1、2021年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*招生专业与代码：网络空间安全（0839）考试科目名称及代码：抽象代数 845 （A 卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）。1. 设是两个有限集合，则到的映射有_个。2. 在5次对称群中, (134)(135) = 。3. 8阶循环群的生成元有 个。4. 设是35阶循环群，写出的非平凡子群_。5. 在多项式环中，_。2、 判断题（在题后的括号内正确的画“”，错误的画“”，填错或未填者，该小题无分。共5小题，每小题4分，共20分）。1. 非交换群的阶至少为6。 ( ) 2
2、. 每个群必存在非平凡的子群。 ( ) 3. 整数环的自同构只有恒等自同构。 ( ) 4. 域的有限可分扩张必为单扩张。 ( ) 5. 对于任何正整数，含有个元素的有限域都存在。 ( ) 3、 问答题（共2小题，每小题15分，共30分）。1 (15分) 分别写出群、环和域的定义，并各举一个例子。2 (15分) 构造一个4元域，并指出它的加法和乘法运算规则。四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。1. (15分) 设是正整数，证明：满足方程的复数的集合在通常乘法下是一个阶循环群。2. (15分) 决定环的单位群，并证明此环为整环但不是域。五、计算题（共3小题，第1、2小题15分，第3小题20分，共50分）。1(15分) 设，运用广义欧几里德除法求整数使得。2. (15分) 设是有理数域上多项式的一个实根。 (1) 证明是在上的一组基；(10分) (2) 将表示成的-线性组合。(5分)3 (20分，每小题10分) (1) 解如下含参数的同余方程组:(2) 当时，求出上述同余方程组的最小正整数解。考试科目： 抽象代数 共 2 页，第 2 页
