1、第第 1页页 共共 2 2 页页科目代码科目代码:847请在答题纸（本）上做题请在答题纸（本）上做题, 在此试卷或草稿纸上做题无效！在此试卷或草稿纸上做题无效！山东科技大学山东科技大学 2019 年全国硕士学位研究生招生考试年全国硕士学位研究生招生考试高等代数试卷高等代数试卷一、 证明题 （10 分） 证明： 如果( ( ), ( )1,( ( ), ( )1f x g xf x h x， 那么( ( ), ( ) ( )1f x g x h x.二、计算题（10分）计算n级行列式：12222122221212111nnnnnnnnnnnxxxxxxDxxxxxx.三、证明题（10 分）设是欧
2、式空间V的一个变换,对任意的V, 有,.证明: 1.是线性变换; 2. 是正交变换.四、证明题（10 分）已知矩阵23A,32B, 且202040202AB, 证明2)()(BrAr.五、证明题（10 分）设A为mn矩阵,B为nm矩阵. 证明:. |ABEBAEnmmn六、 证明题 （10 分） 判定n元二次型211221)() 1(),(niiniinxxnxxxf是否正定?七、证明题（10 分）设向量可由向量组r,21线性表示, 但不能由向量组121,r线性表示. 证明:r不能由向量组121,r线性表示.八、证明题（10 分）设A,B为n阶实方阵, 已知A,B,BA都是正定矩阵.证明:11
3、 AB是正定矩阵.第第 2页页 共共 2 2 页页科目代码科目代码:847请在答题纸（本）上做题请在答题纸（本）上做题, 在此试卷或草稿纸上做题无效！在此试卷或草稿纸上做题无效！九、证明题（10 分）设是实数域R上n维线性空间V的线性变换,R. 证明:1.V的子集0)(nVW是V的子空间; 2.W为不变子空间.十、证明题（20 分）1. 设,是欧氏空间(标准内积)nR中的单位列向量,TA, 且0,证明:是A的一个特征向量;2. 设nnPDCBA, 对nnPX, 令XDCXABXX)(,证明:是上的线性变换.十一、 综合题 （20 分） 在 nxP中， 多项式).()().(111niiixxxxf(ni, 2 , 1), 其中n,.,21是互不相同的数.1. 证明：nfff,21是一组基;2. 在 1.中，令n,.,21是全体n次单位根，求由基12, 1nxxx到基nfff,.,21的过渡矩阵。十二、证明题（20 分）设M是n维欧氏空间(所有形如Tnxxxx),(21,Tnyyyy),(21的实向量所构成的实线性空间)的一个非空子集.M上内积为iiniyxyx1,. 令, 0,|MyyxRxMn.1. 证明:M是nR的一个子空间;2. 证明: 若M为的一个线性子空间, 则可表示为M与M的直和. 即MMRn.
