1、 确 知 信 号 樊昌信 曹丽娜 编著 本章内容: 信号类型 信号频率性质 信号时域性质 确知信号de类型 2.1 每隔一定的时间间隔按相同规律重复 且 无始无终。u 周期信号：u 非周期信号： 在定义域内的任意时刻都有确定和可预知的函数值。否则，为随机信号或不确知信号。n 何谓确知信号？n 确知信号分类 根据信号的不同特征，可将信号进行不同的分类。满足上式的最小T0 （T0 0） 称为信号的基波周期。1. 按照是否具有周期重复性区分矩形脉冲 周期信号周期信号：定义在定义在(- -，)区间，区间，每隔一定时间每隔一定时间T (或整数或整数N），），按相同规律重复变化按相同规律重复变化的信号。的
2、信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足 f(t) = f(t + mT)，m =0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T T( (或整数或整数N N) )称为该信号的称为该信号的周期周期。2. 按照信号能量是否有限区分2( )Es t dt/22/21lim( )TTTPs t dtT能量功率u 能量信号：u 功率信号：例如，单个矩形脉冲。例如：直流信号、周期信号和随机信号。 将信号将信号s(t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为电阻上，它所消耗的瞬时功率为| s(t) |
3、2，在区间，在区间( , )的能量和平均功率定义为的能量和平均功率定义为 确知信号de频域性质2.2 1. 狄拉克(Dirac)定义 1d)(0 0)(tttt 00d)(d)(tttt 函数值只在函数值只在t = 0时不为零；时不为零； 积分面积为积分面积为1 1； t =0 时，时， ，为无界函数。，为无界函数。 t to(1)(t)狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点
4、的：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。例1不满足条件不满足条件1 1的例子如下图所示，这个信号的周期为的例子如下图所示，这个信号的周期为8 8，它是这样，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过一个周期内它的面积不会超过8 8，但不连续点的数目是无穷多个。，但不连续点的数目是无穷多个。 tfO18 t821例2不满足条件不满足条件2 2的一个函数是的一个函数是 10,2sin tttf tfO11 t1对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有
5、 1d10 ttf在一周期内，信号是在一周期内，信号是绝对可积的绝对可积的(T1为周期为周期) TttfTd1 100d)(Tttttf TTtnnttfTttfTFd1de11j 说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都都是有限值，因为是有限值，因为 nF例3周期信号周期信号 ，周期为，周期为1 1，不满足此条件。，不满足此条件。 10,1 tttf tfO121 2 t1欧拉公式欧拉公式复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为时，时，此点可表示为此点可表示为e是自然对数的底，此式称为欧拉是自然对数
6、的底，此式称为欧拉(Euler)公式。公式。e可以用可以用计算方法定义为计算方法定义为 1lim 12.71828nnencossinj欧拉公式与三角函数的关系欧拉公式与三角函数的关系 三角函数可表示为三角函数可表示为cossin22jjjjeeeej欧拉公式与三角函数的关系欧拉公式与三角函数的关系 1sin2j tj tteej欧拉欧拉(Euler)(Euler)公式公式1cos2j tj ttee cossinjtetjt以以正弦信号正弦信号和和复指数信号复指数信号 为基本函数，任意为基本函数，任意信号将分解为一系列信号将分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或复指数的正弦信号或复指数信号
7、之和或积分。信号之和或积分。tje 由由时域分析时域分析转入转入变换域变换域（频域频域）分析）分析傅里叶变换傅里叶变换频谱、带宽、滤波、调制频谱、带宽、滤波、调制11c o s22c o ss i njtjtjtteeetjt欧拉公式欧拉公式1. 信号正交定义：信号正交定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t)，若满足，若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在在区间区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)
8、构成一个函数构成一个函数集，当这些函数在区间集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在则称此函数集为在区间区间(t1，t2)上的上的正交函数集正交函数集。 3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不存在任何函数之外，不存在任何函数 (t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如：例如：三角函数集三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虚指数函数集虚指数函数集 ejnt，n=0，1，2，
9、是两组典型的在区间是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上（周期内）的上（周期内）的 完备正交函数集。完备正交函数集。为基波频率为基波频率21( )( )d0titttt( i =1，2，n)信号的正交分解信号的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 问题：问题：如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差与近似函数之间
10、误差在区间在区间(t1，t2)内为最小？内为最小？信号的正交分解信号的正交分解问题：问题：如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差与近似函数之间误差在区间在区间(t1，t2)内为最小。内为最小。 通常两个函数误差最小，是指这通常两个函数误差最小，是指这两个函数在区间两个函数在区间(t1，t2)内的的方均值（内的的方均值（均方误差）均方误差）最小。均方误差为：最小。均方误差为： ttCtfttttnjjjd )()(12121122f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 为使上式最小（系数为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有0d)()(21122ttnjjjii
11、ttCtfCC 展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为不为0，写为：，写为： 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即：即： 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信号的能量信号的能量代入，得代入，得最小均方误差最小均方误差0d)(112212221njjjttKCttftt 在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数时，所取得项数越多越多，即，即n越大，则均方误差越大，则均方误差越
12、小越小。当。当n时（为完备正交函时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有数集），均方误差为零。此时有 12221d)(jjjttKCttf 上式称为上式称为(Parseval)帕斯瓦尔方程（能量公式）帕斯瓦尔方程（能量公式），表明：在区间表明：在区间(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。 由积分可知由积分可知1、三角函数集、三角函数集2112cossin0TTntmt dtnmnmTtmtnTT, 0,2coscos2211nmnmTtmtnTT, 0,2sinsin2211
13、傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式1,cos,sin,1,2,n tn tn在一个周期内是一个完备的正交函数集在一个周期内是一个完备的正交函数集级数形式级数形式 设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下条件时，它可分解为如下三角级数三角级数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数。 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb
14、可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan 上式上式表明表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率（基频）与原周期信号相同，它的角频率（基频）与原周期信号相同（ ）；）； A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍； 一般而言，一般而言，Ancos(n
15、 t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatfnnanbnA2T例例：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。3T 例例1：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 为的周期信号，傅里叶系数为022022222( )cos()( 1) cos()1 c
16、os()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1 sin()sin() 202Tn tn tTT nT n考虑到考虑到=2/T，可得：，可得：0na 00a 信号的傅里叶级数展开式为：信号的傅里叶级数展开式为：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1cos() cos() 202Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,6,4,1,
17、3,5,nnn4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 e)(jtnnnFtf三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。的傅里叶级数。 de )(122jTTtnnttfTF系数系数Fn 称为称为复傅里叶系数复傅里叶系数 利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2可从三角形式推出：可从三角形式推出：虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式co
18、sx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf 上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式-1-111ee=ee22nnjjjntjntnnnnAAAn 为偶函数，为偶函数，A n=An， n为奇函数，为奇函数， n= n，则上式写为则上式写为 -1-1111ee=ee221=ee2nnnjjjntjntnnnnjjntnnAAA 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAAntjnjnnAtfee2
19、1)(有有令复数令复数1ee2nnjnnnFAF称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 00000,0jjtAA ee令令复数令复数1ee2nnjnnnFAF)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn22222211( )cos()d( )sin()d1( )edTTTTTjn tTf tn ttjf tn ttTTf ttT221( )e( )edTjntjn tTnnnf tFFf ttT，表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 Fn 是频率为是频
20、率为n 的分量的的分量的系数，系数，F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。n = 0, 1, 2， 傅里叶系数之间关系nnnnAbaF212122 nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函数：的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数的奇函数: bn ， n nnnAacosnnnAbsin信号频谱的概念信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化的关系，随信号频率变化的关系，称为称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信
21、号中各次谐波幅值、相位随是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平面上得到为横轴的平面上得到的两个图，分别称为的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱图相位频谱图。因为。因为n0，所，所以称这种频谱为以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，为实数，也可直接画也可直接画Fn 。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性离散性、谐波性谐波性、收敛性收敛性 。 的的线线性性组组合合。基基波波角角频频率率的的整整数数倍倍）（）和和各各次
22、次谐谐波波，基基波波（周周期期信信号号可可分分解解为为直直流流:11n关系曲线称为关系曲线称为幅度频谱图幅度频谱图，称，称幅度谱幅度谱；nA关系曲线称为关系曲线称为相位频谱图相位频谱图，简称，简称相位谱相位谱。n要特点。要特点。它是周期信号频谱的主它是周期信号频谱的主这种频谱称为离散谱，这种频谱称为离散谱，等离散频率点上，等离散频率点上，、现在现在周期信号的频谱只会出周期信号的频谱只会出11200nnA1 13 nc0c1c3cO1 13 n O幅度频谱幅度频谱nnAF曲线或曲线相位频谱相位频谱曲线曲线n离散谱，谱线离散谱，谱线单边频谱单边频谱谐波上才有值谐波上才有值2.2.1 功率信号的频谱
23、n周期性功率信号的频谱周期性功率信号的频谱02/( )jnt Tnns tC enjnnCC e对于周期（T0）功率信号s(t)，可展成指数型傅里叶级数： 其中，傅里叶级数的系数： |Cn|- n -相位谱随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱00/20/201( )TTCs t dtT当 n0 时，有它表示信号的时间平均值，即直流分量。n102345-2 -1-3-4-5|Cn|(a) 振幅谱102345-2-1-3-4-5n n(b) 相位谱n周期功率信号频谱的性质周期功率信号频谱的性质02/( )jnt Tnns tC e将式:代入式：可得s(t)的三角形式的傅里叶级数： 2221n
24、nnbaC式中nnab /tan1 实周期信号可分解为直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐波(n = 1, 2, 3, )分量的线性叠加；nnab /tan122nnba称为单边谱上式表明： 实信号s(t)的各次谐波的等于 实信号s(t)的各次谐波的等于 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。 【2-1】试求下图所示周期性方波的频谱。0T-TtVs(t)tTtstsTttVts),()()2/(2/, 02/2/,)(TnSaTVnfTnfVnfjeeTVnfjnfj0002/22/2sin200例例解解该周期性方波的周期T，脉宽 ，脉福V。可表示为：其频谱：222
25、022200211/tnfjtnfjnenfjVTdtVeTCnntnfjtnfjneTnSaTVeCts0022)(Cn可见可见：因为s(t)是实偶信号，所以 Cn为实函数。T-Tt0Vs(t)tTtstsTttVts),()(, 00,)(TnjnfjtnfjtnfjnenjVnfjeTVenfjVTdtVeTC/202020021221211000 【2-2】试求下图所示周期性方波的频谱。例例解解可见可见：此信号不是偶函数，所以其频谱Cn是 复函数 。 该信号可表示为：其频谱：非周期信号的频谱非周期信号的频谱 傅里叶变换傅里叶变换 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换回顾：周期信号的
26、傅里叶级数回顾：周期信号的傅里叶级数在满足狄里赫利条件时，可展成在满足狄里赫利条件时，可展成直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度称为称为三角形式三角形式的的傅里叶级数傅里叶级数，其系数，其系数 112,TTtf 1基基波波角角频频率率为为周周期期为为周周期期信信号号0111( )cossin nnnf taantbnt100d)(110TttttfTa100dcos)(211TttnttntfTa100dsin)(211TttnttntfTb，其中，其中，21n0110j111( ) ed tTntntF nFf ttT其中，系数，210nf(t)的的指数形
27、式指数形式傅里叶级数傅里叶级数1j1( )() e ntnf tF n的的线线性性组组合合；上上的的指指数数信信号号周周期期信信号号可可分分解解为为tjne1),(就就唯唯一一确确定定；，则则如如给给出出)()(1tfnF说明说明：一傅里叶变换)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号j221()( )edTn tTnFF nf ttT连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱. 引出T0再用再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入对大小仍有区别，引入频谱密度函数频谱密度函数。令。令T2 谱线间隔谱
28、线间隔0TFTFFnTnTlim/1lim)(j(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称为称为频谱密度函数（非周期信号的频谱）频谱密度函数（非周期信号的频谱）。22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时， 于是，于是，ttfTFFtnTde )(lim)(jjde)(j21)(jtFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f
29、(t)称为称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。的傅里叶反变换或原函数。由傅里叶级数由傅里叶级数也可简记为也可简记为 f(t) F(j)或或F()F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 或或F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)()()F： 幅 度 频 谱 ，： 相 位 频 谱j( )( )ed ( )cos()d( )sin()d( )( )tFf ttf tttjf tttRjX()( )cos()d()( )sin()dRf tttXf ttt 其中，是的偶函数，是的奇函数说明：说明： (1)前面推
30、导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数 f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFfj1j()( )( )ed1( )()()ed2ttF jF f tf ttf tFF jF j傅里叶正变换记为：傅里叶逆变换 )()(Ftf周期信号周期信号 非周期信号非周期信号傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶变换傅里叶变换离散谱离散谱 连续谱连续谱22)(1)(TTtjnnntjnndtetfTFeFtfdtetfjFdejFtftj
31、tj)(21)( 负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭。因为：dtetsfSftj2)()(dfefStsftj2)()()()(,)()(22fSfSdtetsdtetsftjftj2.2.2 能量信号的频谱密度n频谱密度的定义频谱密度的定义： 能量信号s(t) 的傅里叶变换： S(f)的逆傅里叶变换为原信号： nS(f)和Cn的主要区别的主要区别：uS(f)是连续谱，Cn是离散谱； uS(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。n实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性：实能量信号频谱密度和实功率信号频谱的共同特性： 【2-3】试求单位门函数:的频谱密度。2/02/1)(t
32、ttgaGa(f)f1/ 2/ -2/ -1/ 0例例其傅里叶变换为评注评注：矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即 (1/) Hz 。解解)(21)(2/2/2fjfjftjaeefjdtefG1t0ga(t)()sin(fSaff 【2-4】试求单位冲激函数 ( 函数) 的频谱密度。例例一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。解解 1)(dtt1)(1)()(2dttdtetfftj0,0)(tt且 函数的性质 函数的性质 函数的性质0, 1, 0, 0)(tttu当当)()(2lim)()(sin)()(sin2lim2coslim)(0000002/2/20ffSaffSa
33、ffffffffdtteffSftj)()(21)(00fffffSt(a) 余弦波形 【2-5】试求无限长余弦波的频谱密度。例例解解设余弦波的表示式为 s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)为f0f00(b) 频谱密度利用则有2.2.3 能量信号的能量谱密度n定义定义：dffSdttsE22)()(G(f ) = |S(f )|2dffG)(0)(2dffG用来描述信号的在频域上的分布情况。设能量信号s(t)的傅里叶变换（即频谱密度）为S(f)，n能量能量ParsevalParseval定理定理则其能量谱密度G(f )为： 【2-6】试求例【2-3】中矩形脉冲的能量谱密度 。例例解解
34、在例【2-3】中，已经求出其频谱密度：)()()(fSafGfSa2222)()()()(fSafSafSfG故其能量谱密度为: 2.2.4 功率信号的功率谱密度n定义定义：dffP)(用来描述信号的在频域上的分布情况。信号s(t)的功率谱密度 P(f )定义为：n功率功率ParsevalParseval定理（定理（p441p441）2)(1lim)(fSTfPTT式中，ST(f) 为截断信号 sT(t) 的傅里叶变换。2/2/2)(1limTTTdttsTPnnTTCdttsTP22/2/2000)(1Cn：傅里叶级数的系数 第n次谐波的振幅第n次谐波的功率nnTTCdttsTP22/2/2
35、000)(1连续的功率谱密度连续的功率谱密度 【2-7】试求例【2-1】中周期性信号的功率谱密度。例例解解在例【2-1】中，已经求出该信号的频谱：可得该信号的功率谱密度: TnSaTVCn由式nnfffSaTVfP)()(022 确知信号de时域性质2.3 可由自相关函数或互相关函数来描述1( ) ( )( ,)a tEtx fx tdx物理意义：随机过程的物理意义：随机过程的n个样本个样本 函数曲线的摆动中心。函数曲线的摆动中心。 随机过程随机过程的数学期望的数学期望: 是时间函数，表示随机过程所有样本函数的统计平均函数是时间函数，表示随机过程所有样本函数的统计平均函数 随机过程随机过程的方
36、差的方差: )(1tX称为随机过程称为随机过程的方差或均方差。的方差或均方差。时刻对于均值时刻对于均值的偏离程度。的偏离程度。它表示随机过程在它表示随机过程在（2）. 方差方差 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，它们描述均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。但无法反映随机过程内在的联系。了随机过程在各个孤立时刻的特征。但无法反映随机过程内在的联系。 两个随机过程有何异同？两个随机过程有何异同？2.3.1 能量信号的自相关函数n定义定义：dttstsR)()()(n性质性质：u 自相关函数 R( ) 和时间 t 无关，只和时间差 有
37、关；u当 = 0 时，R(0) 等于信号的能量：EdttsR)()0(2uR( )是 的偶函数：)()( RRu 自相关函数R( ) 和其能量谱密度 |S(f)|2 是一对傅里叶变换： deRfSfj22)()(dfefSRfj22)()(2.3.2 功率信号的自相关函数n定义定义：n性质性质：u当 = 0 时，R(0) 等于信号的平均功率：uR()也是 的偶函数；u R() 和 功率谱密度 P(f ) 是一对傅里叶变换： 2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTRPdttsTRTTT2/2/2)(1lim)0(2/2/000)()(1)(TTdttstsTRdfefPRfj2)()(
38、deRfPfj2)()( 【2-8】试求周期性余弦信号 s(t) = Acos(0t+ ) 的自相关函数 、功率谱密度和平均功率。例例解解对上式作傅里叶变换，则可得此余弦信号的:0000/2/2200/2/20011( )( ) ()cos()cos()TTTTRs t s tdtAttdtTT00022 /fT利用积化和差三角函数公式，上式变为:2/2/00022/2/0020000)22cos(121cos2)(TTTTdttTAdtTAR02cos2A0022)(AP200( )4AP fffff2(0)2APR信号的:2.3.3 能量信号的互相关函数n定义定义：n性质性质：u R12(
39、 )和时间 t 无关，只和时间差 有关；u R12( ) 和两个信号相乘的前后次序有关：u 互相关函数R12( ) 和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换： ,)()()(2112dttstsR)()(1221 RR)()()(2*112fSfSfSdeRfSfj21212)()(dfefSRfj21212)()(互能量谱密度的定义:2.3.4 功率信号的互相关函数n定义定义：n性质性质：u若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数可以写为:2/2/2112,)()(1lim)(TTTdttstsTRu R12()和时间 t 无关，只和时间差 有关；u R12() 和两个信号相乘的前后次序有关：)()(1221 RR2/2/2101200,)()(1)(TTdttstsTRuR12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：互功率谱定义：2*112)()(nnCCCnnfjeCR021212)(dfenfffCRnfj0201212)()()(
