1、 二次函数二次函数 （优生集训）（优生集训） 一、综合题一、综合题 1如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知 ，直线 的解析式为 . （1）求抛物线的解析式； （2）在线段 上有一动点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 .求 的最大值，以及此时点 的坐标； （3）如图 2，将该抛物线沿 轴向下平移 5 个单位长度，平移后的抛物线与坐标轴的交点分别为 ， ， 在平面内找一点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点 的坐标. 2在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一
2、点的“H 点”，如（2，-3）与（-3，2）是一对“H 点”. （1）点 和它的“H 点”均在直线 上，求 k 的值； （2）若直线 经过的 A，B 两点恰好是一对“H 点”，其中点 A 还在反比例函数 的图象上，一条抛物线 也经过 A，B 两点，求该抛物线的解析式； （3）已知 ，B 为抛物线 上的一对“H 点”，且满足： ， ，点 P 为抛物线上一动点，若该抛物线上有且仅存在 3 个点 P 满足PAB的面积为 16，求 的值. 3平面直角坐标系中，抛物线 y = - +2ax + 1 - a(a 为常数)的顶点为 A. （1）当抛物线经过点(1，2)，求抛物线的函数表达式； （2）求顶点
3、A 的坐标(用含字母 的代数式表示)，判断顶点 A 在 x 轴的上方还是下方，并说明理由； （3）当 x 0 时，抛物线 y = - + 2x + 1 - ( 为常数)的最高点到直线 y = 3 的距离为 5，求 的值. 4如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，点 E 是 AB 上一点，CE=1，点 F 是线段 AB 上一个动点，以 EF 为斜边向上作等腰直角三角形. （1）当 BF=5 时，求 BG 的长度 （2）点 F 从点 B 运动到点 A 的过程中，求 AG 的最小值 5已知，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 A，点 B 的坐标为（3 , 5）. （1）求抛物线过点 B
4、时顶点 A 的坐标； （2）点 A 的坐标记为（ , ） ，求 关于 的函数表达式； （3）已知 C 点的坐标为（0, 2） ，当 m 取何值时，抛物线 与线段 BC只有一个交点. 6某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为 20 元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量（瓶）与每瓶清洁剂的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为 22 元时，销售量为 36 瓶；当销售单价为 24 元时，销售量为 32瓶 （1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为元，将该清洁剂销售单价定为多少元
5、时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？ 7如图，二次函数 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且关于直线 x1 对称，点 A 的坐标为（-1,0） （1）求二次函数的表达式； （2）当 y0 时，写出 x 的取值范围； （3）当 axa1 时，二次函数 yx2bxc 的最小值为 2a，求 a 的值 8在平面直角坐标系 中，点 A 是抛物线 的顶点. （1）求点 A 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）若射线 与 x 轴所成的锐角为 ，求 m 的值； （3）将点 向左平移 个单位得到点 Q，若抛物线与线段 只有一个公共点，直接写出 m
6、 的取值范围. 9如图 1，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且与直线 在第二象限交于点 A，过点 A 作 轴，垂足为点 .若 P 是直线 上方该抛物线上的一个动点，过点 P 作 轴于点 C，交 于点 D，连接 ， . （1）求抛物线的解析式； （2）求 的面积 S 的最大值； （3）连接 交 于点 E，如图 2，线段 与 能否互相平分？若能，请求出点 E的坐标；若不能，请说明理由. 10如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2bxc 的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点 B 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，4） ，点 D 的坐标为（0，2） ，点 P 为二次函数图
7、象上的动点. （1）求二次函数的解析式和直线 AD 的解析式； （2）当点 P 位于第二象限内二次函数的图象上时，连接 AD，AP，以 AD，AP 为邻边作平行四边形 APED，设平行四边形 APED 的面积为 S，求 S 的最大值. 11“三高四新”战略是习近平总书记来湘考察时，为建设现代化新湖南擘画的宏伟战略蓝图.在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点 称为“三高四新”点，经过 的函数，称为“三高四新”函数. （1）下列函数是“三高四新”函数的有 ； （2）若关于 x 的一次函数 是“三高四新”函数，且它与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴，求 k 的取值范围； （3）关于 x 的
8、二次函数 的图象顶点为 A，点 和点 是该二次函数图象上的点且使得 ，试判断直线 MN 是否为“三高四新”函数，并说明理由. 12在平面直角坐标系中，若直线 与函数 G 的图象有且只有一个交点 P.则称该直线 l 是函数 G 关于点 P 的“联络直线”，点 P 称为“联络点”. （1）直线 是函数 的“联络直线”吗？请说明理由； （2）已知函数 ，求该函数关于“联络点” 的“联络直线”的解析式； （3）若关于 x 的函数 图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，点 P 是 y 轴上一点，分别过点 P 作函数 关于点 M，N 的“联络直线”PM、PN.若直线 恰好经过 M、N 两点
9、，请用含 a 的式子表示线段 PC 的长. 13如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与 y 轴交于点C，连接 BC，点 N 是第一象限抛物线上一点，连接 NA，交 y 轴于点 E， （1）求抛物线的解析式； （2）求线段 AN 的长； （3）若点 M 在第三象限抛物线上，连接 MN，则这时点 M 的坐标为 （直接写出结果） 14二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上一点，连接 BP、AC，过点 P 作 PDx轴于点 D （1）求二次函数的表达式； （2）连接 PA，PC，求的最大值； （3）连接 B
10、C，当DPB2BCO时，求直线 BP 的表达式 15如图，已知二次函数 的图象与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C. 点 P，Q 为抛物线上两动点. （1）若点 P 坐标为（1，3） ，求抛物线的表达式； （2）如图连结 BC，在（1）的条件下，是否存在点 Q，使得BCQ=ABC. 若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点 P 为抛物线顶点，连结 OP，当 a 的值从-3 变化到-1 的过程中，求线段 OP 扫过的面积. 16二次函数 y1ax2+2x 过点 A（2，0）和点 B，过点 A，B 作一次函数 y2kx+b，若点 B
11、的横坐标为 1 （1）求出二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，当 y2y1时，请直接写出 x 的取值范围； （3）若 P 点在抛物线 y1上，且横坐标为1，求ABP的面积 17某公司销售一种商品，成本为每件 30 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 （1）求公司销售该商品获得的最大日利润； （2）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了 10 元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过元，在日销售量（件）与销售单价（元）保持
12、（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是 1500 元，求的值 18已知二次函数 y=ax2+bx (a0)的图象经过点 A(2，4)，B(4，0) . （1）求这个二次函数的表达式. （2）将 x 轴上的点 P 先向上平移 3n (n0）个单位得点 P，再向左平移 2n 个单位得点2，若点P1，P2均在该二次函数图象上，求 n 的值. 19已知抛物线有最高点 （1）m 0（填“、=、”） ； （2）求二次函数的最大值（用含 m 的式子表示） ； （3）将抛物线 G 向右平移 m 个单位得到抛物线经过探究发现，随着 m 的变化，抛物线顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间存在一个函
13、数关系，求这个函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （4）记（3）所求的函数为 H，抛物线 G 与函数 H 的图象交于点 P，结合图象，求点 P 的纵坐标的取值范围 20如图，抛物线 yax2+bx+3（a，b 是常数，且 a0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C,A、B 两点的坐标分别是 A（1，0） 、B（3，0） ，抛物线顶点为 D （1）求出抛物线的解析式 （2）请直接写出顶点 D 的坐标为 ；直线 BD 的解析式为 （3）若 E 为线段 BD 上的一个动点，其横坐标为 m，过点 E 作 EFx轴于点 F，求当 m 为何值时，四边形 EFOC 的面积最大？ （4）若
14、点 P 在抛物线的对称轴上，且线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上，请直接写出点 P 的坐标 21已知抛物线 经过点 ，与 x 轴的另一个交点为 C，点 A 在线段 上，过点 A 作 轴于点 B （1）求抛物线的解析式； （2）求 面积的最大值； （3）以 为边在其左侧作等腰直角三角形 ，问点 D 能否落在抛物线上，若能，求出点 D 的坐标，若不能，请说明理由 22如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C （1）求直线 BC 的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点
15、Q 是抛物线对称轴上的一动点，线段 AQ+CQ 是否存在最小值？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，PBC 的面积是否存在最大值？若存在，求出点 P 的坐标及此时PBC 的面积；若不存在，说明理由 23某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件，如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元） ，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，每个月的销售利润为 y 元， （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定
16、为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有 a（a2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于 57 元时，每月的销售利润随 x 的增大而减小，请求出 a 的取值范围 24已知二次函数： . （1）该二次函数图象的对称轴是 ，它恒经过两个定点的坐标为 ； （2）在直角坐标系中，点 、点 ，若此二次函数的图象与线段 恰有一个公共点，结合图象，求 a 的取值范围. （3）若该二次函数的最大值为 4. 求二次函数的表达式； 当 时，函数的最大值为 m，最小值为 n，若 ，求 t 的值. 25如图，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过两点，与 x 轴交于点
17、N. （1）点 N 的坐标为 . （2）已知抛物线与抛物线 C 关于 y 轴对称，且抛物线与 x 轴交于点（点 A 在点的左边）. 抛物线的解析式为 ； 当抛物线和抛物线 C 上 y 都随 x 的增大而增大时，请直接写出此时 x 的取值范围. （3）若抛物线的解析式为，抛物线的顶点为，与 x轴的交点为（点 A 在点的左边）. 求的值； 判断抛物线的顶点是否在一条直线上，若在，请直接写出该直线的解析式；若不在，请说明理由. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解： （3）抛物线沿 轴向下平移 5 个单位长度的到的解析式为 y= ， =0， 解得 x=-2 或 x=4， ， ， ， 当 AB
18、 是平行四边形的一边时， 则 x轴，过点 作 x轴，垂足为 E， 故 M 的纵坐标一定是-8， 当 时， = ， ， ， = =2， OE=6， (6，-8)， 同理可求得 (-6，-8)， 当 AB 是平行四边形的对角线时，过点 作 Gx轴，垂足为 G， 设对角线的交点为 H，则 H（1，0） ， ， ， ， = =1， ，OH=2， (2，8)， 综上所述，点 M 的坐标为(6，-8)或(-6，-8)或(2，8). 【分析】 （1）易得 B（3，0） 、C（0，3） ，将 A、B、C 代入 y=ax2+bx+c 中可求出 a、b、c 的值，据此可得抛物线的解析式； （2）根据点 B、C 的
19、坐标可得 OB=OC，则OCB=OBC=45，DEF=DFE=45，表示出 DE、EF，设 E（x，x2-2x-3） ，则 F（x，x-3） ，表示出 EF，进而可得 DE，推出 EF-DE=DE，然后结合二次函数的性质进行解答； （3）抛物线沿 y 轴向下平移 5 个单位长度的到的解析式为 y=x2-2x-8，令 y=0，求出 x 的值，可得点A1、B1的坐标，当 AB 是平行四边形的一边时，C1M1x轴，过点 M1作 M1Ex轴于点 E，故 M 的纵坐标一定是-8，当 B1M1C1A1 时，证明B1M1E A1C1O，得到 OE 的值，进而可得点 M1的坐标；当 AB 是平行四边形的对角线
20、时，过点 M3作 M3Gx轴，垂足为 G，证明HM3GHC1O，得到点 M 的坐标. 【解析】【分析】 （1）将（m，n） 、 （n，m）代入 y=kx+a 中，并将两式相减可得 k(m-n)=(n-m)，据此可得 k 的值； （2）设 A（m，n） ，则 mn=2，结合题意可得 m+n=3，联立求解可得 m、n 的值，据此可得这一对“H点”的坐标，然后代入 y=x2+bx+c 中求出 b、c，据此可得抛物线的解析式； （3）根据 m+n=2、mn=-3、m0 时，在 AB 下方有一个点 P，上方必有两个点 满足条件，求出直线 PQ 的解析式，联立二次函数解析式并结合判别式可得 a 的值，进而
21、可得 b、c 的值；当 a0，据此求解； （3）易得 A（3，0） ，设 AM 所在直线为 y=k1(x-3)，则 AN 所在直线为 y=- (x-3)，联立二次函数与直线 AM 的解析式求出 x、y，可得点 M 的坐标，同理求出点 N 的坐标，表示出直线 MN 的解析式，将点 M 的坐标代入表示出 k，进而用含 k1的式子表示出直线 MN 的解析式，令 x=3，求出 y 的值，据此判断. 【解析】【分析】 （1）联立反比例函数与直线解析式并消去 y 可得 x2-x+1=0，则=b2-4ac0 筛选出符合题意 n 值即可. 【解析】【解答】解： （1）y=mx2+2mx3 有最高点， m0,
22、故答案为； 【分析】 （1）由于抛物线有最高点，可知开口向下，据此解答即可； （2）将解析式化为顶点式，即得最大值； （3）写出抛物线 G 的顶点式，根据平移规律得出平移后的抛物线 G1：y=-m（x-1-m）2+m-3,可得 G1顶点为（m+1， m-3）,即得 x=m+1，y=m-3, 两式消去 m 即得 y 与 x 的关系式，再由 m0，求出 x 的范围即可； （4）先画出两函数图象，可确定函数 H 的图象恒过点 B（2，-2）,抛物线 G 恒过点 A（2，-3）,由图象可知，若抛物线与函数 H 的图象有交点 P，则 yAyPyB ，据此即可求解. 【解析】【解答】解： （2）y=-x2
23、-2x+3=-（x+1）2+4， 顶点 D 的坐标是（-1，4） ； 设直线 BD 的解析式为 y=kx+n， 直线 y=kx+n 过点 B（-3，0） ，D（-1，4） ， ， ， 直线 BD 的解析式为 y=2x+6； 故答案为： （-1，4） ；y=2x+6； （4）如图， 抛物线 y=-x2-2x+3 的对称轴为 x=-1，点 P 在抛物线的对称轴上， 设 P（-1，n） ， 线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上， 当 n0 时， PA=PA1，APA1=90， 如图 3，过 A1作 A1N对称轴于 N，设对称轴交 x 轴交于点 M， NP
24、A1+MPA=NA1P+NPA1=90， 在A1NP与PMA中， ， A1NPPMA， A1N=PM=n，PN=AM=2， A1（n-1，n+2） ， 代入 y=-x2-2x+3 得：n+2=-（n-1）2-2（n-1）+3， 解得：n=1 或 n=-2（舍去） ， P（-1，1） ， 当 n0 时，要使 P2A=P2A2，由图可知 A2点与 B 点重合， AP2A2=90， MP2=MA=2， P2（-1，-2） ， 点 P 的坐标为（-1，1）或（-1，-2） 【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 把抛物线的解析式化为顶点式，即可求出顶点 D 的坐标； （3）先求
25、出点 C 的坐标，设点 E 的坐标为（m，2m+6）,利用梯形的面积公式得出 S 关于 m 的解析式，再根据二次函数的性质求出 S 的最大值，即可得出答案； （4） 由 P 在抛物线的对称轴上，设出 P 坐标为（-1，n） ，分两种情况讨论：当 n0 时，过 A1作A1N对称轴于 N，利用 AAS 得到A1NPPMA，由全等三角形的对应边相等得到A1N=PM=|n|，PN=AM=2，从而得出 A1（n-1，n+2） ，将 A1坐标代入抛物线解析式中求出 n 的值，即可得出 P 的坐标，当 n0 时，得出 A2点与 B 点重合，得出 MP2=MA=2，即可得出点 P 的坐标. 【解析】【分析】
26、(1) 把 P、Q 两点的坐标分别代入抛物线 中 ，列方程即可求出a，c 的值，进而得出答案； (2) 先求出直线 PQ 的解析式，设点 A 的坐标为 m,将 AB,BC 表示出来，再表示出ABC 面积的关系式，然后根据二次函数的性质求出面积的最大值； (3)分三种情况讨论当ABD=90且 AB=BD当BAD=90且 AB=AD当ADB=90且 AD=BD时，若点 D 在抛物线上分别求出 n,m 的值并进行检验，即可得出结论。 【解析】【分析】 (1)令 ，解关于 x 的一元二次方程求出点 B 的坐标，令 x=0 求出点 C 的坐标， 设直线 的解析式为 利用待定系数法即可求解； (2) 化为
27、顶点式即可得出顶点坐标及对称轴； (3) 根据轴对称确定最短路径问题，直线 BC 与对称轴的交点即为使线段最小的 Q，利用直线的解析式求解即可； (4)过点 P 作 轴交 于点 D， 根据抛物线解析式与直线 BC 的解析式表示出 PD，再根据列式整理，再利用二次函数最值问题解答即可。 【解析】【分析】 （1）根据题意可得每件产品的利润为 50+x-40，此时的销量为 210-10 x，进而可得每个月的销售利润为 y 元与每件商品的售价上涨 x 元的关系式，再结合实际求解即可； （2）根据（1）中所得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质及 x 的正整数，可得每月的最大利润； （3）根据题意列出
28、函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。 【解析】【解答】解： （1）二次函数： 对称轴为： ，当 时， ，过点 由对称性可得，二次函数过点 故答案为： ， （0，-5） ， （6，-5） ； 【分析】 （1）利用二次函数图象的对称轴公式求对称轴；再令 x=0，求出抛物线与 y 轴的交点坐标，根据对称性求另一点坐标即可； （2）画出函数图象的草图，分两种情况讨论，即当 a 0 时，开口向上，结合图象可得函数图象与线段 AB 的交点在 8x10 之间，建立关于 a的不等式组求解即可； （3）求出函数的顶点坐标，利用待定系数法求解析式； 分三种情况进行讨论，即 t+33，0t3，t3，先分别求得
29、最大值、最小值，再列方程求解即可. 【解析】【解答】解： （1）由题意可得，点和点关于轴对称 点 故答案为：； （2）由（1）得，抛物线 C 过点、 抛物线 C 的解析式为， 将点代入解析式得： 解得 ，顶点坐标为 抛物线 C 与抛物线关于轴对称 抛物线的顶点为，开口与抛物线 C 相同 抛物线解析式为 故答案为：； 抛物线 C 的解析式为， 由二次函数的性质可得，当时，随的增大而增大， 抛物线解析式为， 由二次函数的性质可得，当时，随的增大而增大， 当时，抛物线 C 和抛物线上都随的增大而增大， 【分析】 （1）利用题意可知点 N 和点 M 关于直线 x=-1 对称，根据点 M 的坐标可得到点
30、 N 的坐标； （2）由（1）可知抛物线 C 过点 M，N，D，利用待定系数法可求出抛物线 C 的函数解析式；将函数解析式转化为顶点式，可得到顶点坐标，再根据抛物线 C 与抛物线关于轴对称，可得到抛物线的顶点为，开口与抛物线 C 相同，同时可得到抛物线 C1的函数解析式；抛物线 C 的解析式为 y=-（x+1）2+4，利用两函数解析式及二次函数的增减性，可得到当抛物线 C1和抛物线 C上 y 都随 x 的增大而增大时，x 的取值范围； （3）根据题意可知 抛物线的解析式为 ，可得到此抛物线与 x 轴的两个交点坐标，即可求出 AB1，AB2的值，然后求出 的值；当 n=1 时可得到抛物线 C1的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到点 P1的坐标；当 n=2 时可得到抛物线 C2的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到点 P2的坐标；同理可求出点 P3的坐标，然后利用待定系数法求出直线 P1P2的函数解析式，再验证点 P3是否在直线P1P2上，即可作出判断.
