1、极坐标复习极坐标复习 1、极坐标系 极坐标系，点的极坐标： 狭义极坐标系：广义极坐标系：负极径的定义 2、极坐标和直角坐标的互化 互化的条件，互化公式； 3、曲线的极坐标方程 曲线的极坐标方程的概念， 求曲线的极坐标方程的方法和步骤， 基本曲线的极坐标方程， 利用极坐标方程解题； 4、极坐标系中的两点之间的距离公式； 复习要点巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)所以，所求极坐标方程为所以，所求极坐标方程为y3sin2x. 1 1、极坐标系、极坐标系 极坐标系极坐标系：在平面内任取一个定点在平面内任取一个定点OO，叫做极点，叫做极点，引一条射线引一条射线oxo
2、x，叫做极轴，再选定一个长度单位和，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向角度的正方向( (通常取逆时针方向通常取逆时针方向) )，这样建立的坐，这样建立的坐标系叫做极坐标系。标系叫做极坐标系。 Ox)(M 点的极坐标：点的极坐标：对于平面内任意一点对于平面内任意一点MM，用，用 表示表示线段线段OMOM的长度，叫做点的长度，叫做点MM的的极径极径；用；用 表示从表示从oxox旋转到旋转到OMOM的角度，的角度， 叫做点叫做点MM的的极角极角，有序数对，有序数对M(, )M(, )就叫做点就叫做点MM的极坐标的极坐标. . 狭义极坐标系：极径极径00，极角，极角00，22）. . 在狭义极
3、坐标系中，平面上的一点在狭义极坐标系中，平面上的一点( (除极点外除极点外) )的极坐标系是唯一的的极坐标系是唯一的. . 广义极坐标系：极径极径R R ，极角，极角R.R. 在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标在广义极坐标系中，平面上的一点的极坐标系有无数个系有无数个. .当当00.- )结论结论：(1)(1)点（点（ ， ）关于极轴的对称点是）关于极轴的对称点是（ ，- - ）. .(2)(2)关于直线关于直线 的对称点是的对称点是（ ，- - ）. .(3)(3)关于极点关于极点O O的对称点是的对称点是（ ， + ）。）。2对称性3自主解答自主解答(1)将将xcos，ysin代入代入
4、y24x，得得(sin)24cos.化简，得化简，得sin24cos.(2)将将xcos，ysin代入代入y2x22x10，得得(sin)2(cos)22cos10，化简，得化简，得22cos10.冲关锦囊冲关锦囊一极坐标与直角坐标的互化一极坐标与直角坐标的互化5(2011广东深圳广东深圳)在极坐标系中，设在极坐标系中，设P是直线是直线l： (cossin)4上任一点，上任一点，Q是圆是圆C：2 4cos3上任一点，则上任一点，则|PQ|的最小值是的最小值是_小结小结1：处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路：种思路：（1）化极坐标方程为直角坐标方程
5、再处理；）化极坐标方程为直角坐标方程再处理；（2）根据）根据、的几何意义进行旋转或伸缩的几何意义进行旋转或伸缩变换变换.3.求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；( , )M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。 = 0 (0) = 0 (R) o xo x00基本曲线的极坐标方程基本曲线的极坐标方程 直线的的极坐标方程 正弦定理正弦定理o x M(,)M(,
6、)M(,)a = sin( - )asin( - )sin( - ) = asin xxxxP( ， )P( ， )P( ， )P( ， )ooooaaaa cos =a sin =a sin =-a cos = -a直线的极坐标方程 o xroxP(r， = r圆的极坐标方程圆的极坐标方程 r2= 2+ 02- 2 0cos( - 0)余弦定理余弦定理c( 0， 0)P( ， ) ooooxxxxc(a，0)c(a， /2)c(a， )c(a，- /2)P( ， )P( ， )P( ， )P( ， ) =2acos =2acos( - )= -2acos =2acos( -3 /2)= -2
7、asin =2asin ) c( 0， 0)raP( ， )P( ， )余弦定理余弦定理r2= 2+ 02- 2 0cos( - 0)正弦定理正弦定理 = sin( - )asin( - ) = asin sin( - )ooxx12设过原点设过原点O的直线与圆的直线与圆C：(x1)2y21的的一个交点为一个交点为P，点，点M为线段为线段OP的中点的中点(1)求圆求圆C的极坐标方程；的极坐标方程；(2)求点求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线线解析：解析：(1)圆圆(x1)2y21的极坐标方程为的极坐标方程为2cos .(2)设点设点P的极坐标为的极坐标
8、为(1，1)，点，点M的极坐标为的极坐标为(，)点点M为线段为线段OP的中点，的中点，12，1.将将12，1代入圆的极坐标方程，得代入圆的极坐标方程，得cos .点点M轨迹的极坐标方程为轨迹的极坐标方程为cos ，它表示圆心在，它表示圆心在 点点 ，半径为，半径为 的圆的圆练练. 已知已知OAB是等腰直角三角形（是等腰直角三角形（OAB为逆为逆时针顺序时针顺序)， OAB=900，点，点B在曲线在曲线sin=5, 求求A点的点的 轨迹的极坐标方程。轨迹的极坐标方程。分析：分析：用代入法，设用代入法，设A (,) ,B (,),A (,) ,B (,),找找出这两个极端坐标的关系，再代到出这两个
9、极端坐标的关系，再代到B B点所在的点所在的曲线极坐标方程，即得曲线极坐标方程，即得A A点轨迹极坐标方程点轨迹极坐标方程O xA(,)B(,)sin=51.建立曲线的极坐标方程的方法步骤建立曲线的极坐标方程的方法步骤. （1）在曲线上任取一点）在曲线上任取一点P（,）. （2）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角）建立起直角三角形（或斜三角形），利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起、的方的方程程. （3）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）证明所求曲线方程为曲线的方程（在此省略）.2.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，利用
10、极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义如定义法、直接法、参数法等法、直接法、参数法等.小结小结2： 设设P P是空间任意一点，是空间任意一点，在在oxy平面的射影为平面的射影为Q， 用用(,)(0,(,)(0,002)2)表示点表示点Q在平面在平面oxyoxy上的极坐标，上的极坐标， 点点P P的位置可用有的位置可用有序数组序数组(,z)(,z)表示表示. .xyzoP(,Z)Q 把建立上述对应关系的坐标系叫
11、做把建立上述对应关系的坐标系叫做柱柱坐标系坐标系. . 有序数组有序数组(,Z)(,Z)叫点叫点P P的的柱柱坐标，坐标，记作记作(,Z). (,Z). 其中其中0, 00, 0 2, -2, -Z Z+ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的一部分建立起来的. . 空间点空间点P P的直角坐标的直角坐标(x, y, z)(x, y, z)与柱坐与柱坐标标 (,Z) (,Z) 之间的变换公式为之间的变换公式为 zzyx sincos柱坐标与空间直角坐标的互化柱坐标与空间直角坐标的互化(2)(2
12、)直角坐标转化为柱坐标直角坐标转化为柱坐标222tan(0)xyyxxzz思考：思考：点点P的柱坐标为的柱坐标为( (, z) )，(1)(1)当当为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(2)(2)当当为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(3)(3)当当z为常数时，为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面xyzoP(, z)(,)QxyzoPQr设设P是空间任意一点，是空间任意一点，连接连接OP，记记| OP |=r，OP与与OZ轴正向所轴正向所夹的角为夹的角为.在在oxy平面的射影为平面的射影为Q， 设设P在在oxy平面上的射影为平面上的射影为Q， O
13、x轴按逆时轴按逆时针方向旋转到针方向旋转到OQ时所转过的最小正角时所转过的最小正角为为. 这样点这样点 P 的位置就可以用有序数的位置就可以用有序数组组(r,)表示表示.(r,) 我们把建立上述我们把建立上述对应关系的坐标系对应关系的坐标系叫做叫做球坐标系球坐标系 (或或空间极坐标系空间极坐标系) .有序数组有序数组(r,)叫做点叫做点P的球坐标，的球坐标，其中其中20,0, 0rxyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种之间建立了一种对应关系对应关系.球坐标系球坐标系xyzoQP(r, ,)Pr0r 020P(r, ,)将球坐标转化为直角坐标：将球坐标
14、转化为直角坐标：xyoQP(r, ,)rz0r 002思考：思考：点点P的球坐标为的球坐标为(r, ,) ，(1)(1)当当r为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(2)(2)当当 为常数时，点为常数时，点P的轨迹是的轨迹是_(3)(3)当当为常数时，为常数时，点点P的轨迹是的轨迹是_球面球面圆锥面或平面圆锥面或平面或射线或射线半平面半平面xyzoQP(r, ,)rC B 3已知点已知点M的球坐标为的球坐标为 ，则它的直角坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是，它的柱坐标是_4设设点点M的柱坐标为的柱坐标为 ，则它的直角坐标为，则它的直角坐标为_ 3444，276，(2,2,2 ) 232 22 24， ，( ，1,7) 35在球坐标系中，方程在球坐标系中，方程r1表示表示_，方程方程 表示空间的表示空间的_6在柱坐标系中，长方体在柱坐标系中，长方体ABCDA1B1C1D1的一个顶的一个顶点在原点，另两个顶点坐标分别为点在原点，另两个顶点坐标分别为A1(8,0,10)，C1 ，则此长方体外接球的体积为则此长方体外接球的体积为_46102，5球心在原点、半径为球心在原点、半径为1的球面顶点在原点、轴截面的球面顶点在原点、轴截面顶角为顶角为 的圆锥面的圆锥面6.21000 23
