1、2.3.1 2.3.1 等差数列的求和公式 (第一课时) 1 1.数列前n项和的定义 一般地，称_ 为数列an的前n项和， 用Sn表示，即Sn _. Sn与通项an之间的关系： a1a2a3an a1a2a3an 新课讲解 知，an? S1，n1，SnSn1，n2. 2 2. 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn_ Sn_ n?a1an?2 na1n?n1?2d 求和公式变形： 2) 1 (1nnaaanaS?中中，?AdBAaBnAnSn2)2(123 等差数列前n项和公式的函数特征 (2)当A0，B0时，Sn0是关于n的常数函数(此时a10，
2、d0)； 当A0，B0时，SnBn是关于n的正比例函数(此时a10， d0)； 当A0，B0时，SnAn2Bn是关于n的二次函数(此时d0) (1)等差数列的前 n 项和公式 Snna1n?n1?2d 通过变形，可得Snd2n2?a1d2n 的形式我们可以令 Ad2，Ba1d2，则 Snna1n?n1?2d 可改写为 SnAn2Bn. 4 题型一题型一 与等差数列前与等差数列前n项和有关的基本量的计算项和有关的基本量的计算 (2)a14，S8172，求a8和d. (3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n. (1)a156，an32，Sn5，求 n 和 d. 【例例1】 在等差数列an中
3、例题讲解 5 解解 (1)由题意，得 Snn?a1an?2n?563225， 解得 n15. 又 a1556(151)d32， d16. (2)由已知，得 S88?a1a8?28?4a8?2，解得 a839， 又a84(81)d39，d5. 6 (3)由? ana1?n1?d，Snna1n?n1?2d， 得? a12?n1?11，na1n?n1?2235，解方程组得? n5，a13或? n7，a11. 7 1. 在等差数列an中； (1)已知a610，S55，求a8和S10； (2)已知a3a1540，求S17. 解 (1)? S55a1542d5，a6a15d10， 解得 a15，d3. a
4、8a62d102316. S1010a11092d10(5)59385. (2)S1717?a1a17?217?a3a15?217402340. 跟踪练习 8 题型二题型二 利用利用Sn与与an的关系求的关系求an 解解 (1)当n1时，a1S1325. 当n2时，Sn132n1， 又Sn32n， anSnSn12n2n12n1. 【例 2】 (1)已知数列 an的前 n 项和 Sn32n，求 an. (2)数列 an的各项都为正数，且满足Sn?an1?24(nN*，求数列的通项公式an. 9 化简得(an1an)(an1an2)0， 因为an0，an1an2， 又4S14a1(a11)2得a
5、11， 故an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1. 又当又当 n1 时，时， a121115， an? 5 ?n1?，2n1 ?n2?. (2)法一法一 (消消 Sn)；由；由 Sn?an1?24(nN*)，得，得 4an14(Sn1Sn)(an11)2(an1)2 10 法二 (消 an)：由上可知 2 Snan1，2 SnSnSn11(n2)， 化简可得( Sn1)2Sn1， ( Sn Sn11)( Sn Sn11)0， 又 S11，an的各项都为正数， 所以 Sn Sn11. 所以 Snn，从而 Snn2， 所以 anSnSn12n1(n2)，a11 也适合，故 an2n1
6、. 11 (2)已知一个数列的前 n项和为Snn2n1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？ 解 (1)a1S15， 当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1， 当n1时也适合，an4n1. 1. (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，求an. 跟踪练习 12 (2)当 n2 时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n； 当 n1 时，a1S11，an? 1，n1，2n，n2. a2a14132， 数列an中每一项与前一项的差不是同一个常数， an不是等差数列 13 2已知数列an中，a12，nan+1S Sn+n(n+1) 求证：an是等差数列. 4
7、已知数列an中，a11，)2( ,1222?nSSannn， （1）求 an （2）设存在正数 k，使12)1).(1)(1 (21?nkSSSn对一切? Nn都成立，求 k 的最大值。 3 已知数列an中， a12，nnnSaSaSaS?24.24242211 ,求 an. 14 题型三题型三 求数列求数列|an|的前n项和 【例例3】 已知数列 an的前 n 项和 Sn32n22052n，求数列|an|的前 n 项和 Tn. 规范解答规范解答 a1S1321220521101. 当 n2 时， anSnSn1 ?32n22052n ?32?n1?22052?n1? 15 3n104. n1
8、也适合上式， 数列通项公式为an3n104(nN*) 由an3n1040，得n34.7. 即当n34时，an0；当n35时，an0，此时TnSnn210n； 当n5时，an5?. 跟踪练习 18 方法技巧 等差数列中创新型问题的求解策略 关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现 【示例】 下表给出一个“ 等差数阵” ： 4 7 ( ) ( ) ( ) a1j 7 12 ( ) ( ) ( ) a2j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a3j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a4j ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 19 其中每行、每列都是等差数列，
9、aij表示位于第i行第j列的数 (1)写出a45的值； (2)写出aij的计算公式 解 (1)通过观察“ 等差数阵” 发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a4549. 20 (2)该该“ 等差数阵等差数阵” 的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j43(j1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a2j75(j1)； 第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数列，因此，ai
10、j43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j. 21 2.3.1 2.3.1 等差数列的求和公式 (第二课时) 22 1. 1. 等差数列前n n项和的性质 (1)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为_. (2) (3)设两个等差数列 an、bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则 anbnS2n1T2n1. m2d 新课讲解 (3)设两个等差数列 an、bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则 anbnS2n1T2n1. 23 (3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， 若 ，则S偶
11、S奇 = 若 ， 则 kn2?kd12 ?kn?中偶中奇kaSakS) 1(kkSS1?偶奇24 思考：如果数列的前 n项和公式SnAn2Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？ 提示：由Sna1a2a3an1an 得Sn1a1a2a3an1(n2) 由得anSnSn1(n2)，S1a1， 又SnAn2Bn， 当n2时，anSnSn12AnAB. 当n1时，a1S1AB符合上式， an2AnAB(nN*) 数列an是等差数列，首项为AB，公差为2A. an? S1?n1?，SnSn1?n2?， 25 2. 2. 等差数列前n n项和的最值 (1)在等差数列an中 当 a10，d
12、0 时，Sn有_值，使 Sn取到最值的 n 可由不等 式组 确定； 当 a10 时，Sn有_值，使 Sn取到最值的 n 可由不等 式组 确定 (2)因为 Snd2n2?a1d2n，若d0，则从二次函数的角度看：当 d0 时，Sn有_值；当 d0 时，Sn有_值；且 n 取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值 最大 最小 最小 最大 ? an0an10 ? an0an10 26 题型一题型一 等差数列前等差数列前n项和性质的应用项和性质的应用 (2)一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和 (3)两个等差数列ann的前n项和分别为Sn,Tn, 1）若 , 求 ；
13、2）若 ，求 【例例1】 (1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n. 例题讲解 3225?nnbann77TS3225?nnTSnn77ba27 解解 (1)由题意可知 a1a2a636 anan1an2an5180 得 (a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216. a1an36.又 Snn?a1an?2324， 18n324. n18. 28 (2)法一 设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则Snna1n?n1?2d. 由已知得? 10a11092d100100a1100992d10 10，整
14、理得 d1150， 代入，得 a11 099100. 29 S110110a11101092d 1101 0991001101092?1150 110?1 09910911100110. 故此数列的前故此数列的前 110 项之和为110. 30 法二法二 数列 S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100为等差数列，设公差为 d，则 10S101092dS10010， 又S10100，代入上式得 d22， S110S100S10(111)d10010(22) 120， S110120S100110. 31 法三法三 设等差数列an的前 n 项和 Snan2bn. S10
15、100，S10010， ? 102a10b100，1002a100b10，? a11100，b11110， Sn11100n211110n， S11011100110211110110110. 规律：等差数列中， Sm=n,Sn=m，则Sm+n= (m+n) 32 1. 等差数列中， (1)am=n， an=m，求证：am+n= 0 (2)Sm=Sn，求证：Sm+n= 0 (3)Sm=n,Sn=m，求证：Sm+n= (m+n) 跟踪练习 33 3. 等差数列中，S30=90，a3+a6+a9+a30=36 (1)求d (2)求a1+a4+a7+a28 2. 等差数列中，S3=45，Sn=360
16、, Sn-3=225,求n 34 【例2】一个等差数列的前 12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为 3227，求公差d. 解 法一 设此数列首项为a1，公差为d， S偶S奇6d，d5. 则? 12a1121211d3546?a1d?12652d6a112652d3227， 解得 d5. 法二 ? S奇S偶354S偶S奇3227? S偶192，S奇162. ? 12a1121211d3546?a1d?12652d6a112652d3227， 解得 d5. 法二 ? S奇S偶354S偶S奇3227? S偶192，S奇162. 35 跟踪练习 1.一个等差数列有奇数项，奇数项和为 13
17、2， 偶数项和为120，求项数。 36 题型二 等差数列前n项和的最值问题 【例 2】 已知数列an，anN*，Sn是其前 n 项和，Sn18(an 2)2. (1)求证an是等差数列； (2)设 bn12an30，求数列 bn的前 n 项和的最小值 37 解 (1)证明 当 n1 时，a1S118(a12)2，解得 a12. 当 n2 时， anSnSn118(an2)218(an12)2， 即 8an(an2)2(an12)2， 整理得，(an2)2(an12)20，即(anan1)(anan14)0. anN*，anan10，anan140，即 anan14(n2) 故an是以 2 为首
18、项，4 为公差的等差数列 38 (2)解解 设bn的前 n 项和为 Tn，bn12an30，且由 (1)知 an2(n1)44n2， bn12(4n2)302n31， 故数列 bn是单调递增的等差数列 令 2n310，得 n1512， nN*，当 n15 时，bn0； 当 n16 时， bn0， 即 b1b2 b150b16b17， 当 n15 时，Tn取得最小值， 最小值为 T15291215225. 39 1. 已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式； (2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值 解 (1)由a19，a4a70， 得a13da16d0，
19、解得d2， ana1(n1)d112n. (2)法一 a19，d2， Sn9nn?n1?2(2) 跟踪练习 40 n210n (n5)225 当当n5时，时，Sn取得最大值 法二法二 由由(1)知知a19，d20，n6时，an0. S5最大 令 an0，则 112n0，解得 n112. 41 2.2.等差数列中， (1) 求求S Sn最大值； (2) (2) 求求S Sn最大值； (3) 求求T Tn=|a1|+|a2|+|a|+|an| | ,201?a, 4?d, 3?d, 4?d42 已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn. 解(1)设等差
20、数列an的公差为d， 因为a37，a5a726，所以有 题型三 裂项相消法求数列的和 【例3】 (2)令 bn1an21(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn. ? a12d7，2a110d26，解得 a13，d2. 43 所以 an32(n1)2n1； Sn3nn?n1?22n22n. (2)由(1)知 an2n1，所以 bn1an211?2n1?21141n?n1?14?1n1n1 所以 Tn14?11212131n1n1 14?11n1n4?n1?. 即数列bn的前 n 项和 Tnn4?n1?. 44 1.已知数列an是等差数列，其前 n项和为Sn， a36，S312. (1)求数列
21、an的通项公式； 解 (1)? a3a12d6，S33a13d12，a12，d2， an2(n1)22n. (2)由(1)知 Sn2nn?n1?22n(n1) 1S11S21Sn1121231n?n1?112?1213?1n1n111n1nn1. (2)求1S11S21Sn. 跟踪练习 45 (1)求数列an的通项公式； 题型四题型四 等差数列的综合应用等差数列的综合应用 【例 4】 设数列an的前 n 项和为 Sn，点?n，Snn(nN*)均在函 数 y3x2 的图象上 (2)设 bn3anan1，Tn是数列bn的前 n 项和，求使得 Tnm20对所有 nN*都成立的最小正整数 m. 46
22、规范解答 (1)依题意得，Snn3n2，即 Sn3n22n. 当 n2 时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5； 当 n1 时，a1S131221615 适合， 所以 an6n5(nN*)(5 分) (2)由(1)得 bn3anan13?6n5?6?n1?5 12?16n516n1，(7 分) 47 故 Tnb1b2bn12? ?117?17113 ?16n516n112?116n1.(10 分) 因此，使得12?116n1m20(nN*)成立的 m 必须满足12m20，即 m10，故满足要求的最小整数m 为10.(12 分) 48 解 (1)an2SnSn1， SnSn
23、12SnSn1(n2)，又 Sn0(n1,2,3，)， 1Sn1Sn12. 又1S11a12， ?1Sn是以 2 为首项，2 为公差的等差数列 1.1. 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ( S n 0) ，且满足 a n 2 S n S n 1 0( n 2) ， a 1 1 2 . (1) 求证： ? ? ? ? ? ? 1 S n 是等差数列； (2) 求数列 a n 的通项公式 跟踪练习 49 (2)由(1)可知1Sn2(n1)22n，Sn12n. 当 n2 时，anSnSn112n12?n1?12n?n1? ?或当n2时，an2SnSn112n?n1?； 当 n1 时，S1
24、a112. an? 12，n1，12n?n1?，n2. 50 误区警示 分析问题不严密致误 【示例】 在等差数列?an中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且 S10S15，求当 n 取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值 错解 设公差为 d， S10S15， 10201092d152015142d， 得 120d200，即 d53， an20(n1)53， 51 当当 an0 时，时，20(n1)530， n13，n12 时，Sn最大，最大， S12122012112?53130. 当 n12 时，Sn有最大值有最大值 S12130. 解中仅解不等式an0是不正确的，事实上应解an0，
25、an10. 52 S10S15，S15S10a11a12a13a14a150， a11a15a12a142a130，a130. 公差d0，a10， a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数 当n12或13时，Sn有最大值为S12S13130. 正解 法一 由 a120，S10S15，解得公差 d53. 法二 SnAn2Bn，由题意对应函数 yAx2Bx 的对称轴为 x1015212.5， 故当 n12 或 13 时，Sn有最大值 53 则? B2A25220AB，解得? A56，B1256. S13S1256122125612130 为最大值 54 跟踪练习 1.1.等差数列中， 求求(1) (1) 最大时的n n值；值； (2) (2) 的最大n n值。 |1110aa?, 0, 011101110?aaaanS0?nS55
