1、 分式（优生加练）分式（优生加练） 一、单选题一、单选题 1若 的值为 ,则 的值是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】由题意得： ，则 = . 故答案为：C. 【分析】利用整体思想进行求解即可. 2商家常将单价不同的 A，B 两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B 两种糖的总价与 A，B 两种糖的总质量的比现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的 A 种糖和 B 种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的 A 种糖和 B 种糖混合而成的“什锦糖”乙若 B 种糖比A 种糖的单价贵 40 元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵 5 元/千克，则 A
2、 种糖的单价为( ) A50 元/千克 B60 元/千克 C70 元/千克 D80 元/千克 【答案】B 【解析】【解答】解：设 A、B 两种糖的单价为 x、y, “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是 m, “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是 n, “什锦糖”甲单价为 a, “什锦糖”甲单价为 b, 则： , 把 y=40+x 代入上式解得：x=60. 故答案为：B 【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出 x 即可。 3已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（ ） A B C D 【答案
3、】A 【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 2（ ）18， 9， . 故答案为：A. 【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案. 4已知公式 （ ） ，则表示 的公式是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】【解答】解 ： ，, ，; 故答案为 ：D。 【分析】将方程的右边利用异分母分式的加法法则通分计算，然后根据两内项之积等于两外项之积去分母，再移项合并同类项，再根据等式的性质，方程的两边都除以(R2-R)即可得出答案。 5张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+ （x0）的最小值是 2”其推导方法如
4、下：在面积是 1 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ，矩形的周长是 2（x+ ） ；当矩形成为正方形时，就有 x= （00） ，解得x=1，这时矩形的周长 2（x+ ）=4 最小，因此 x+ （x0）的最小值是 2模仿张华的推导，你求得式子 （x0）的最小值是（ ） A2 B1 C6 D10 【答案】C 【解析】【解答】解：x0， 在原式中分母分子同除以 x， 即 =x+ ， 在面积是 9 的矩形中设矩形的一边长为 x，则另一边长是 ， 矩形的周长是 2（x+ ） ； 当矩形成为正方形时，就有 x= ， （x0） ， 解得 x=3， 这时矩形的周长 2（x+ ）=12 最小， 因此
5、x+ （x0）的最小值是 6 故答案为：C 【分析】因为题中的已知解释了的意义，所以可以按照这个解释将进行化简，可得，由此可知该矩形的面积应为 9，两边长分别为 x、，因为面积一定的矩形，当是正方形时，其周长最小，由此可知，周长是两边的和乘以 2，即可求出最小值. 6若 + = ，则 + 的值为（ ） A0 B1 C1 D无法计算 【答案】C 【解析】【解答】解：由 + = = 得到（x+y）2=xy，即 x2+y2=xy， 则原式= =1 故答案为：C 【分析】先将所给分式方程化简得到：x2+y2=xy，再将方程两边同时除以 xy 即可求得所给式子的值. 7用甲乙两种饮料按照 x：y(重量比
6、)混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每 500 克 5元，乙每 500 克 4 元。现甲成本上升 10%，乙下降 10%，而新饮料成本恰好保持不变，则 x：y= 。 A4：5 B3：4 C2：3 D1：2 【答案】A 【解析】【解答】根据题意可知：5x+4y=5.5x+3.6y， 0.5x=0.4y， x：y=4：5 故选 A 【分析】根据原来两种饮料成本是：甲每 500 克 5 元，乙每 500 克 4 元现甲成本上升 10%，乙下降 10%，而新饮料成本恰好保持不变，继而列方程求解即可 8If m=2，then =( ) A-2 B-1 C1 D2 【答案】D 【解析】【解答】解
7、 ：化简分式， 原式=; 将 m=2 代入得 ：原式=。 故应选 ：D。 【分析】先算乘方，去绝对值符号，去括号；再算乘除法，接着根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，将分式化简，然后再将 m=2，代入计算出结果即可。 9若 xy，则下列分式化简中，正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】解：A. 当 x=1，y=2 时， ， ， ，故不正确； B. 当 x=1，y=3 时， ， ， ，故不正确； C. ，正确； D. 当 x=1，y=2 时， ， ， ，故不正确； 故答案为：C. 【分析】利用分式的基本性质对各选项逐一判断. 10解方程 时，小刚在去分母的过程中，右边的“
8、-1”漏乘了公分母 6，因而求得方程的解为 ，则方程正确的解是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】【解答】解：把 x=2 代入方程 2（2x-1）=3（x+a）-1 中得：6=6+3a-1， 解得：a= ， 正确去分母结果为 2（2x-1）=3（x+ ）-6， 去括号得：4x-2=3x+1-6， 解得：x=-3. 故答案为：A 【分析】由题意把 x=2 代入原分式方程可求得 a 的值，然后按照分式方程的解题步骤“去分母、去括号、解整式方程、检验”即可求解. 二、填空题二、填空题 11已知 ，则 【答案】 【解析】【解答】解： ， x2-x+1=7x， x2+1=8x， x=0，无解，
9、x+=8， , 故答案为： . 【分析】将分式方程化为整式方程，由于 x0，两边同除以 x 可得 x+=8，再将原式分子分母同除以 x2，利用完全平方式变形代值计算即可得出结果. 12当整数 x 时，分式 的值为正整数 【答案】2 或 3 【解析】【解答】解： ， 要使 的值是正整数，则分母 x1 必须是 2 的约数， 即 x11 或 2， 则 x2 或 3， 故答案为：2 或 3 【分析】先把分式 进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出 x-1 的取值，从而得出 x 的值 13如图，在长方形 ABCD 中，AB=10，BC=13E，F，G，H 分别是线段 AB，BC，CD，AD
10、 上的定点现分别以 BE，BF 为边作长方形 BEQF，以 DG 为边作正方形 DGIH若长方形 BEQF 与正方形 DGIH 的重合部分恰好是一个正方形，且 BE=DG，Q，I 均在长方形 ABCD 内部记图中的阴影部分面积分别为 S1，S2，S3若 ，则 S3= 【答案】 【解析】【解答】解：设 DG=a, 则 HD=a, GC=DC-DG=10-a, AE=AB-BE=10-a, AH=AD-HD=13-a, 则 S1=AHAE=(13-a)(10-a), S2=GCGC=(10-a)(10-a), ， (a10), , 70-7a=39-3a, 4a=31, , GC=10-a=10-
11、=, 重合部分的正方形边长是 10-2=, 故答案为：. 【分析】设 DG 为 a, 把 HD、AE、CG 和 AE 用含 a 的代数式表示出来，列出 S1和 S2的表达式， 根据 ，求出 a 值，则 GC 可求，S3的边长可求，则面积也可求。 14如果 对于自然数 成立，则 ， 【答案】； 【解析】【解答】解： ， 由题意可知： ， ， 故答案为： , 【分析】根据分式的加减运算，即可通分计算. 15已知 ，则的 y2+4y+x 值为 【答案】2 【解析】【解答】解：由于 ，则通过变形可得： ， 即 ，y2+4y+x=2 故答案为：2. 【分析】对等式的具体变式过程为：，. 16一组按规律排
12、列的式子： ， ， ， ，（ab0） ，其中第 7 个式子是 ，第 n 个式子是 （n 为正整数） 【答案】 ； （1）n 【解析】【解答】解：分子为 b，其指数为 2，5，8，11，其规律为 3n1， 分母为 a，其指数为 1，2，3，4，其规律为 n， 分数符号为，+，+，其规律为（1）n， 于是，第 7 个式子为 ，第 n 个式子是（1）n 故答案是： ， （1）n 【分析】本题利用分式中分子和分母指数的关系，找规律. 由给出的 a 的指数 1，2，3，容易知道第 n 个指数应为 n. 由分子中 b 的指数 2，5，8可知，第 n 个指数应为 3n-1. 再看分式的符号，凡奇数个时都是负
13、的，凡偶数个是都是正的，可以用表示. 17如图，甲，乙两人分别从 A、B 两地同时出发去往 C 地，在距离 C 地 2500 米处甲追上乙；若乙提前 10 分钟出发，则在距离 C 地 1000 米处甲追上乙。已知，乙每分钟走 60 米，那么甲的速度是每分钟 米。 【答案】100 【解析】【解答】解：设甲到 C 地的距离为 S 米，甲比乙多走 a 米，甲的速度为 x 米/分， 则根据题意得： = = = +15 和式联立得： -15= （S-1000）/X-15=（S-2500）/X 解得：x=100，即甲的速度为 100 米每分 故答案为：100 【分析】根据题意找出相等的关系量，列出分式方程
14、，求出甲的速度. 三、解答题三、解答题 18列方程解应用题： 甲乙两站相距 1200 千米，货车与客车同时从甲站出发开往乙站，已知客车的速度是货车速度的2.5 倍，结果客车比货车早 6 小时到达乙站，求客车与货车的速度分别是多少？ 【答案】解：设货车速度为 x 千米/小时，则客车速度为 2.5x 千米/小时， 根据题意得： = +6， 解得 x=120， 经检验：x=120 是原方程的解且符合实际 2.5120=300（千米/小时） ， 答：货车速度为 120 千米/小时，客车速度为 300 千米/小时 【解析】【分析】首先设货车速度为 x 千米/小时，则客车速度为 2.5x 千米/小时，根据
15、时间可得等量关系：客车行驶 1200 千米的时间=货车行驶 1200 千米的时间+6 小时，根据等量关系列出方程即可 19某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400 米的道路，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务，求原计划每小时修路的长度。 【答案】解：依题意可设原计划每小时修路 米，则有： ，解之得 所以原计划每小时修 50 米。 【解析】【分析】解决本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要验根；先根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程即可. 20如果方程 与 的解相同，求（a-3）2的值. 【答
16、案】解：由关于 x 的方程 ，解得 x=5.25 关于 x 的方程 与 的解相同， ， 解得 a=8. . 【解析】【分析】先求出分式方程 的解，由题意 x 值可代入 ，即可得到关于 a 的关系式，求解 a,将其代入 （a-3）2 ，即可得到答案。 21不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项的系数化为整数 （1） （2） 【答案】解： （1）原式=； （2）原式= 【解析】【分析】 （1）分式的分子分母都乘以 90，可得答案； （2）分式的分子分母都乘以 12，可得答案 四、综合题四、综合题 22 801 班原有卫生区 260 平方米，现在由于某种原因变成了 200 平方米，因在打扫卫生
17、时每分钟比原来少打扫 15 平方米，结果现在完成卫生任务的时间与原来的一样. 求： （1）原来每分钟打扫卫生多少平方米？ （2）现在完成卫生任务要多少时间？ 【答案】（1）解：设原来每分钟扫卫生 ，由题可得 ，解得， 经检验： 是原分式方程的解， 答：原来每分钟打扫卫生 （2）解：当 时， 答：现在完成卫生任务要 4 分钟. 【解析】【分析】 （1）抓住关键已知条件：根据在打扫卫生时每分钟比原来少打扫 15 平方米，可以辅助设未知数；再根据结果现在完成卫生任务的时间与原来的一样，由此已知条件建立方程，然后求出方程的解即可； （2）利用已知条件列式取出现在完成卫生打扫的时间. 23小明发现爸爸和
18、妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师博，给我加 200 元油.”（油箱未加满）.而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满！”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究.设爸爸妈妈第一次加油油价为 x 元/升，第二次加油油价为 y 元/升. （1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格.（用含 x.y 的代数式表示） （2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由. 【答案】（1）解：妈妈两次加油的总量是： 升.（不化简不扣分） 妈妈两次加油的平均价是 （元/升）. （2）解：设爸爸每次加满油箱的油是 a
19、升，则爸爸两次加油的平均价 是 （元/升） ， . .当 时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱. 当 xy 时，妈妈的加油方式比爸爸的加油方式更省钱. 【解析】【分析】 (1) 根据加油量=可以分别求出妈妈第一次和第二次加油量，两次相加即为两次加油的总量； 根据两次加油的平均价格=列代数式即可； (2) 首先求出爸爸两次加油的平均价，再用作差比较法比较大小，得到代数式，再分 x=y 和xy 两种情况讨论即可得到答案. 24 2020 年由于新冠肺炎爆发，为预防疫情专家提出了“勤洗手，戴口罩” 的措施，口罩在市场上供不应求，生产口罩的主要材料是熔喷布。已知 1 吨熔喷布可以生产 105 万
20、只医用一次性口罩，或者 60 万只 KN95 口罩。某生产熔喷布的企业要求在规定时间内完成 100 吨熔喷布的订单，为提高产量，现对生产车间进行改造，改造后每天比改造前多生产 4 吨熔喷布，结果在规定时间内多生产了40 吨熔喷布。 （1）现有一批熔喷布，若全部用来生产医用一次性口罩则可以生产 420 万只，则这批熔喷布全部用来生产 KN95 口罩则可以生产 万只； （2）求该企业改造后熔喷布的日产量和企业要求规定的天数。 【答案】（1）240 （2）解：企业规定的天数为 x 天，由题意可列方程： 解得 x=10 经检验 x=10 是原方程的解，且符合题意. 则改造后的日产量为 吨 答：企业改造
21、后熔喷布的日产量为 14 吨，规定的天数为 10 天 【解析】【解答】 （1）设这批熔喷布全部用来生产 KN95 口罩则可以生产 m 万只， 由题意得 105:60=420：m， 解得 m=240. 【分析】 （1）设这批熔喷布全部用来生产 KN95 口罩则可以生产 m 万只，由题意可得 105:60=420：m，求出 m 值即可； （2）设企业规定的天数为 x 天， 根据改造前口罩数量 25增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根.对于分式方程： （1）若该分式方程有增根，则增根为 . （2）在（1）的条件下，求出 的值. 【答案】（1）x=3 或 x=-3 （2）解： 若 时， 若 时， 【解析】【解答】解： （1）当分母值为 0 时，分式方程有增根，可得： ，解得： 或 ， 即增根是： 或 ， 故答案为： 或 ； 【分析】(1)分式方程有增根的条件是分母等于 0，据此列式求解即可； (2)先把分式方程化为整式方程，然后分两种情况讨论，即若 时，若 时，分别代值求解即可.
