1、1成成都都七七中中高高 2022 届届三三诊诊模模拟拟数数学学（文文科科）答答案案一一选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分.在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1.设全集U是实数集R，已知集合2 |2 Ax xx，2 |log (1)0Bxx，则()UC AB =CA. |12xxB. |12xx C. |12xxD. |12xx 2.已知 i 为虚数单位，则3(1)1iiiBA. 1B. 1C.1iD.1 i【详解】3(1)(11) ()1111iiiiiiii ，故本题选 B.3
2、.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数( )f x在区间( , )a b内有零点，则( ) ( )0f a f b B.6是3与9的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,mee1236nee，则mnD. 已知角终边经过点(3, 4)，则4cos5 【详解】A. 已知函数 f x在区间, a b内有零点，不一定有 0f a f b ，还有可能 0f a f b ，所以该选项错误.B.6是3与9的等比中项是错误的，因为3与9的等比中项是3 3；C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,mee1236nee，所以3nm，所以mn，所以该选项是正确的；D. 已知角
3、终边经过点3, 4，则3cos5，所以该选项是错误的.故答案为：C4.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）3在42yxy的交点(6,3)M处，目标函数z最大值为 16，所以6416a ，所以2a 故选：A8.已知ABC中，22BCBA BC ，点P为BC边上的动点，则PCPAPBPC 的最小值为（）A. 2B.34C.2D.2512【答案】D【详解】以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得1 01 0BC ， ，设0P aA x y， ，由2BA BC ，可得 12 0222xyx ，即20 xy ，则 101100PCPAPBPCaxaaa y ，213
4、12332axaaaaa 21253612a，当16a 时，PCPAPBPC 的最小值为2512故选：D9在正方体1111ABCDABC D中，E，F，G分别为1AA，BC，11C D的中点，现有下面三个结论：EFG为正三角形；异面直线1AG与1C F所成角为60；/ /AC平面EFG.其中所有正确结论的编号是（）ABCD【答答案案】D【解解析析】计算出三边是否相等；平移1AG与1C F，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；探究平面EFG内是否有与AC平行的直线【详解】4易证EFG的三边相等，所以它是正三角形.平面EFG截正方体所得截面为正六边形，且该截面与1CC的交点为1CC的中点
5、N，易证/ /ACEN，从而/ /AC平面EFG.取11AB的中点H，连接1C H，FH，则11/ /AGC H，易知11C HC FHF，所以1C H与1C F所成角不可能是60，从而异面直线1AG与1C F所成角不是60.故正确.10已知1F，2F是双曲线2222:1xyEab（0a ，0b ）的左、右焦点，其半焦距为c，点P在双曲线E上，1PF与x轴垂直，1F到直线2PF的距离为23c，则双曲线E的离心率为（）A2B3C32D2【答案】A【解析】因为1PF与x轴垂直，所以12PFF为直角三角形且直角顶点为1F，因为122FFc，1F到直线2PF的距离为23c，故21213sin23cPF
6、 Fc因为21PF F为锐角，故212 2cos3PF F，212tan4PF F在12PFFRt中，121222tan242PFcPF Fcc，22123 2cos2cPFcPF F由双曲线的定义可得2122aPFPFc，故2cea11设过定点(0,2)M的直线l与椭圆C：2212xy交于不同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为（）A65,2B665, 533C6, 52D665, 522【答案】D5【详解】显然直线0 x 不满足条件，故可设直线l：2ykx，11,P x y，22,Q xy，由22122xyykx，得2212860kxkx，22642
7、4 120kk ，解得62k 或62k ，12281 2kxxk ，12261 2x xk，02POQ ，0OP OQ ，1212121222OP OQx xy yx xkxkx 21212124kx xk xx2222226 11610240121212kkkkkk，解得55k，直线l的斜率k的取值范围为665, 522k .故选：D.12若关于x的不等式20 xxeaxa的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（）A221,53eeB1,34eeeC1,3eeD,4eee【解析】原不等式可化为2xaxaxe，设 2,xf xaxa g xxe，则直线 2f xaxa过定点1,02，由题意
8、得函数 xg xxe的图象在直线 2f xaxa的下方 xg xxe， 1xgxxe设直线 2f xaxa与曲线 xg xxe相切于点,m n，则有21 2mmamemeama，消去a整理得2210mm ，解得12m 或1m（舍去） ，故切线的斜率为11221121222eaeee ，解得4eae又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当1x 时，113 ,1fa ge ，由611fg解得13ae当直线 2f xaxa绕着点1,02旋转时可得134eaee，故实数a的取值范围是1,34eee选 B二二、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分13.有甲
9、、乙、丙三项任务，甲、乙各需 1 人承担，丙需 2 人承担且至少 1 人是男生现有 2 男 2 女共 4 名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是_ （用具体数字作答）【答案】1014.已知ABC的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c若1cos3A ，23bc，且ABC的面积是2，则sinC _.【答案】2 23【详解】因为1cos3A ，sin(0, )A，所以22 2sin1cos3AA,又因为ABC的面积是2,所以1sin22bcA,而23bc,所以2b ,3 22c ,由余弦定理可知：2223 22cos2bcAaabc，而ABC的面积是2，所以有12 2223sinCsinC
10、ab.15已知函数 sin ,0,212 ,2,2xxf xf xx，则函数 ln1yf xx有的零点个数是_个【答案】3【解析】分别画出 yf x和ln1yx的图像，如图：7 yf x和ln1yx图像由三个交点， ln1f xx的零点的个数为3，16圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为_.【答答案案】9:32【详解】设圆锥底面圆的半径为 r,圆锥母线长为 l，则侧面积为rl，侧面积与底面积的比为2rl2lrr,则母线 l=2r,圆锥的高为 h=223lrr,则圆锥的体积为2313h33rr,设
11、外接球的球心为 O,半径为 R,截面图如图，则 OB=OS=R,OD=h-R=3rR,BD=r,在直角三角形 BOD 中，由勾股定理得222OBODBD,即2223RrrR,展开整理得 R=2,3r所以外接球的体积为33344832333 39 3rRr,故所求体积比为3339332329 3rr三三、解解答答题题：共共 70 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤，第第 1721 题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答（一一）必必考考题题：共共 60 分
12、分17.已知函数( )cos()(0,0)f xx 的图像经过点1,62，图像与 x 轴两个相邻交点的距离为（1）求 fx的解析式：（2）若335f ，求sin的值解： （1）由已知得2T，2T，则1，所以 cosf xx8又162f ，所以1cos62 ，又0，所以7666. 所以263，即2，所以( )cossin2f xxx .（2）因为3sin335f ，所以3sin35，所以4cos35 当4cos35时，34 3sinsincoscossin333310；当4cos35 时，34 3sinsincoscossin333310.所以，34 3sin10或34 310.18在世界读书日
13、期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为 200 的样本，其中城镇居民 140 人，农村居民 60 人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有 100 人，农村居民有 30 人.（1）填写下面列联表，并判断能否有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出 7 人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这 7位居民中随机选取 2 人作交流发言，求被选中的 2 位居民都是经常阅读居民的概率.附：22()()()()()n adbcKa b c d a c b d，其中nabcd
14、 .20P Kk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.8289解： （1）由题意可得：城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则22200 (100 3040 30)8.4776.635140 60 130 70K，所以有 99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）在城镇居民 140 人中，经常阅读的有 100 人，不经常阅读的有 40 人.采取分层抽样抽取 7 人，则其中经常阅读的有 5 人，记为A、B、C、D、E；不经常阅读的有 2 人，记为X、Y.从这 7 人
15、中随机选取 2 人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，AE，AX，AY，BC，BD，BE，BX，BY，CD，CE，CX，CY，DE，DX，DY，EX，EY，XY，共 21 种，被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，所求概率为1021P .19如图，在三棱柱111ABCA B C中，1112 2A AABAC，2ABAC，90BAC（1）证明：平面1A BC 平面111A B C；（2）求四棱锥111ABCC B的体积【解析】 （1）证明：取BC的中点M，连接AM，1A M，2ABAC，90BAC，2 2BC，2AM ，112 2ABACBC，1A MBC，16AM ，222
16、11AMAMA A，即1A MAM，10又BCAMM，BC、AM 平面ABC，1A M平面ABC，1A M 平面1A BC，平面1A BC 平面ABC，平面/ /ABC平面111A B C，平面1A BC 平面111A B C（2）解：由（1）知，1A M 平面ABC，三棱柱的高为16AM ，而1122222ABCSAB AC ，1622 6ABCVAM S三棱柱，1112 633AABCABCVAM S，四棱锥111ABCC B的体积12 64 62 633AABCVVV三棱柱20.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1(3,0)F ，且C经过点1( 3, )2P.（1）求C的方程；（2） 设
17、C与y轴的正半轴交于点D， 直线l：ykxm与C交于A、B两点 （l不经过D点） ， 且ADBD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.解： （1）由题意，设椭圆C：22221(0)xyabab，焦距为2c，则3c ，椭圆的另一个焦点为23,0F，由椭圆定义得12712422aPFPF，2a ，221bac，所以C的方程2214xy.（2）由已知得0,1D，由2214ykxmxy得222148440kxkmxm，11当0 时，11,A x y，22,B xy，则122814kmxxk，21224414mx xk，121222214myyk xxmk，2212122414mky ykxmkx
18、mk，由ADBD得1212110DA DBx xyy ，即22523014mmk，所以，25230mm，解得1m或35m ，当1m时，直线l经过点D，舍去；当35m 时，显然有0 ，直线l经过定点30,5.21已知函数 324xaxfxx （1）求函数 f x在0 x 处的切线方程；（2）若对任意的0,x， 4ln8f xfxx恒成立，求a的取值范围；（3）当3a 时，设函数 g xf xkx证明：对于任意的1k ，函数 g x有且只有一个零点解： （1） 324xaf xxx， 2321fxxax，切线的斜率 10f ， 04f，切线的方程为40yx，即40 xy（2）对任意的0,x， 4l
19、n8f xfxx恒成立，即对任意的0,x，22ln0axx恒成立，即对任意的0,x，22ln xax恒成立令 22ln,0 xh xxx，则 32 2ln1xh xx由 0h x，得xe；由 0h x，得0 xe h x在0, e上单调递减，在, e 上单调递增， min2ln1eh xheee ，1ae ，故a的取值范围为1,e12（3）证明：当3a 时， 32314xxxg xk，1k ，10k ，当0 x 时， 23610gxxxk ， g x在,0上单调递增又 04g，110gk ， 100gg，由零点存在定理可得函数 g x在1,0上至少有一个零点，又 g x在,0上单调递增， g
20、x在,0上有且只有一个零点当0 x 时，令 3234m xxx，则 1g xm xk xm x 23632m xxxx x，令 0m x，得2x ；令 0m x，得02x， m x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， min20,0m xmm x在0,上恒成立， 0g x恒成立，即 g x在0,上没有零点综上，对于任意的1k ，函数 g x有且只有一个零点（二二）选选考考题题：共共 10 分分请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分22.在直角坐标系xOy中， 设倾斜角为的直线2cos:3sinxtlyt（t
21、为参数） 与曲线2cos:sinxCy（为参数）相交于不同的两点,A B.（1）若3，求线段AB中点M的坐标；（2）若2PAPBOP，其中23P,，求直线l的斜率.解：设直线l上的点，对应参数分别为1t，2t将曲线C的参数方程化为普通方程2214xy（1）当3时，设点对应参数为0t直线l方程为122332xtyt（t为参数） 代入曲线C的普通方程2214xy，得21356480tt，则12028213ttt ，所以，点的坐标为123,131313（2）将2cos3sinxtyt代入2214xy，得222cos4sin8 3sin4cos120tt，因为1 22212cos4sint t ，27
22、，所以22127cos4sin得25tan16由于32cos2 3sincos0 ，故5tan4所以直线l的斜率为5423设函数( )23f xxxxm，1,4( )xRf xm 恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）求证：解:（1）由题意知1,4( )xRf xm 恒成立，即1423xxxmm恒成立，1234mxxxm即恒成立.234xxxx令g( )=33,2,1, 23,5,3.xxxxxx 可得函数 g x在,3上是增函数，在3,上是减函数，所以 max32g xg，则 max12mg xm，即120mm，整理得221210mmmmm，解得0m ，综上实数m的取值范围是0,.（2）由0m ，知321 1mmm ，即lg3lg2mmlg1lg10m，所以要证12log2log3mmmm，只需证lg2lg3lg1lg2mmmm，即证2lg1 lg3lg2mmm，又2lg1lg3lg1 lg32mmmm2lg134mm222lg44lg24mmm，12log2log3mmmm成立.
