1、 二元一次方程组（优生加练）二元一次方程组（优生加练） 一、单选题一、单选题 1若关于 x、y 的方程组 的解为整数，则满足条件的所有 a 的值的和为（ ） A6 B9 C12 D16 【答案】C 【解析】【解答】解：对方程组 ， 2，得， 关于 x、y 的方程组 的解为整数， a-2=1，2，4，即 a=2、0、1、3、4、6。 满足条件的所有 a 的值的和为2+0+1+3+4+6=12 故答案为：C 【分析】先把 a 看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出 a 的值，进而可得答案 2自行车的轮胎安装在前轮上行驶 3000 千米后报废，安装在后轮上，只能行驶 2000 千米，为了行
2、驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（ ） A2300 千米 B2400 千米 C2500 千米 D2600 千米 【答案】B 【解析】【解答】解：设每个轮胎报废时的总磨损量为 k， 则安装在前轮每行驶 1km 的磨损量为, 则安装在前轮每行驶 1km 的磨损量为, 设一对新轮胎交换位置前走了 x 千米，交换位置后走了 y 千米， , 则 , x+y=2400， 故答案为：B. 【分析】设每个轮胎报废时的总磨损量为 k，则安装在前轮每行驶 1km 的磨损量为, 则安装在前轮每行驶 1km 的磨损量为, 设一对新轮
3、胎交换位置前走了 x 千米，交换位置后走了 y 千米，根据总磨损量分别列方程，联立求解即可. 3利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图所示的方式放置量的数据如图，则桌子的高度等于（ ） A B C D 【答案】B 【解析】【解答】解：设长方体木块长 x cm、宽 y cm，桌子的高为 a cm， 由题意得： ， 两式相加得：2a=150， 解得：a=75， 故答案为：B 【分析】设未知数，找出合适的等量关系，虽然要设三个未知数，但在解方程组时可以消去其中两个未知数，变成一元一次方程 4小明在拼图时，发现 8 个一样大小的长方形，恰好可以
4、拼成一个大的长方形如图 1；小红看见了，说：“我也来试一试”结果小红七拼八凑，拼成了如图 2 那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ） A135cm2 B108cm2 C68cm2 D60cm2 【答案】A 【解析】【解答】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形 其边长为 3cm 设每个小长方形的长为 xcm，宽为 ycm， 根据题意得： ， 解得： ， 故答案为：A 【分析】先求出其边长为 3cm，再得到，最后计算求解即可。 5我国古代数学家张丘建在张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题.用 100 个钱买 100
5、只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ） A87 B84 C81 D78 【答案】A 【解析】【解答】解：设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x、y、z 只，由题意得： 有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解. 令3得：7x+4y=100； 所以 令 =t, (t 为整数)所以 x=4t 把 x=4t 代入 7x+4y=100 得到：y=25-7t 易得 z=75+3t 所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t A.当 z=87 时,t=4,则 x=16,y=3,不符合实际; B.当 z=84 时,t=3,则
6、x=12,y=4,符合实际; C.当 z=81 时,t=2,则 x=8,y=11,符合实际; D.当 z=78 时,t=1,则 x=4,y=18,符合实际; 故答案为：A. 【分析】根据题意列出三元一次方程组,根据方程组的解再结合实际题意一一验证即可. 6已知 和 的方程组 的解是 ，则 和 的方程组 的解是 A B C D 【答案】D 【解析】【解答】解：方程组 变形为 ， 和 的方程组 的解是 ， ， 解得 故答案为： 【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元法替代的方法来解决。 7如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的
7、面积是（ ） A16 B44 C96 D140 【答案】B 【解析】【解答】设小长方形的长为 xcm，宽为 ycm，依题意得： 解得： 故小长方形的长为 8cm，宽为 2cm，S阴影部分=S四边形ABCD6S小长方形=1410628=44（cm2） 故答案为：B 【分析】设小长方形的长为 xcm，宽为 ycm，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中阴影部分的面积 8小江去商店购买签字笔和笔记本(签字笔的单价相同，笔记本的单价相同)若购买 20 支签字笔和15 本笔记本，则他身上的钱会不足 25 元；若购买 19 支签字笔和 13 本笔记本，则他身上
8、的钱会剩下15 元若小江购买 17 支签字笔和 9 本笔记本，则( ) A他身上的钱会不足 95 元 B他身上的钱会剩下 95 元 C他身上的钱会不足 105 元 D他身上的钱会剩下 105 元 【答案】B 【解析】【解答】解设签字笔单价为 a ,笔记本的单价为 b,他身上带的钱为 m, 则 m=20a+15b-25, m=19a+13b+15; 20a+15b-25=19a+13b+15, 得 a+2b=40, 则 17a+9b=19a+13b-2a-4b=m-15-2(a+2b)=m-15-80=m-95; 故答案为：B 【分析】本题需设几个未知量，但设而不求，用整体变形和代换求出具体数据
9、，这是很实用的一种方法。 9利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度首先按图方式放置，再交换两木块的位置，按图方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是( ) A84cm B85cm C86cm D87cm 【答案】B 【解析】【解答】设长方形的长为 a, 宽为 b, 高为 h, 由图得：h-b+a=90, 由图得：h+b-a=80, 所以：h-b+a+h+b-a=90+80, 2h=170, h=85cm, 故答案为：B. 【分析】设长方形的长为 a, 宽为 b, 高为 h, 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出 h 的长。 10对于代数式 ax22bxc，当 x 取1 时，代数式的值为
10、 2，当 x 取 0 时，代数式的值为 1，当 x取 3 时，代数式的值为 2，则当 x 取 2 时，代数式的值是（ ） A1 B3 C4 D5 【答案】A 【解析】【解答】解：将 x=-1，x=0，x=3,分别代入代数式， 可得，计算得出 a=b=-，c=-1， 代数式为-x2+x+1， 将 x=2 代入求出代数式，得-4+2+1=1. 故答案为：A. 【分析】将 x 值代入代数式，得出三元一次方程组，求出 a、b、c 的值，再将 x=2 代入代数式求解。 二、填空题二、填空题 11已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 那么关于 、 的二元一次方程组 的解为 【答案】 【解析】【解答】解：
11、关于 x，y 的二元一次方程组 的解为 ， 把关于 m，n 满足二元一次方程组 看作关于（m+n）和（m-n）的二元一次方程组， ， 解得 ， 故答案为： 【分析】将 m+n 看成 x，将 m-n 看成 y，得到二元一次方程，解得答案。 12若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 【答案】 【解析】【解答】解： 又元一次方程组 与 有相同的解 解得， 故答案为： 【分析】根据题意可得 ，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。 13若方程组 的解是 ，则方程组 的解是，x ，y 【答案】-1；-3 【解析】【解答】解：方程组的解是 m:ctrlprm:r m:ctrlprm:r 由-
12、，可得 2(a1-a2)=c1-c2 方程组， 由-，可得 (a1-a2)x=(a1-a2)-(c1-c2) (a1-a2)x=(a1-a2)-2(a1-a2)=-(a1-a2) x=-1 把 x=1 代入，得 -a1+y=a1-c1 y=2a1-c1 由，可得 y=-3 x=-1，y=-3. 【分析】利用加减消元法，对两个方程组进行变形整理，再整体代换. 14为迎接建国 70 周年，某商店购进，三种纪念品共若干件，且，三种纪念品的数量之比为 8：7：9，一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200 件，且，三种纪念品的比例为 9：10：10，又一段时间后，根据销售情
13、况，再次补充三种纪念品，库存总数景比第二次多 170 件，且，三种纪念品的比例为 7： 6： 6，已知第一次三种纪念品总数盘不超过 1000 件，则第一次购进种纪念品 件. 【答案】320 【解析】【解答】解：设第一次购进后库存总数量为 m 件，第一次购进 A 种纪念品 8x 件，则第一次购进 B 种纪念品 7x 件，第一次购进 C 种纪念品 9x 件，设第二次购进后 A 种纪念品 9y 件，则第二次购进后 B 种纪念品 10y 件，第二次购进后 C 种纪念品 10y 件，设第三次购进后 A 种纪念品 7z件，则第三次购进后 B 种纪念品 6z 件，第三次购进后 C 种纪念品 6z 件，依题意
14、有 ， 则 24x=29y-200=19z-370=m， 0m1000， 0 x41，6y41，19z72， x，y、z 均为正整数， 1x41，7y41，20z72， 24x=29y-200 化为：x=y-8+， 5y-8=24n（n 为正整数） ， 5y=8+24n=8（1+3n） ， y=8k（k 为正整数） ，5k=3n+1， 78k41，n=k+， 1k5，12k-19， 2k-1 必为奇数且是 3 的整数倍. 2k-1=3 或 2k-1=9， k=2 或 k=5， 当 k=2 时，y=16，x=11，z=33（舍） k 只能为 5， y=40，x=40，z=70. 8x=840=3
15、20. 答：第一次购进 A 种纪念品 320 件. 故答案为：320. 【分析】设第一次购进后库存总数量为 m 件，第一次购进 A 种纪念品 8x 件，则第一次购进 B 种纪念品 7x 件，第一次购进 C 种纪念品 9x 件，设第二次购进后 A 种纪念品 9y 件，则第二次购进后 B种纪念品 10y 件，第二次购进后 C 种纪念品 10y 件，设第三次购进后 A 种纪念品 7z 件，则第三次购进后 B 种纪念品 6z 件，第三次购进后 C 种纪念品 6z 件，依题意有 ，由于 0m1000，求出 x、y、z 的正整数解即可. 15春节即将来临时，某商人抓住商机购进甲、乙、丙三种糖果，已知销售甲
16、糖果的利润率为10%，乙糖果的利润率为 20%，丙糖果的利润率为 30%，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为 时，商人得到的总利润率为 22%；当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为 时，商人得到的总利率为 20%.那么当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为 时，这个商人得到的总利润率为 . 【答案】18% 【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种糖果的进价分别为 a、b、c，丙糖果售出重量为 x， 由题意得： ，解得： ， 所以 . 故答案为：18%. 【分析】设甲、乙、丙三种糖果的进价分别为 a、b、c，丙糖果售出重量为 x，根据利润率公式列出关于 a、b、c、 x 的方程组，把 a 看成常数，解方程组分别
17、把 b、c 用 a 表示，当售出的甲、乙、丙糖果重量之比为 5: 1: 1 时，再列式代值化简即可得出结果. 16课外活动中，80 名学生自由组合分成 12 组，各组人数分别有 5 人、7 人和 8 人三种情况，设 5人一组的有 x 组，7 人一组的有 y 组，8 人一组的有 z 组，有下列结论： ； ； ；5 人一组的最多有 5 组. 其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上） 【答案】 【解析】【解答】解：依题意，得： ， 结论正确； ，即 ， ， 结论正确； ，即 ， ， 结论正确； ， ，且 ， ， 均为正整数， 为 2 的倍数， 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ， 人一
18、组的最多有 5 组， 结论正确. 故答案为：. 【分析】根据 80 名学生自由组合分成 12 组，即可得出关于 x ，y ，z 的三元一次方程组，结论正确；利用方程组中的方程7方程组中的方程 ，化简后可得出结论正确；利用方程组中的方程方程组中的方程 5 ，化简后可得出结论正确；由结论结合 x ，y ，z 均为正整数，可得出 z 为 2 的倍数，分别代入 ， 和 即可得出 5 人一组的最多有 5组，结论正确. 三、解答题三、解答题 17某工厂的一条流水线匀速生产出产品，在有一些产品积压的情况下，经过试验，若安排 9 人包装，则 5 小时可以包装完所有产品；若安排 6 人包装，则需要 10 小时才
19、能包装完所有产品假设每个人的包装速度一样，现要在 2 小时内完成产品包装的任务，问至少需要安排多少人？ 【答案】解：设原有产品 m，每个人的包装速度为 x，每小时流水线生产的产品为 y. 则 ，解得： 若需要 n 人刚好完成，则 2nx=m+y， 至少需要 18 人 【解析】【分析】 设原有产品 m，每个人的包装速度为 x，每小时流水线生产的产品为 y,根据两种方法包装这批产品，总量不变列出方程组，进而即可求出. 18甲、乙两人共同解方程组 解题时由于甲看错了方程中的 a，得到方程组的解为 ；乙看错了方程中的 b，得到方程组的 ，试计算 a2019+( b)2020的值 【答案】解：将 代入方
20、程组中的 4xby2 得：12b2，即 b10； 将 代入方程组中的 ax5y15 得：5a2015，即 a1； 当 a1，b10 时，a2019+( b)2020-1+1=0 【解析】【分析】将 代入方程组的第二个方程，求出 b 的值；将 代入方程组的第一个方程，求出 a 的值；将所求的 a、b 的值代入 a2019+( b)2020，计算即可 19已知关于 x、y 的方程组 ，甲由于看错了方程中的 a，得到方程组的解为 ；乙由于看错了方程中的 b，得到方程组的解为 求原方程组的正确解 【答案】解：由题意可得： 把 代入得： 解得： ， 把 代入得： 解得： 原方程组为 ， 解这个方程组得：
21、 【解析】【分析】首先根据甲看错方程中的 说明甲所解出的结果满足方程，所以把 代入方程可得： 即可求出 ；而乙看错方程中的 说明乙所解出的结果满足方程，所以把 代入方程可得： 即可求出 a ； 20李老师让全班同学们解关于 x、y 的方程组 （其中 a 和 b 代表确定的数） ，甲、乙两人解错了，甲看错了方程中的 a，解得 ，乙看错了中的 b，解得 ，请你求出这个方程组的符合题意解 【答案】解：由题意可知， 把 代入方程中，得 b+4=7，解得 b=3； 把 代入方程中，得-2+a=1，解得 a=3； 把 代入方程组，可得 ， 解得： ， 原方程组的解应为 【解析】【分析】把甲的解代入方程求出
22、 b 的值，把乙的解代入求出 a 的值，确定出方程组，求出正确的解即可 214 月 9 日上午 8 时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名 岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄. 【答案】解：设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁， 根据题意得： 解得： 答：今年妹妹 6 岁，哥哥 10 岁 【解析】【分析】设今年妹妹的年龄为 x 岁，哥哥的年龄为 y 岁，根据题意可得等量关系式“妹妹的年龄+哥哥的年龄=16，3（妹妹的年龄+2）+（哥哥的年龄+2）=34+2”，据此列方程组求解即可. 2
23、2解关于 x、y 的方程组 时，甲符合题意地解得方程组的解为 ，乙因为把 c 抄错了，在计算无误的情况下解得方程组的解为 ，求 a、b、c 的值 【答案】解：把 代入方程 ，得： ， 解得： 把 分别代入方程 ，得： ， 解得 所以， 故答案为： 【解析】【分析】把甲所得解代入第二个方程求解，即可得到 c 的值，将两人所得的解都代入第一个方程，即可得到关于 a、b 的方程组，求解即可得到 a、b 的值. 四、综合题四、综合题 23已知关于 x,y 的方程组 的解是 （1）若把 x 换成 m,y 换成 n，得到的关于 m,n 的方程组为 ，则这个方程组的解是 . （2）若把 x 换成 2x,y
24、换成 3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 . （3）根据以上的方法解方程组 【答案】（1） （2）； （3）解：将方程组 ，变形为 ，解得 ， 方程组 的解为 【解析】【解答】 （1）关于 x,y 的方程组 的解是 ， 若把 x 换成 m，y 换成 n，得到的关于 m,n 的方程组为 ，则这个方程组的解是 故答案为：4，-6. （2） 若把 x 换成 2x,y 换成 3y，得到方程组 ，则 ， 解之：. 【分析】 （1）利用已知方程组的解，将 x 换成 m，y 换成 n，可得到 m 的值就是 x 的值；n 的值就是y 的值，即可得到关于 m，n 的方程组的解. （2）若将 x 换成
25、 2x，y 换成 3y，可知 x 的值就是 2x 的值；y 的值就是 3y 的值，由此可得到方程组的解. （3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出 x，y 的值. 24规定：形如关于 x,y 的方程 x+ky=b 与 kx+y=b 的两个方程互为共轭二元一次方程，其中 k1.由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组. （1）方程 3x+y=5 的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于 x,y 的方程组 为共轭方程组，则 a= ，b= . （3）若方程 x+ky=b 中 x,y 的值满足下列表格： x -1 0 y 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是 . 【答案】（1）x+3y=5
26、（2）1；1 （3） x+y=-1 【解析】【解答】 （1）方程 3x+y=5 的共轭二元一次方程是 x+3y=5， 故答案为 x+3y=5. （2）由题意得， 且 1-a1,2a-21 解得 a=1，b=1， 故答案为 1，1. （3）方程 x+ky=b 中，当 x=-1 时，y=0；当 x=0 时，y=2. ，解得 这个方程的共轭二元一次方程是- x+y=-1 故答案为- x+y=-1. 【分析】(1)根据共轭二元一次方程的定义作答即可； (2)根据共轭二元一次方程定义建立关于 a、b 的二元一次方程组求解，结合各项系数不等于 1，即可解答； (3)根据列表，利用待定系数法求出 k、b 值
27、，再根据共轭二元一次方程的定义作答即可. 25数轴上有两个动点 M，N，如果点 M 始终在点 N 的左侧，我们称作点 M 是点 N 的“追赶点”如图，数轴上有 2 个点 A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点 M 是点 N 的“追赶点”，且M，N 表示的数分别为 m，n （1）由题意得：点 A 是点 B 的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB 表示线段 AB 的长，以下相同)；类似的，MN= （2）在 A，M，N 三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含 m 的代数式来表示 n （3）若 AM=BN，MN= AM，求 m 和 n 值 【答案】（1）nm （2）解：分三种情况讨论： M 是 A、N 的中点， n+(-3)=2m， n=2m+3； A 是 M、N 点中点时，m+n=-32， n=6m； N 是 M、A 的中点时，-3+m=2n， n ； （3）解：AM=BN， |m+3|=|n1| MN AM， nm |m+3|， 或 或 或 ， 或 或 或 nm， 或 或 【解析】【分析】 （1）由两点间距离直接求解即可； （2）分三种情况讨论：M 是 A、N 的中点，n=2m+3；当 A 点在 M、N 点中点时，n=6m；N 是 M、A 的中点时，； （3）由已知可得|m+3|=|n1|，nm=|m+3|，分情况求解即可
