1、1成成都都七七中中高高 2022 届届三三诊诊模模拟拟数数学学（理理科科）答答案案一一选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1.设全集U是实数集R，已知集合2 |2 Ax xx，2 |log (1)0Bxx，则()UC AB =CA. |12xxB. |12xx C. |12xxD. |12xx 2.已知 i 为虚数单位，则3(1)1iiiBA. 1B. 1C.1iD.1 i【详解】3(1)(11) ()1111iiiiiiii ，故本题选 B.3
2、.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数( )f x在区间( , )a b内有零点，则( ) ( )0f a f b B.6是3与9的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,mee1236nee，则mnD. 已知角终边经过点(3, 4)，则4cos5 【详解】A. 已知函数 f x在区间, a b内有零点，不一定有 0f a f b ，还有可能 0f a f b ，所以该选项错误.B.6是3与9的等比中项是错误的，因为3与9的等比中项是3 3；C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,mee1236nee，所以3nm，所以mn，所以该选项是正确的；D. 已知角
3、终边经过点3, 4，则3cos5，所以该选项是错误的.故答案为：C4.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）3Pnpmnpmmnp所以有1( )01npmmEmnpmnpmnp ,2212( )(0)(1)()mnpmmmnmpDmnpmnpmnpmnpmnp，随机变量2的分布列如下图所示：101Pmpmnpnmnp2()01mpnnEmnpmnpmnp ，2212( )(0)(1)()nmpnnmnnpDmnpmnpmnpmnpmnp，因为15mn，所以mpnp，因此有1212,EEDD，故本题选 D.8.已知ABC中，22BCBA BC ，点P为BC边上的动
4、点，则PCPAPBPC 的最小值为（）A. 2B.34C.2D.2512【答案】D【详解】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得1 01 0BC ， ，设0P aA x y， ，由2BA BC ，可得 12 0222xyx ，即20 xy ，则 101100PCPAPBPCaxaaa y ，21312332axaaaaa 21253612a，当16a 时，PCPAPBPC 的最小值为2512故选：D9在正方体1111ABCDABC D中，E，F，G分别为1AA，BC，11C D的中点，现有下面三个结论：4EFG为正三角形；异面直线1AG与1C F所成角为60；/ /AC平面EFG.其中所
5、有正确结论的编号是（）ABCD【答答案案】D【解解析析】计算出三边是否相等；平移1AG与1C F，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；探究平面EFG内是否有与AC平行的直线【详解】易证EFG的三边相等，所以它是正三角形.平面EFG截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC的交点为1CC的中点N，易证/ /ACEN，从而/ /AC平面EFG.取11AB的中点H，连接1C H，FH，则11/ /AGC H，易知11C HC FHF，所以1C H与1C F所成角不可能是60，从而异面直线1AG与1C F所成角不是60.故正确.10已知1F，2F是双曲线2222:1xyEab（0a ，0b
6、 ）的左、右焦点，其半焦距为c，点P在双曲线E上，1PF与x轴垂直，1F到直线2PF的距离为23c，则双曲线E的离心率为（）A2B3C32D2【答案】A【解析】因为1PF与x轴垂直，所以12PFF为直角三角形且直角顶点为1F，因为122FFc，1F到直线2PF的距离为23c，故21213sin23cPF Fc因为21PF F为锐角，故212 2cos3PF F，212tan4PF F5在12PFFRt中，121222tan242PFcPF Fcc，22123 2cos2cPFcPF F由双曲线的定义可得2122aPFPFc，故2cea11设过定点(0,2)M的直线l与椭圆C：2212xy交于不
7、同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为（）A65,2B665, 533C6, 52D665, 522【答案】D【详解】显然直线0 x 不满足条件，故可设直线l：2ykx，11,P x y，22,Q xy，由22122xyykx，得2212860kxkx，226424 120kk ，解得62k 或62k ，12281 2kxxk ，12261 2x xk，02POQ ，0OP OQ ，1212121222OP OQx xy yx xkxkx 21212124kx xk xx2222226 11610240121212kkkkkk，解得55k，直线l的斜率k
8、的取值范围为665, 522k .故选：D.12若关于x的不等式20 xxeaxa的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（）A221,53eeB1,34eeeC1,3eeD,4eee【解析】原不等式可化为2xaxaxe，设 2,xf xaxa g xxe，则直线 2f xaxa过定点1,02，6由题意得函数 xg xxe的图象在直线 2f xaxa的下方 xg xxe， 1xgxxe设直线 2f xaxa与曲线 xg xxe相切于点,m n，则有21 2mmamemeama，消去a整理得2210mm ，解得12m 或1m（舍去） ，故切线的斜率为11221121222eaeee ，解得4e
9、ae又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当1x 时，113 ,1fa ge ，由11fg解得13ae当直线 2f xaxa绕着点1,02旋转时可得134eaee，故实数a的取值范围是1,34eee选 B二二、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分13.有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需 1 人承担，丙需 2 人承担且至少 1 人是男生现从 3 男 3 女共 6 名学生中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是_ （用具体数字作答）【答案】144【详解】因为丙需 2 人承担且至少 1 人是男生，所以有二种情况： （1）一男生一女生选丙任务； （2
10、）二男生选丙任务.（1）一男生一女生选丙任务：不同的选法种数为1123343 3 4 3108CCA ；（2）二男生选丙任务：不同的选法种数为22343 4 336CA ，所以从 3 男 3 女共 6 名学生中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是10836144.14.已知ABC的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c若1cos3A ，23bc，且ABC的面积是2，则sinC _.【答案】2 23【详解】因为1cos3A ，sin(0, )A，所以22 2sin1cos3AA,又因为ABC的面积是2,所以1sin22bcA,而23bc,所以2b ,3 22c ,7由余弦定理可知：2
11、223 22cos2bcAaabc，而ABC的面积是2，所以有12 2223sinCsinCab.15.三棱锥PABC中，PA 平面ABC，23BAC，3AP ，2 3AB ，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为3，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】57【详解】由题意，三棱锥PABC中，PA 平面ABC，直线PQ与平面ABC所成的角为，如图所示，则3sinPAPQPQ，且sin的最大值是32，所以min()2 3PQ，所以AQ的最小值是3，即A到BC的距离为3，所以AQBC，因为2 3AB ，在Rt ABQ中可得6ABC，即可得6BC ,取ABC的外接圆圆心为O，作/
12、 /OOPA，所以062sin120r，解得2 3r ，所以2 3O A ,取H为PA的中点，所以32 3,2OHO APH，由勾股定理得22572OPRPHOH，所以三棱锥PABC的外接球的表面积是225744()572SR.16对于函数 sin ,0,212 ,2,2xxf xf xx，有下列 4 个命题：任取12,0,x x ，都有122f xf x恒成立； *22fxkfxkkN，对于一切0,x恒成立；函数 ln1yf xx有 3 个零点；对任意0 x ，不等式 2f xx恒成立则其中所有真命题的8序号是_【答案】【解析】对于，如图：任取12,0,x x ，当12,0,2x x ，12
13、12sinsin2f xf xxx，当2,x，11( )(2)sin 22nf xf xn，*nN，12,0,x x，122f xf x，恒成立，故正确；对于，1( )(2)2f xf x，1(2 )( )2kf xkf x，*( )2(2 )kf xf xkkN，故错误；对于， ln1f xx的零点的个数问题，分别画出 yf x和ln1yx的图像，如图： yf x和ln1yx图像由三个交点， ln1f xx的零点的个数为3，故正确；对于，设2 ,22xkk，kN， sin ,0,212 ,2,2xxfxfxx，max1( )2kf x，kN，9令 2g xx在2 ,22xkk，kN，可得 m
14、in11g xk，当0k 时，0,2x，max( )1f x， min1g x， maxmin( )f xg x，若任意2x ，不等式 2f xx恒成立，即 maxmin( )f xg x，可得1112kk，求证：当1k 时，1112kk，化简可得21kk，设函数( )21kT kk，则( )2 ln2 10kT k ，当1k 时，( )T k单调递增，可得( )(1)0T kT，( )210kT kk ，21kk，即1112kk，综上所述，对任意0 x ，不等式 2f xx恒成立，故正确，故答案为三三、解解答答题题：共共 70 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演
15、演算算步步骤骤，第第 1721 题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答（一一）必必考考题题：共共 60 分分17.已知函数( )cos()(0,0)f xx 的图像经过点1,62，图像与 x 轴两个相邻交点的距离为（1）求 fx的解析式：（2）若335f ，求sin的值解： （1）由已知得2T，2T，则1，所以 cosf xx又162f ，所以1cos62 ，又0，所以7666.所以263，即2，所以( )cossin2f xxx .10（2）因为3sin335f ，所以3sin35，所以4co
16、s35 当4cos35时，34 3sinsincoscossin333310；当4cos35 时，34 3sinsincoscossin333310.所以，34 3sin10或34 310.18如图，在三棱柱111ABCA BC中，11BC 平面11AAC C，D是1AA的中点，ACD是边长为 1 的等边三角形（1）证明：1CDB D；（2）若3BC ，求二面角11BC DB的大小（1）证明：ACD是边长为 1 的等边三角形，60ADC，11120DAC，D是1AA的中点，111ADA DAC，即11AC D是等腰三角形，1130A DC，从而190CDC，即1CDC D11BC 平面11AA
17、C C，且CD 平面11AAC C，11BCCD，又1111BCC DC，11B C 平面11B C D，1C D 平面11B C D，CD平面11B C D，1B D 平面11B C D，1CDB D11（2）解：连接1CA，112CDAA，1ACCA以C为原点，CA、1CA、CB所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(0,0, 3)B，1( 1, 3,0)C ，13( ,0)22D，1( 1, 3, 3)B ，1( 1BC ，3，3)，133( ,0)22C D ，133( ,3)22B D 设平面1BDC的法向量为(mx，y，) z，则1100m
18、BCm C D ，即33033022xyzxy ，令3x ，则3y ，2z ，( 3m ，3，2)，由（1）知，平面11B C D的一个法向量为2(1nCD ，3，0)，cosm，33 33| |23942m nnmn ，由图可知，二面角11BC DB为锐角，故二面角11BC DB的大小为3019 2020 年 1 月 15 日教育部制定出台了 关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（也称“强基计划”） ， 意见宣布：2020 年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点
19、高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为16，35，m，其中01m.（1）若35m ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决12策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求m的范围.解:（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A，则 213113228P AC ；该考生报考乙大学恰好通过一门笔
20、试科目为事件B，则 215326432266551507525P B.（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，根据题意可知，13,2XB，则13322E X ，报考乙大学通过的科目数为Y，随机变量Y的可能取值为：0，1，2，3.32551016mP Ym，02532551517711666351mP Ymmm，112533 1421656565303mP Ymmm，5103316PmYm，随机变量Y的分布列：Y0123P13m17730m3 1430m10m 11773 14230123330301030mmmmE Ym ，因为该考生更希望通过甲大学的笔试， E YE X，则233302m，
21、所以m的范围为：01115m.20已知椭圆C：222210 xyabab的离心率为63，右焦点到直线222ax 的距离为22.（1）求椭圆C的方程；（2）过点2,0F 作与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点M，使得MAB为正三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解解: （1）椭圆C：222210 xyabab的离心率为631363ca，可得2223ca故2232ac右焦点到直线222ax 的距离为22.22222ac当22222ac时，将2232ac代入可得22 32222cc整理可得：23 242 20cc即(32)( 22)0cc解得：23c （
22、舍去）或2c 由2232ac，可得23a ，即3a 根据222abc可得：1b 椭圆C的方程为：2213xy当22222ac 时，将2232ac代入可得22 32222cc 整理可得：23 242 20cc 方程无解椭圆C的方程为：2213xy（2）过点2,0F 作与坐标轴不垂直的直线l设直线l的方程为2(0)xmy m联立直线l的方程和椭圆C方程可得：22213xmyxy，消掉x可得：22( 2)33myy2232 210mymy 根据韦达定理可得：1221222 2313myymy ym 14222121212114ABmyymyyy y22222 211433mmmm2222281241
23、3mmmm222 3 13mm设线段AB的中点33,P x y，则3223mym ，3323 223xmymABMQV是正三角形ABPM且3=2PMAB根据ABPM，可得1ABPMkk 33()MMyym xx 22323 2|1013PMmxmm由3=2PMAB可得：222232 3 13 2133=2mmmm可得：21m ，解得：1m 设0,Mt，将其代入33()MMyym xx 可得330tymx ,可得3322 2232mtmxym 故在y轴上是存在点M，使得MAB为正三角形，坐标为20,2，20,221.已知函数( )2ln()f xaxb，其中 a，bR（1）若直线yx是曲线( )
24、yf x的切线，求 ab 的最大值；（2）设1b ，若关于 x 的方程222( )21f xa xaa xa有两个不相等的实根，求 a 的最大整数值 （参考数据：5ln0.2234）解： （1）设直线yx与( )yf x相切于点00,2lnP xaxb因为2( )afxaxb，所以0021afxaxb15所以02 (0)axba a又因为 P 在切线yx上，所以002ln axbx所以002ln2ln2xaxba，0222 ln2baaxaaa，因此2222ln2 (0)abaaa a.设22( )22ln2 (0)g aaaa a，则由( )24 ln22 (12ln2 )0g aaaaaa
25、解得02ea.所以( )g a在e0,2上单调递增，在,2e上单调递减，可知( )g a的最大值为ee24g，所以ab的最大值为4e.（2）方法 1：原方程即为22ln(1)(1)(1)axaxa ax，设1axt ，则上述方程等价于22ln(0)ttat t设2( )2ln(0)p tttat t，则函数( )p t需有两个不同的零点因为2( )2p ttat在0 ，上单调递减，且( )0p t在0 ，上存在唯一实根0t，即0( )0p t，即20022att所以当00,tt时，( )0p t，当0,tt时，( )0p t因此 p t在00,t上单调递增，在0,t 上单调递减若0a ，则0(
26、0,1)t 2222000000000( )2ln2ln222ln20p tp tttatttttt，不合题意，舍去若0a ，则0(1,)t 当(0,1)t时，则2( )2ln2ln|p tttatta，取| |21et，则 10p t；当(1,)t时，则222( )2ln2(1)(2)p tttatttatta t ，16取22 |ta ，则 20p t由此102ttt，且 10p t， 20p t.要使函数2( )2ln(0)p tttat t有两个不同的零点，则只需 200002ln0p tttat，所以只需 2220000002ln222ln20p tttttt.因为 20002ln2
27、p ttt是关于0t的增函数且(1)10p ，5572ln04416p所以存在51,4m使得( )0p m ，所以当0tm时， 00p t因为0022att是关于0t的减函数，所以002222atmtm又因为292,010mm ，所以a的最大整数值为1方法 2：原方程即为22ln(1)(1)(1)axaxa ax，设1axt ，则原方程等价于关于t的方程22ln0(0)ttatt有两个不同的解，即关于t的方程22ln(0)ttatt）有两个不同的解设22ln( )tth tt，则2222ln( )tth tt.设2( )22lnm ttt，由0t 知2( )20m ttt ，所以2( )22l
28、nm ttt在区间(0,)上单调递减，又575(1)10,2ln04164mm ，所以存在051,4t使得 00m t.当00,tt时，( )0m t ，( )0h t；当0,tt时，( )0m t ，( )0h t所以 h t在0,t上单调递增，在0t ，上单调递减，所照 22000000002ln22292,010ttth ttttt 17要使得关于t的方程22ln(0)ttatt有两个不同的解，则 0ah t.当1a 时，设2( )2lnp tttt，则2( )21p ttt，可知( )p t在1170,4上单调递增，在117,4单调递减又(1)0p，11704p，2(e)2ee0p，
29、p t有两个不同的零点，符合题意所以a的最大整数值为1（二二）选选考考题题：共共 10 分分请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分22.在直角坐标系xOy中， 设倾斜角为的直线2cos:3sinxtlyt（t为参数） 与曲线2cos:sinxCy（为参数）相交于不同的两点,A B.（1）若3，求线段AB中点M的坐标；（2）若2PAPBOP，其中23P,，求直线l的斜率.解：设直线l上的点，对应参数分别为1t，2t将曲线C的参数方程化为普通方程2214xy（1）当3时，设点对应参数为0t直线l方程为122332
30、xtyt（t为参数） 代入曲线C的普通方程2214xy，得21356480tt，则12028213ttt ，所以，点的坐标为123,1313（2）将2cos3sinxtyt代入2214xy，得222cos4sin8 3sin4cos120tt，因为1 22212cos4sint t ，27，所以22127cos4sin18得25tan16由于32cos2 3sincos0 ，故5tan4所以直线l的斜率为5423设函数( )23f xxxxm，1,4( )xRf xm 恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）求证：log(2)log(3)mm(m+1) (m+2)解:（1）由题意知1,4( )
31、xRf xm 恒成立，即1423xxxmm恒成立，1234mxxxm即恒成立.234xxxx令g( )=33,2,1, 23,5,3.xxxxxx 可得函数 g x在,3上是增函数，在3,上是减函数，所以 max32g xg，则 max12mg xm，即120mm，整理得221210mmmmm，解得0m ，综上实数m的取值范围是0,.（2）由0m ，知321 1mmm ，即lg3lg2mmlg1lg10m，所以要证12log2log3mmmm，只需证lg2lg3lg1lg2mmmm，即证2lg1 lg3lg2mmm，又2lg1lg3lg1 lg32mmmm2lg134mm222lg44lg24mmm，12log2log3mmmm成立.
