，内所包含的状态数， 这样，如计这样，如计入自旋，入自旋，dEEE 之间的状态数之间的状态数 VdkkdkkVdZ22848182 从从(2)式知道，式知道， mkhE222 于是，于是， dEEhmVdZ2/132/324 状态密度为状态密度为 2/133/224)(EhmVdEdZEg (6)另一方面，若应用周期性边界条件另一方面，若应用周期性边界条件 zLzyLyxLxzzyyxx 则从则从(3)(4)两式可得行波解两式可得行波解 zkykxkizyxAe 2波矢各分量分别为波矢各分量分别为 Ln
6、kLnkLnkzzyyxx ,(7) zyxnnn,取正负整数，电子的能量仍然表示为取正负整数，电子的能量仍然表示为 )(22222222zyxkkkmhmkhE 从从(7)式知道，在式知道，在 k空间中，每个状态代表点所占体积为空间中，每个状态代表点所占体积为 VLLL1111 因而因而 k空间中的状态密度为空间中的状态密度为V， 计入自旋，计入自旋， dEEE 之间的之间的状态数为状态数为 dEEhmVdZ2/132/324 故状态密度故状态密度 2/132/324)(EhmVdEdZEg (8) 对比对比(6),(8)两式知道，利用驻波边界条件和周期性边界条件求两式知道，利用驻波边界条件
7、和周期性边界条件求出的状态密度表示式是一样的。出的状态密度表示式是一样的。4.3 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为金属锂是体心立方晶格，晶格常数为a=3.5埃，试计算绝对埃，试计算绝对零度时锂的电子气的费米能量零度时锂的电子气的费米能量 (以电子伏特表示）。以电子伏特表示）。FE解：解： 32220F3n2mE 体心立方体心立方3a2n 又又SJ101.0634 kg109.1m31 m103.5a10 所以所以 322331031222340F3.14m103.523kg109.12SJ101.06E 4.75eVJ107.6J100.076-1917 4.4 在低温下金属钾的摩尔热容量的实
8、验结果可写成在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成 开开摩尔摩尔毫焦毫焦 32.57T2.08Tc若一个摩尔的钾有若一个摩尔的钾有23106N FT和德拜温度和德拜温度D。个电子，试求钾的费米温度个电子，试求钾的费米温度解：解： 低温下，金属摩尔热容量为低温下，金属摩尔热容量为3VeVeVbTTCCC 因因 3D40F2R512b2TRZkmolJ8.31441kNRB0 1Z 572082.3D40F2R5122TR所以所以 k101.97kmolmJ2.082kmolmJ108.314413.142RT423220F 可得可得 k91.1kmolJ102.5753.14kmolJ8.3
9、1441125b12R31434314D 4.5某晶体中电子的等能量曲面是椭球面某晶体中电子的等能量曲面是椭球面 2323222221212mkmkmk2kE求能量求能量dEEE 之间的状态数。之间的状态数。解：解： 2323222221212mkmkmk2kE因为因为能量为能量为E的等能面的方程式可写为的等能面的方程式可写为1E2mkE2mkE2mk232322222121 椭球的体积为椭球的体积为 32321321212321222121Emm8m34E2mE2mE2m34 乘上状态的密度乘上状态的密度34V（V为晶体体积）。为晶体体积）。 得椭球内所含状态数得椭球内所含状态数为为 232
10、132132Emm8mVEZ dEEE 之间的状态数为之间的状态数为 dEEmm8m2VEdZ212132132 dEEmm8mhV221213213 4.6 已知一维金属晶体共含有已知一维金属晶体共含有N个电子，晶体的长度为个电子，晶体的长度为L。设设T=0K，试求，试求 (1)电子的能态密度；电子的能态密度；(2)晶体的费密能级；晶体的费密能级； (3)晶体电子的平均能量。晶体电子的平均能量。(1).解一维薛定谔方程解一维薛定谔方程 082222 Ehmdxd(1) 令令 22228kEhm (2) 解：解：从从(1)式解得式解得 kxiAe 2 利用周期性边界条件利用周期性边界条件 )(
11、)(Lxx ，得到，得到 ,2, 1,0,2 nLnk 从上式可求得电子态在从上式可求得电子态在k空间的密度空间的密度 21)(Lkkg 从从(2)式又知道式又知道 mkE222 (3) 可见能量可见能量E是波矢是波矢 k的偶函数，的偶函数， 和和 kk 对应同一能级，因而对应同一能级，因而 在能量区间在能量区间 dEEE 内的电子态数内的电子态数 dkLdkkgdEEgdZe )(2)(4) 式中式中 )(Ege为电子的能态密度。为电子的能态密度。dkmEkdkmdE22 即即 dEEmdk21 代入代入(4)式，成为式，成为 dEEmhLdEEmLdEEgdZe221)( 由由(3)式得式
12、得于是得于是得 EmhLEge2)( 计及电子的自旋，则得到能态密度为计及电子的自旋，则得到能态密度为 EmhLEg22)( (2).电子服从费密统计。电子服从费密统计。 0001)(FFEEEEEf式中的式中的 0FE为为0K时的费密能级，即时的费密能级，即T=0K时电子填充的最高时电子填充的最高能级，能级， 故应有故应有 0002422)()(00FEEEhmLdEEmhLdEEgEfNFF 当当T=0K时，费密分布函数时，费密分布函数因此因此 22032 LNmhEF(5) (3).按照定义，电子的平均能量按照定义，电子的平均能量(T=0K) 23000032422)()(100FEEE
13、NhmLdEENhmLdEEgEEfNEFF 利用利用(5)式化简，从上式即得式化简，从上式即得 300FEE 4.7 证明：证明：mkhVEF54520 式中，式中， Fk为费密球半径；为费密球半径；V为金属体积。为金属体积。 （2）金属中电子的平均能量）金属中电子的平均能量（1）T=0K时，金属中自由电子的能量密度时，金属中自由电子的能量密度mkhVEF103220 （1）处于）处于k状态的自由电子能量为状态的自由电子能量为 mkhE222 ，k为为电子波矢。电子波矢。由此得到，费密球内由此得到，费密球内证明：证明：当当T=0K时，电子全部占据费密球内各态。时，电子全部占据费密球内各态。k
14、空间中，状态密度等于空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢，计入自旋，在波矢 dkkk 的球壳内的状态数为的球壳内的状态数为 dkkV242 在在，电子的总能量电子的总能量 FkkmkhE2220 dkkV242 式中式中 Fk是费密球半径。是费密球半径。于是于是 522022054422FkkmhVdkkmkhVEF (1) 由此得到空间能量密度为由此得到空间能量密度为52054FkmhVE kk在在 空间的空间的 分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，当当V比较大时，波矢比较大时，波矢(2) 因为费密球内电子的总数因为
15、费密球内电子的总数3342FkVN (2) 把把(2)式代入式代入(1)式便得电子的平均能量式便得电子的平均能量mkhNEE1032200 当然，上式可应用当然，上式可应用 mkhEFF2220 化简为习惯的表示式化简为习惯的表示式0053FEE 4.8 对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为24hmg 试求二维电子气的比热。试求二维电子气的比热。设设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至加热直至温度温度T时，时， 022020)(2)(4)()(dEEEfEhmdEEEfhmdEEgEEfET (
16、1) 式中的式中的f(E)是费密分布函数。是费密分布函数。的积分可利用如下的积分公式求得：如的积分可利用如下的积分公式求得：如 FBETk ，有，有 解：解：它的总能量它的总能量(1)式已经过部分积分，其中最后式已经过部分积分，其中最后式中式中y(E)为能量为能量E的某一函数。的某一函数。2)(EEy ，从，从(1)式立即得到式立即得到 222232TkEhmEBFT (2)因为在通常讨论的温度范围，随温度的变化甚微而可以忽略，因为在通常讨论的温度范围，随温度的变化甚微而可以忽略，于是从于是从(2)式可得二维电子气的比热为式可得二维电子气的比热为TkhmTECBTeV22334 FBFEyTkEydEEEfEyI2206)()( 令令
