1、第3章 整式的乘法（知识点组合卷）知识点1 幂的运算幂的运算性质（基础）：l amanamn （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。2）不能疏忽指数为1的情况。3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。典例1（2019新蔡县期末）若2x=5，2y=3，则22x+y=_【答案】75【详解】2x=5，2y=3，22x+y=（2x）22y=523=75，故答案为：75典例2（2017洪泽县期中）已知，则x的值为_.【
2、答案】6【解析】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：，则有3x+5=23，解得x=6.故答案是：6.典例3（2018台州市期末）已知，则n的值是_【答案】5【解析】详解:，n+3=8，n=5.故答案为：5.l (am)namn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。典例1（2018长春市期末）若，则的值为_.【答案】18【详解】xm=2，xn=3，xm+2n=xmx2n=xm（xn）2=232=29=18；故答案为：18典例2（2019中山市期末）已知m+2n+20，则2m4
3、n的值为_【答案】【详解】m+2n+20，m+2n=-2，2m4n=2m22n=2m+2n=2-2=.故答案为：典例3（2019襄樊市期末）若，则的值是_【答案】32【详解】8x16y（23）x（24）y23x24y23x4y2532故答案为：32l (ab)nanbn （n为正整数） 积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘典例1（2019富阳市期末）（2）2018（ ）2019 =_。【答案】【详解】（2）2018（ ）2019 =（2）（ ）2018（ ）=1（ ）=.故答案为：.典例2（2019临潼区期末）若，则_【答案】20【详解】，.故答案为：20.典例3（2017成都市期末）
4、（2ab2）3=_【答案】8a3b6【详解】.故答案为：.l am anamn （a0，m、n都是正整数，且mn） 同底数幂相除，底数不变，指数相减【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，如x8x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。l a01 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l典例1（2018邯郸市期末）已知4x=2x+3，则x=_328n-1=2n，则n=_【答案】3 2 【解析】4x=22x，4x=2x+
5、3，可得：2x=x+3，解得：x=3；328n-1=2523n-3，328n-1=2n，可得：5-3n+3=n，解得：n=2.典例2（2017太仓市期末）已知，则_【答案】100【详解】由已知可得2x-3y=2，所以=102x103y=102x-3y=102=100.故答案为：100.典例3（2018深圳市期末）已知3a=5，9b=10，则3a-2b=_.【答案】【详解】9b=10，32b=10，3a=5，3a-2b=3a32b=，故答案为：.知识点2 整式乘法n 单项式单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作
6、为积的一个因式单项式乘法易错点：典例1（2018江苏中考真题）计算： x（2x2）3=_【答案】4x7【解析】分析：直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案详解：x（2x2）3=x（8x6）=4x7故答案为：4x7典例2（2019永济市期末）如果单项式22x2my3与23x4yn1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是_.【答案】32x8y6【详解】由题意可得，解得m=2，n=2，则这两个单项式的积为：22x4y323x4y3=32x8y6.故答案为32x8y6.【点睛】本题考查了同类项和同底数幂的乘法，解此题的关键在于根据题意得到两个单项式为同类项，则相应字母的指数相
7、等，求得指数的值，再根据同底数幂的乘法法则求解即可.典例3（2019宝塔区期末）有理数a， b，满足， =_；【答案】6【详解】|a-b-2|+（2a+2b-8）2=0，a-b-2=0，2a+2b-8=0，解得：a=3，b=1，则（-ab）（-b3）（2ab）=a2b5=91=6故答案为：6典例4（2017崇仁县期末）如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn=_【答案】12【解析】 ，n+1=5，m+4=7，解得：m=3，n=4，mn=12故答案为：12n 单项式多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多
8、项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。典例1（2018广西中考真题）已知ab=a+b+1，则（a1）（b1）=_【答案】2【详解】（a1）（b1）= abab+1，当ab=a+b+1时，原式=abab+1=a+b+1ab+1=2，故答案为：2典例2若(x3ax2x2)(8x4)的运算结果中不含x的六次项，则a的值为_【答案】1【详解】解：（x3+ax2-x2）（-8x4）= ，运算结果中不含x6项，(-8a+8)=0，a=1，故答案为：1典例3（2019苏州市
9、期中）计算：2m2(m2+n1)=_【答案】2m4+2m2n-2m2【详解】2m2(m2+n1)= 2m4+2m2n-2m2故答案为：2m4+2m2n-2m2典例4（2019卧龙区期末）若ab2=-6，则-ab(a2b5-ab3-b)的值为_【答案】246【详解】原式=-a3b6+a2b4+ab2=-（ab2）3+（ab2）2+ab2，当ab2=-6时，原式=-（-6）3+（-6）2-6=216+36-6=246，故答案为：246n 多项式多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项
10、都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。典例1（2017宜城市期末）若x2+mxn=（x+2）（x5），则m=_，n=_【答案】 3 10【解析】（x+2）（x5）= x2-3x-10，所以m=-3，n=10.典例 2已知，则_【答案】180.【详解】解：，典例3（2017邵阳市期中）多项式的展开结果中的的一次项系数为3，常数项为2，则的值为_ .【答案】6【解析】详解：（x-m）（x-n）=x2-（m+n）x+mn，由题意得，m+n=-3，mn=2，则m2n+mn2=mn（m+n）=-6，故答案为：-6典例4（2018厦门市期中
11、）（2x23x1）（x+b）的计算结果不含x2项，则b的值为_【答案】【详解】解：原式2x3+2bx23x23bxxb由于不含x2项，2b30，b，故答案为：特殊多项式相乘（考点） 完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2【扩展】扩展一(公式变化)： + +2ab扩展二： + = 2(+ ) - = 4ab扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc典例 1已知xy+95，则代数式x22xy+y225_【答案】9000【详解】xy+95x-y=95x22xy+y225=（x-y）2-25=952-52=（95-5）（95+5）=90100=9000典例2 若，则【答案
12、】22【解析】详解: ，=36-14=22.故答案为：22.典例3 已知， （1）则_；（2）则_【答案】； 【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9，把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13；（a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=典例4 若，则 _.【答案】8【详解】解：可化为，化为原式=32-1=8典例 5若，则 _【答案】【解析】试题解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，当m+n=3，mn=22，原式=32-42=1m-n=1故答案为1 平方差公式：（ab）（ab）a2b2【运用平方差公式注意事项】1.对
13、因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式如：(a3b)(3a-b)，不能运用平方差公式2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误典例1 设S=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1=_【答案】232【详解】S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=(21)(2+1)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=(221)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=2321，故S+1=232，故答案为：
14、232典例2 计算:若，则的值为_.【答案】12【详解】解：(a+1)2(b1)2=(a+1+b-1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+2)a+b=4，ab=1原式=43=12.典例3 计算：2018220172019_【答案】1【详解】原式，故答案为：1典例4，则 _ 【答案】【详解】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，开方得：a+b=10，故答案为：10典例5 计算： =_.（结果中保留幂的形式）【答案】2161【详解】原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（221）（22+1）（24+1）（28+1）=（241）（24+1）（
15、28+1）=（281）（28+1）=2161故答案为：2161巩固训练一、 选择题（共10小题）1（2018龙岩市期末）若，则下列结论正确是（ ）A.abB.C.abD.【答案】B【解析】，故选B.【名师点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.2（2017齐齐哈尔市期中）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）Aa=2，b=3Ba=-2，b=-3Ca=-2，b=3Da=2，b=-3【答案】B【解析】详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+
16、x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B3（2017东营市期中）计算的结果为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得=，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得.故选：D.4（2019腾冲市期末）下列运算正确的是（）A3x+4y=7xy B（a）3a2=a5 C（x3y）5=x8y5 Dm10m7=m3【答案】D【解析】详解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；B、（-a）3a2=-a5，此选项错误；C、（x3y）5=x15y5，此选项错误；D、m10m7=m3，此选项正确；故选：D5（2019青岛市期中）下列运算：a2a3=a6
17、，（a3）2=a6，a5a5=a，（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】详解：a2a3=a5，故原题计算错误；（a3）2=a6，故原题计算正确；a5a5=1，故原题计算错误；（ab）3=a3b3，故原题计算正确；正确的共2个，故选B6（2017南宁市期中）x5（xm）n的计算结果是( )A.xm+n+5B.x5mnC.x5+mnD.【答案】C【详解】x5（xm）n=x5xmn=x5+mn故选：C【名师点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键7（2017日照市期中） ( )A.B.1C.0D.1997【答案】B【解
18、析】根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可得=1.故选：B8（2017金华市期中）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）A.B.C.11D.19【答案】B【解析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，可知x3a-2b=x3ax2b=（xa）3（xb）2，然后整体代入即可得原式=3342=.故选：B9（2018新余市期末）已知：，则A16B25C32D64【答案】C【解析】，.故选C.10（2018聊城市）如果a=355，b=444，c=533，那么a、b、c的大小关系是（）AabcBcbaCbacDbca【答案】C【详解】a=355=（35）11=24311，b=444=（44）1
19、1=25611，c=533=（53）11=12511，256243125，bac故选C【名师点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m8（2018高新区期末）的个位数是A.4B.5C.6D.8【答案】C【详解】3（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）（232+1）+1=264-1+1=264，21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，644=16，264个位上数字为6，即原式个位上数字为6故选：C【名师点睛】本
20、题考核知识点：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键9（2019长兴县期中）下面是一位同学做的四道题：.其中做对的一道题的序号是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解答】.故错误.故错误.正确. 故错误.故选C.【点评】考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.10（2018邢台市期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A，B，4C3，D3，4【答案】A【详解】根据题意得，a，b的值只要满足即可，A.-3+（-4）=-7，-3（-4）=12，符
21、合题意；B.-3+4=1，-34=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1，3（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7，34=12，不符合题意.故答案选A.【名师点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.11（2018河东区期末）（x2mx+6）（3x2）的积中不含x的二次项，则m的值是（）A.0B.C.D.【答案】C【解析】试题解析：（x2mx+6）（3x2）=3x3（2+3m）x2+（2m+18）x12，（x2mx+6）（3x2）的积中不含x的二次项，2+3m=0，解得，m=，故选C12（2018松江区期中）若的计算结果中，不含项，则的值是（ ）A.0B.7C.-
22、7D.【答案】C【详解】.乘积中不含项，7+q=0q=-7.所以C选项是正确的.【名师点睛】考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理.13（2018唐山市期末）下列算式能用平方差公式计算的是( )A.(2a+b)(2ba)B.(2x1)(2x1)C.(3xy)(3x+y)D.(mn)(m+n)【答案】D【解析】详解：A选项（2a+b）(2b-a)不符合平方差公式，故A错；B选项两个整式中各项均相同，不符合平方差公式，故B错；C选项两个整式中各项均互为反项，不符合平方差公式，故C错；D选项中两个整式中一项是相同项，另一项互为相反项，符合平方差公式，故D正确.故选D
23、.14.（2018临沭县期末）已知(mn)236，(mn)24 000，则m2n2的值为( )A.2 016B.2 017C.2 018D.4 036【答案】C【解析】，.故选C.15.（2018唐山市期中）已知x+=6，则x2+=（）A.38B.36C.34D.32【答案】C【详解】把x+=6两边平方得：（x+）2=x2+2=36，则x2+=34，故选：C16.（2019莲湖区期末）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则ab=（）A1BC1D【答案】C【解析】详解：a+b=2，ab=，（a+b）2=4=a2+2ab+b2，a2+b2=，（a-b）2=a2-2ab+b2=1，a-b=1，故选
24、：C17.（2018东莞市期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为( )A.37.5B.65C.130D.222.5【答案】D【分析】先根据长方形的周长为13，面积为10，可求出a+b和ab的值，然后把a3b+ab3提取公因式ab，再把剩余的因式根据完全平方公式配方，把a+b和ab的值代入计算即可.【详解】a+b=，ab=10，a3b+ab3=ab（a+b）22ab=10（20）=222.5.故选：D【名师点睛】本题考查了长方形的面积和周长公式，因式分解，配方法的应用及整体代入法求代数式的值，熟练掌握因式分解及配方法是解答本题的关键.二、 填空题（共5小
25、题）18（2019荔湾区期末）已知am=3，an=2，则a2mn的值为_【答案】4.5【解析】详解：am=3，a2m=32=9，a2m-n=4.5故答案为：4.519（2018桂林市期中）计算： x（2x2）3=_【答案】4x7【解析】详解：x（2x2）3=x（8x6）=4x7故答案为：4x720（2018聊城市期末）已知2x+3y-5=0，则9x27y的值为_【答案】243【详解】2x+3y5=0，2x+3y=5，9x27y=32x33y=32x+3y=35=243.故答案为：243.【名师点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.21（2018武威
26、市期末）计算：（2）2016（）2017=_【答案】【解析】（2）2016（ 2017=（）2016（ 2016（=（）（ 2016（= (1)2016=1=故答案为：.22（2019慈利县期中）若2018m6，2018n4，则20182mn_【答案】9【详解】20182mn（2018m）22018n6243649，故答案为9.【名师点睛】本题主要考查了幂的运算法则，解本题的要点在于利用已知条件求出答案.23（2018河南省郑州一中汝州实验中学初一期中）若关于a，b的多项式3(a22abb2)(a2mab2b2)中不含有ab项，则m_【答案】-6【解析】原式=3a26ab3b2a2mab2b2
27、=2a2(6+m)ab5b2，由于多项式中不含有ab项，故(6+m)=0，m=6，故答案为：6.24（2017抚宁区期末）已知a是-2的相反数，且|b+1|=0，则-3a2（ab2+2a）+4a（-ab）2（-4a）的值为_【答案】5【解析】3a2(ab22a)4a(ab)2(4a)= = a是2的相反数，且|b1|0，a=2，b=-1，原式=-1+6=5.25（2018宿迁市期中）已知单项式3x2y3与5x2y2的积为mx4yn，那么mn_【答案】20.【详解】解：3x2y3（5x2y2）15x4y5，mx4yn15x4y5，m15，n5mn15520故答案为：20【名师点睛】本题考查单项式
28、乘以单项式，解题关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型26（2019临沂市期末）若x216x+m2是一个完全平方式，则m=_；若m=9，则m2+=_【答案】8 83 【解析】详解：x216x+m2是完全平方式，16x=28x， 解得m=8； 解得 故答案为： 27（2018港南区期末）已知（x+y）225，（xy）29，则x2+y2_【答案】17【详解】根据（x+y）2=25，x2+y2+2xy=25;（xy）2=9， x2+y2-2xy=9，所以x2+y2=17.三、解答题（共3小题）28（2019丽水市期末）已知x2m2，求(2x3m)2(3xm)2的值【答案】14【解析】= =3
29、2-18=1429（2018岳阳市期中）已知 求的值， 若值【答案】;56 .【详解】解：a2（am）n=a2amn=a2a2=a4，当a= 时，原式=（）4=；（-3x3n）2-4（-x2）2n=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2，当x2n=2时，原式=923-422=72-16=56【名师点睛】此题主要考查幂的乘方、同底数幂的运算，要熟练且灵活掌握30（2018滁州市期中）已知，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值；【答案】（1）-84；（2）25；（3）【解析】详解：因为ab7，所以ba7.则：(1)ab(ba)12784；(2)(ab)22ab(7)22(12)25
30、；(3)1.31（2017昌平区期中）已知，求的值【答案】3，代入原式32（2019深圳市期中）先化简，再求值：已知代数式化简后，不含有x2项和常数项.（1）求a、b的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）-6.【详解】解：原式=2ax2+4ax-6x-12-x2-b=，代数式（ax-3）（2x+4）-x2-b化简后，不含有x2项和常数项，2a-1=0，-12-b=0， ， ；(2) 解：a= ，b=-12，（b-a）（-a-b）+（-a-b）2-a（2a+b）=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2-ab=ab=（-12）=-6故答案为：（1）a= ，b= -12；（2）-6.【名师点睛】本题考查整式的混合运算和求值，解题的关键是正确运用整式的运算法则进行化简20
