1、安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和200920102011第第一一届届： 年年-国国防防科科技技大大学学第第二二届届： 年年-北北京京航航空空航航天天大大学学第第三三届届： 年年-上上海海同同济济大大学学 (6) (10) (3)各各省省分分赛赛-全全国国预预赛赛-全全国国决决赛赛月月月月次次年年 月月 第四届：第四届： 2012年年四川成都电子科技大学四川成都电子科技大学 第五届：第五届： 2013年
2、年安徽合肥中国科技大学安徽合肥中国科技大学 第六届：第六届： 2014年年湖北武汉华中科技大学湖北武汉华中科技大学安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和数学竞赛讲座数学竞赛讲座体操能使你身体健康体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷数学能使你思想正确而敏捷,有了它有了它,你们才能爬上科学的大山你们才能爬上科学的大山._华罗庚华罗庚_解题是一种本领解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获的收获,就应当在所做的题目中去找
3、出它的特征。一就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的无论是从别人那里学来或听来的,只要经只要经过你自己的体验过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模它对你来讲可以成为一种楷模,当你当你在碰见别的类似的问题时在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。 _乔冶乔冶.波利亚波利亚_安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和( (一）函数一）函数 利用已知条件，求函数的表达式利用已知条件，求函数的表达式例题）例题）复合函数的表达式（见复合函数的表达式（见求反函数求反函数题）题）其他的综合
4、题目（见例其他的综合题目（见例求求例例类似这种题目：类似这种题目：常数的关系）常数的关系）连续的条件定两个积分连续的条件定两个积分（注意要用到（注意要用到求求）设）设（求求）设）设（求求）设）设（,)6()5(?)(,sin)1(3)(2)4()(?)(,)()()(3?)(),()(2?)(),()(121 xfxxfxfxfxfDxxhDxxhxgfxfxhxgfxfxhxgfC安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例1 )(),2(2cossin)()2, 0()(xfxxxxfxxf时时，则则当当时时的的奇奇函函数数，且且当当是是周周期期为为已已
5、知知 简答简答因奇函数，则当因奇函数，则当 时，时，02 x 2cossin)()( xxxfxf因周期函数，则当因周期函数，则当 时，时， x22cossin)()( xxxfxf 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和)(xf),( 1 , 0)1()(2xxxf x)(2)1(xfxf )(xf 0 , 1 )(xf0 x设函数设函数在在上有定义，在区间上有定义，在区间上，上，若对任意的，若对任意的都满足都满足，（1）写出写出在在表达式；表达式；在在 处，处， 是否可导？是否可导？（2）判断判断上的上的练习题练习题简答简答)2)(1(21)1(21)
6、(11001)1(2xxxxfxfxx ，故故有有，则则设设数数处处的的导导数数时时请请用用左左右右导导讨讨论论分分段段函函数数在在分分段段点点得得由由 10)1(01)2)(1(2)()1()2(2xxxxxxxxf安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例2fs tsttfsftsf2)()()( 1)0( ff设设 是可导的函数，对于任意实数是可导的函数，对于任意实数 ，有，有，且 ，求求的表达式。的表达式。)()()(2121xfxfxxf)(xf1x2x2)0( f 求满足方程求满足方程的的表达式，其中表达式，其中，为任意实数，且已知为任意实数，
7、且已知。简答简答sssfststtftsftsfsfxxfxfxffftsttxx 20000)(122)(lim)()(lim)()(lim0)0()(lim)0(10)0(, 0, 0于于是是可可计计算算出出可可得得令令课下练习课下练习（2010年年X校竞赛校竞赛）安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例3 1011)(xxxf 1212)(2xxxxg)(xgf)(xfg)(xff)(xgg设设，求求，。，简答简答为例为例以以)(xgf 1)(01)(1)(xgxgxgf11)()2(1122)(, 111122)(, 11)()1(22 xxgx
8、xxgxxxxxxgxxg时时当当得得，于是，于是则则若若得得，于是，于是则则若若时时当当 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及函数的某些性质：有界性、周期性、奇偶性以及单调性单调性)(xf),(ba)(xf),(ba)(limxfax)(limxfbx)(xf判断函数在内有界：常利用在内连续，且，存在，则有界。有界性有界性例例4）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（在下列哪个区间内有界在下列哪个区间内有界函数函数3 , 2D2 , 1C1 , 0B0 , 1-A)2)(1()2sin()(
9、2 xxxxxxf安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和奇偶性奇偶性单调性单调性用单调性的定义讨论用单调性的定义讨论不可导不可导若若讨论讨论可导，用可导，用若若,)()2()()()1(xfxfxf 是奇函数是奇函数是偶函数是偶函数是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数)()(0)0()()()()(xfxffxfxfxfxf 周期性周期性TxfTxfTTxgxfTTxgxfaTbaxfTxf的周期为的周期为，则，则的周期为的周期为的最小公倍数的最小公倍数和和是是的周期的周期则则的周期为的周期为的周期为的周期为，则，则的周期为的周
10、期为)()()3()()(,)(),()2()()()1(2121 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和( (二）极限二）极限 补充重要的结论补充重要的结论)(limlimlim122 kaxxaxxaxknnkkkknn的的所所有有子子列列例例5（0606考研考研）nnnn)1(1lim AxfxxnxxAxfAxfxfAxfnnnnxxxxxxxx )(lim,),(0lim)()(lim)(lim)(lim000000且且 提示提示11222limlim, 1212limlim122)1(12)1(2 kkkkxkkxkkkkkk安徽工业大学安徽工
11、业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和求极限的几种重要方求极限的几种重要方法法1 1、利用四则运算法则、利用四则运算法则例例6（9898北京市竞赛题，北京市竞赛题，1010天津市竞赛题天津市竞赛题）nxn 2112111111nnx lim,求求提示提示)111(2)1(23211 nnnnn练习练习（9393南京大学竞赛题南京大学竞赛题）112221216174523 nnnxnnx lim,求求提示提示12)12()12)(12)(12(224221 nn分子分子)sin(lim2nnn 思考题思考题（98江苏省竞赛题）江苏省竞赛题）答案答案 1 nnxxxx2cos2
12、cos2coslimlim22 例例7（00北京市竞赛题）北京市竞赛题） 2答案：答案：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和2、利用两个重要极限公式、利用两个重要极限公式xxx 1coslim21annannan)21 (12lnlim例例9（0202考研考研） 设常数设常数，则，则_简答简答21)11(cos11cos121)21(lim)11(coslim11cos1lim1coslim exxxxxxxxxxxxxx原式原式简答简答aanannann211)21(11lnlim)21()21( 原式原式安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数
13、理科学与工程学院 张敬和张敬和xenxxxxneee)(lim20 n例例10 （0909年全国竞赛题）年全国竞赛题），其中是给定的正整数。ennxxxxnxxxxxenneeeneeennxxxxennneeenxneeenneeenxxxnxxx21202020212limlim1lim22 原原式式原原式式简答简答xxxex10)(lim 思考题思考题（95南京大学竞赛题）南京大学竞赛题）答案答案 e2安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和3、利用等价无穷小代换简化计算、利用等价无穷小代换简化计算)1(lnlim nnnnn简答简答1ln1lnlim
14、)1(lnlim)1(lnlimln1 nnnnennnnnnnnnnnxnxxxxxxxaxaxexxxxxxxxxxxnxx111,21111)1(21cos1 ,ln1,1,)1ln(arctanarcsintansin02 ，时，时，当当 常用的等价无穷小常用的等价无穷小注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换注意：作为加减项的无穷小量不能随意用等价无穷小代换安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例12121977, 019771limlim119761976 xnxnnxnnxnxn故故原式原式 （国外高校竞赛题国外高校竞赛题）简答简
15、答xnnnxxn，求，求设设19771111lim1976 （04年考研题年考研题）例例1313 13cos21lim30 xxxx简答简答61)31cos1ln(lim1lim233cos2ln0 xxxenxxx原式原式安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和4、利用洛必达法则、利用洛必达法则（2）等价无穷小代换等价无穷小代换（3）求极限的式子中，含有极限存在且不为求极限的式子中，含有极限存在且不为0的因式，应用的因式，应用极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外极限的四则运算法则，应及时将它的极限拿到极限符号外先考虑对求极限的式子进行代数或三
16、角变形，再考虑先考虑对求极限的式子进行代数或三角变形，再考虑结合（结合（2）和）和（3）应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算应用洛必达法则时，常需要与下列方法相结合，以简化计算。这这时时才才可可用用洛洛必必达达法法则则，限限时时，考考虑虑相相应应的的函函数数极极注注：求求数数列列极极限限)(lim)(limxfnfxn nnnen22)11(lim思考题思考题答案答案 e2安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例15（0808考研考研）求极限求极限40sin)sin(sinsinlimxxxxx 例例14 (9797考研考研) 求极限求极
17、限 )1ln(1lim220axaxxax 212lim21lim)1ln(lim)1ln(lim)1ln(1lim2200202020aaxxxaxaxaaxaxaxaxaaxxxaxxxxx 原式原式简答简答613)cos(sin1lim3)cos(sin1 coslim3cos)cos(sincoslim)sin(sinsinlim20202030 xxxxxxxxxxxxxxxx原式原式简答简答安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和5、利用夹逼准则、利用夹逼准则maaa,21nnmnnnaaa121)(lim 例例16：设设 为正数，求为正数，求思
18、考题：思考题：)()(lim1 nnnnba1.设设 则则 (08(08考研）考研）,0ba )1(1)1(111(lim. 21212nnnnnn 答案：答案：1 1 mnnnmnnmaaaMmaaaMaaaM,max,max21112121 原式原式简答简答a1答案：答案：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和6、利用单调有界准则、利用单调有界准则例例18：（：（0606年考研题年考研题）设数列设数列 满足满足 nx,01 x), 2 , 1(sin1 nxxnn（1）证明：）证明： 存在，并求该极限；存在，并求该极限；（2）计算）计算nnx lim2
19、11limnxnnnxx （1 1）用归纳法证明单调下降且有下界）用归纳法证明单调下降且有下界（2 2）用重要极限和洛必达法则）用重要极限和洛必达法则提示提示61x662x6663x16nnxx证明极限存在并求极限证明极限存在并求极限，.例例17:安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和存在，并求之。存在，并求之。证明：证明：，设设nnnnnxnxxxx lim), 2 , 1(2)1(2, 0110例例20（04天津市竞赛）天津市竞赛）121a,n,aann321121nnalim练习：（练习：（1010天津市试题天津市试题）设设，证明：，证明：存在并求其
20、值。存在并求其值。例例19（00北京市竞赛题）北京市竞赛题） nknnndxxfkfaaxfxf11)()(0)(), 0()(收收敛敛，其其中中数数列列，证证明明：上上递递减减的的连连续续函函数数，且且是是设设安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 ,12,12, 21121nnxxxxxnnxlim练习题：练习题： （8888北京市竞赛题北京市竞赛题）设求证存在，并求其值7、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限 ), 2 , 1(6, 411 nxxxnnnnxlim例例21： （0808江苏省竞赛题江苏省竞赛题）设求证存在，并求其值安徽工业大学
21、安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和8、利用泰勒公式、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）（复习公式及展到哪一项的确定）练习：练习：xxxx40sincos)cos(sinlim 思考题：（思考题：（国外高校竞赛题国外高校竞赛题） xeexxx3sin)1()1sin(lim4sin0 9721 特点：特点：用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用用洛必达法则较复杂时，或者根本不可能用关键：关键：展开到含展开到含xn项，或者不相互抵消的那一项止项，或者不相互抵消的那一项止要熟记常用的展开式要熟记常用的展开式例例23： 12lim6123xexxxxx例例22)2
22、1ln(2(coslim2202xxxexxx (10年天津市)安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和9、利用中值定理、利用中值定理例例24：)0()1arctan(arctanlim2ananann练习题：练习题：xxxxxsin22limsin0思考题：思考题： xxxx11lnsin31lnsinlim例例25： )1(sinsinlim aaaaxxxaxxxax答案答案 2答案答案 ln2安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和10、利用导数的定义、利用导数的定义 nnafnafafaxxf)()1(lim0)
23、()(，则，则且且可导，可导，在在设函数设函数例例27 （9696南京大学竞赛题南京大学竞赛题）)()(afafe 例例26： xxxxsinsin2tan2lim10100 11、利用连续的定义、利用连续的定义)(xf0 x2)0(f)1cos(sinlim0 xxfx练习题练习题 设设在点在点处连续，且处连续，且，求，求。答案答案 2安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和12、利用定积分的定义、利用定积分的定义（略讲）（略讲）例例28：求求)12111(lim22222nnnnn 练习：练习：求求nnanxnaxnaxn1)1()2()(lim 2ax
24、 例例29：求求)1sin212sin1sin(limnnnnnnnnn 2练习：练习：求求 （09天津市竞赛）天津市竞赛）nnnnnn1)1()21)(11(lim e4安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和14、利用函数极限与数列极限的关系求极、利用函数极限与数列极限的关系求极限限练习题：练习题：2)1(coslimnnn （9999年北京市竞赛年北京市竞赛）xdttxx 0sinlim例例31：求求 215、利用左、右极限、利用左、右极限练习题练习题112111lim xxexx讨论讨论例例32 (08江苏省竞赛题江苏省竞赛题)2arctan2lim
25、, xxbxxaxbax时，有时，有当当2, 1 ba答案：答案：13、利用定积分性质和积分中值定理、利用定积分性质和积分中值定理（略讲）（略讲）例例30：（：（9393北京市竞赛北京市竞赛）dxxxnn 2101lim安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和练习题练习题（0000北京市竞赛北京市竞赛） )(lim333xxax_16、要注意变量代换的应用、要注意变量代换的应用17、利用级数收敛的必要条件（、利用级数收敛的必要条件（11章）（略）章）（略）无穷小阶的比较无穷小阶的比较0 x)1ln()cos1 (2xxnxxsinnxxsin) 1(2xen
26、例例33：（：（0101考研考研）设当设当时，时，是比是比高阶无穷小，而高阶无穷小，而是比是比高阶的无穷小，则正整数高阶的无穷小，则正整数等于（等于（ ）4.3.2.1.DCBA安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例34（0808江苏省竞赛题江苏省竞赛题）小的阶数最高小的阶数最高的无穷的无穷时关于时关于在在时时当当xxbxxaxxfba01)1ln()(, 思考题（思考题（0303天津市竞赛题天津市竞赛题）)3)(1)(2)(4.()1)(2)(3)(4.()4)(2)(1)(3.()4)(3)(2)(1.(14sincos3134331212sin1
27、tan11,043DCBAexxxxxxxxxx ）（）（）（）（高高阶阶的的排排列列顺顺序序为为下下列列无无穷穷小小量量从从低低阶阶到到时时当当安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和已知极限，来确定未知的东西已知极限，来确定未知的东西)(xf1)() 1()(cos1lim20 xfexxfxx)0(f例例35：（：（0808考研考研）已知已知连续，且连续，且，则，则_CBA,)(1)1 (32xoAxCxBxex)(3xo0 x3x例例36：（：（0606考研考研）试确定试确定值，使得值，使得其中其中是当是当时，比时，比高阶的无穷小。高阶的无穷小。)(
28、xf),(exfx)(lim例例37：（：（0101考研考研）已知已知在在内可导，且内可导，且，)1()(lim)(lim xfxfcxcxxxxc，求，求的值。的值。答案答案 261,32,31 CBA答案：答案：答案答案 1/2223( )2xf xaxbxlim( )0,xf x设 , 若 则a, b的值. （11天津）天津）-2,-4安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和2)1()21ln()cos1(tanlim20 xxedxcxbxa022ca例例38：（：（9494考研考研），其中，其中，则必有（，则必有（ ）caDcaCdbBdbA4)(
29、4)(4)(4)( )(xf0 x, 0)(3sin(lim230 xxfxxx)0(f)0(f )0(f 203)(limxxfx例例39：设设在在的某邻域内二阶可导，且的某邻域内二阶可导，且求求，及及2e29, 9)0(0)0(, 3)0( 极限极限fff)(xf xxxxf10)(1(lim设设是连续函数，且是连续函数，且，则，则.1111天津市竞赛题天津市竞赛题思考题：思考题：4cos1)(lim0 xxfx安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和( (三）连续三）连续 判定函数在一点的连续性判定函数在一点的连续性练习：（练习：（03考研）考研）设函
30、数设函数 04sin1060arcsin)1ln()(23xxxaxxexxxxaxxfax问：问：a为何值时，为何值时， 在在 处连续，处连续，a为何值时，为何值时， 是是 的可去间断点。的可去间断点。)(xf0 x0 x)(xf例例40：设设 连续，求连续，求a,b.1lim)(2212 nnnxbxaxxxf安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和例例43xxaxxffxxarcsin)1ln(lim)(lim)00(300 2201113limxaxx .6213lim220axaxx xxaxxarcsinlim30 113lim220 xaxx安
31、徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和4sin1lim)(lim)00(200 xxaxxexffaxxx . 4222lim41lim420220 axaxaexaxxeaxxaxx)00()00( ff4262 aa1 a2 a)0(6)(lim0fxfx )0(12)(lim0fxfx 令令，有，有 ，得，得或或当当a=-1时，时，即，即f(x)在在x=0处连续处连续.，因而，因而x=0是是f(x)的可去间断点的可去间断点 当当a=-2时，时，安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和函数的间断点及其类型函数的间断点及
32、其类型（找的方法及类型的判别）（找的方法及类型的判别）第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若称称0 x, )()(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及及)(0 xf中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称0 x若若其中有一个为振荡其中有一个为振荡 ,称称0 x若若其中有一个为其中有一个为,为为 .为为 .为为 .为为 .安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 的间断点并判断类型的间断点并判断类型求求 0,2cos10,11sin22xxxxxxf 例例41xxaxx
33、xaxxffxxxarcsinlimarcsin)1ln(lim)(lim)00(30300 113lim1113lim220220 xaxxaxxx.6213lim220axaxx 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和练习：（练习：（0707考研考研）函数函数 在在 上上第一类间断点是第一类间断点是x =( )(tan)()(11eexxeexfxx , (A) 0 (B) 1 (C) (D) 2 2 关于闭区间上连续函数的性质的证明题关于闭区间上连续函数的性质的证明题（放到中值定理部分）（放到中值定理部分）例例42：（：（0101考研考研）求极限求极
34、限 ，记此极，记此极xtxxtxtsinsinsinsinlim )(xf限为限为 ，求函数，求函数 的间断点并指出其类型。的间断点并指出其类型。)(xf安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和一元函数微分学一元函数微分学高数竞赛选修课之高数竞赛选修课之安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和极限导数与微分连续与间断安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和7. 泰勒公式（麦克劳林公式）：泰勒公式（麦克劳林公式）：21.()2!nxnxxexo xn 231ln(1).( 1)()23nn
35、nxxxxxo xn 3521121sin.( 1)()3!5!(21)!nnnxxxxxo xn 2422cos1.( 1)()2!4!(2 )!nnnxxxxo xn 2(1)(1).(1)(1)1.()2!nnnxxxxo xn 211.( 1)()1nnnxxxo xx 211.()1nnxxxo xx 2( )(0)(0)( )(0)1!2!(0) .()!nnnfff xfxxfxo xn安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和8. 定积分定义：定积分定义：1lim( )( ),(1), (21)2nbianiiiibaff x dxnbabab
36、aaiaiorainnn1011lim( )( )nniiff x dxnn9. 单调有界定理：单调有界定理：1lim0nnnnuu收敛10. 其他：级数收敛的必要条件，通分，有理化，倒代换其他：级数收敛的必要条件，通分，有理化，倒代换1()nnxf x安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题2 lim(cos)nnn 求求111 lim(0,0,0)(2009)3nnnnnabcabc 求求全全国国决决21 lim( sin)nnnn 求求安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和1 lim(1) (2009)nnnen
37、 求求全全国国决决10 lim(sincos )xxxx 求求21 lim sincosxxxx 求求题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题222222 lim.12nnnnnnnn 求求111 lim.13(21)nnnnn 求求1lim(1).(21)nnn nnn 求求 1lim(1).()nnnnnn 或或安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题1lim12.nnnnn 求求 1 3 5 . (21)lim2 4 6 . (2 )nnn 求求 222111 lim 11. 123nn求求安徽工业大学安徽工业
38、大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和121 lim(1)sin (2009)nnkkknn 求求全全国国决决21 limsinnnini 求求2sinsinsin lim.1112nnnnnnnnn 求求题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和120.limxxmxxxeeem 求求 1 lim27xxx 求求 3201coscos2cos3limnxxxx 求求 题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题1326 lim ()12nnnnnen 求求2lim1() =0, ,xxxaxba b设设
39、求求 54lim (73)=0, ,axxxxba b 设设求求 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和31limsinln(1)sinln(1)xxxx 求求 332434lim32xxxxx 求求 2120sinlim, .|1xxxxaeexaxe 已已知知存存在在 求求 题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题223220arctanln(13)lim(1)sinxxxxex求求 2220ln(sin)limln()2xxxxexxex 求求 3lim ln(12 )ln(1)xxx求求 安徽工业大学安徽工业
40、大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和201tan1sinlimln(1)xxxxxx 求求 2220coslimtanln(1)xxxexxx 求求 2222022 1limsin(cos)xxxxxxe 求求 题安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题012(1)1.0, lim.2nnnnnxxxxx 设设 求求200( )ln 1( )sin2.lim (1), lim.1xxxf xf xxbaax 已已知知其其中中求求3.( ) ( )01()lim.( )xxf xxaf af axf a 设设函函数数 在在 处处可可导导，
41、且且 , , 求求 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题201. ( )0(0)0, (1cos )limtan()xF xxFFxx 设设函函数数在在处处可可导导, , 又又求求2202. ( )11(1)0,(sincos )(1)2,limtanxf xxxffxxfxxx 设设在在附附近近有有定定义义，且且在在可可导导，求求 2100( )3.lim2lim(1( ).1cosxxxf xf xx 已已知知= , = , 求求 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和00lim( )()xxf xf x连续：
42、连续：一切初等函数在其定义区间内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的.闭区间上连续函数的性质：闭区间上连续函数的性质：有界性有界性最值性最值性介值性介值性零点定理零点定理安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和间断点：不连续点间断点：不连续点第一类间断点第一类间断点可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：第二类间断点第二类间断点_000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x_00lim( )lim( )xxxxf xf x间断点类型：间断点类型：安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和 0
43、00000( )()()limx xxxx xf xf xdyyfxdxxx导数：导数：微分：微分：( )dyfx dx函数的性质关系：函数的性质关系：（一阶微分具有形式不变性）（一阶微分具有形式不变性）导数的几何意义：切线斜率导数的几何意义：切线斜率可微可微可导可导连续连续极限存在极限存在安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和1. 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式2. 导数的四则运算法则导数的四则运算法则3. 复合函数的导数复合函数的导数4. 隐函数的导数隐函数的导数5. 参数方程所确定函数的导数参数方程所确定函数的导数6. 反函数的导数反函
44、数的导数7. 高阶导数高阶导数安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和罗尔中值定理：罗尔中值定理：拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：柯西中值定理：0)( f(3) ( )( )f af b ( ) f x若若函函数数 满满足足 (1) , a b在在上上连连续续(2) ( , )a b在在内内可可导导( , )a b 则则在在内内至至少少存存在在一一点点 使使得得abafbff )()()( ( ) f x若若函函数数 满满足足(1) , a b在在上上连连续续(2) ( , )a b在在内内可可导导( , )a b 则则在在内内至至少少存存
45、在在一一点点 使使得得(3)( )0,( , )F xxa b ( )( ) f xF x若若函函数数 及及满满足足(1) , a b在在上上连连续续(2) ( , )a b在在内内可可导导.( )( )( )( )( )( )ff bf aFF bF a ( , ), a b 则则在在内内至至少少存存在在一一点点使使得得安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和1. 讨论函数的单调性讨论函数的单调性3. 求函数的极值点和极值求函数的极值点和极值2. 讨论函数图形的凹凸性，求拐点和渐近线讨论函数图形的凹凸性，求拐点和渐近线4. 求函数的最值，解决简单应用问题求
46、函数的最值，解决简单应用问题5. 求曲线在一点的曲率和曲率半径求曲线在一点的曲率和曲率半径322( )11 ( )fxKRfx安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题21221.( )lim, .1nnnxaxbxf xa bx 设设是是连连续续函函数数，求求3.()( )( ), ,(,),( )0( )(,)f xtf xf tx tf xxf x 设设且且在在处处连连续续，证证明明在在上上连连续续. .2.( )0,1(0)(1)110, ,()( ).22f xffff 设设在在上上连连续续，且且，证证明明必必有有使使2204.( )( )3-(
47、)-2( ). (2009)f xf xxf x dxf x 设设是是连连续续函函数数，且且满满足足, , 求求 赛赛区区赛赛安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题分分析析下下列列函函数数的的间间断断点点及及其其类类型型. .111(1)1xxeye 23|(2)(|)xxyxxx 1(3) sinyxx (4)sinxyx (5) ( )lim 1,(0,)nnnf xxxtan()4(6) ( )(1), (0,2 )xxf xxx 安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题( )222.( )ln291,.(20
48、09)fyyyy xxeed yffdx 设设函函数数由由方方程程确确定定，其其中中 具具有有二二阶阶导导数数，且且求求赛赛区区赛赛100( )3.( )( )(),lim(),( )( )0.(2009)xf xf xg xf xt dtAxAg xg xx 设设函函数数连连续续，= =且且为为常常数数 求求 并并讨讨论论在在处处的的连连续续性性赛赛区区赛赛2, 01.( )(0).22,0 xxxxf xfexx 设设 , ,求求安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题3(99)1.ln(1)(0).yxxy 设设 , ,求求 12.( )( )(),
49、| |,( ).cf xaf xbfabfxxx 设设 满满足足求求 ( )0003. ( )( )0,(0)(0)0( )lim( )( )( )( ,( ).u xxxfxfxfff t dtu xyf xf t dtx f x 设设连连续续，且且，试试求求极极限限，其其中中是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线在在轴轴上上的的截截距距安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题2223.( ( ),( ), ( ).yzfxyx yyexdz d zf xxdx dx 设设, , 其其中中满满足足方方程程 且且均均二二阶阶可可导导，试试求求，13010(
50、)2.lim(1)( )( )(0),(0),(0)lim 1.xxxxf xxef xxf xfffx 已已知知= = ，其其中中二二阶阶可可微微，求求及及1sin,01.( )0,0 xxf xxx 问问 取取何何值值时时，函函数数在在 上上连连续续；可可导导；一一阶阶导导数数连连续续？安徽工业大学安徽工业大学 数理科学与工程学院数理科学与工程学院 张敬和张敬和题1( )sin,0,2. ( )00, 0(0),(0)( )0g xxf xgxxxggf xx 设设函函数数，其其中中 在在可可导导，问问：为为多多少少时时，在在处处可可微微？1.( ) , ( )0,( )0( )0( ,
