1、等差数列的证明和最值 等差数列证明 等差数列最值 规律总结 结束1 考查等差数列的定义，多以证明题的形式出现，要证明一个数列是等差数列的基本方法是证明an1and(nN*，d为常数)或2an1anan2成立对于实际问题，要结合题目的具体特点，灵活选取解答方法2345 得2(n1)an(n1)an1(n1)an1， n2，n10. 2anan1an1. 数列an为等差数列 点评：(1)是利用等差数列的定义进行证明； (2)是通过等差中项进行证明体会两种方法各自的特点6 由下列各表达式给出的数列an Sna1a2ann2； Sna1a2ann21； a2n+1anan2； 2an1anan2(nN
2、*) 其中表示等差数列的是() A B C D 答案：A7 规律总结：1.判断或证明数列an为等差数列，常见的方法有以下几种： (1)利用定义：an1and(nN*)或anan1d(nN*，n2)，其中d为常数；(2)利用等差中项：2an1anan2；(3)利用通项公式：若数列an的通项公式为andnc(d、c为常数)，则数列an为等差数列(当d0时，数列的通项公式是关于n的一次函数，该数列an为等差数列；当d0时，数列an为常数列，也是等差数列)； 8 (4)利用前n项和公式：若数列an的前n项和公式为Snan2bn(a、b为常数)，则数列an为等差数列但要注意，证明数列为等差数列必须用定义
3、或等差中项去证明；在选择题和填空题中，可用其他方法判断 2若要证数列an不是等差数列，可证明2a2a1a3.9 此题型常见有两类，一类是求数列中某项的最值问题；一类是求数列前n项和Sn的最值问题需要结合不等式、函数等知识综合解答 【例4】在等差数列an中，a125，S9S17，问此数列前几项的和最大？ 分析一：本题以数列为核心知识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法 由已知列方程，得出d，从而将Sn转化为关于n的二次函数求最值101112 解法三：由a125，S9S17，知此数列必递减，且a10a11a12a170，又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13
4、a14，4(a13a14)0， 数列递减，a13a14，a130a14， 故此数列前13项和S13最大 分析四：先求出d，然后利用an0，an10解n. 解法四：同解法一求得d2，由an0且 an10得 13n0且为递减数列时，前n项和Sn有最大值；当a10得n0，S130，a1a2a120， 即a12a11a10. 以上两式相加得(a1a12)(a2a11)(a12a1)0，由等差数列性质知，12(a1a12)0，即a6a70. 同理，由S130得a70，a70.以下同方法二 方法四：等差数列前n项和可表示为SnAn2Bn(A0)， 又由第(1)问可知：d0，S130，20 A0，如图所示，设抛物线与x轴交于x0，则x0(12,13)，其对称轴为x(6,6.5) 因此，当n(6,6.5)时取最大值，又nN*， n6时，Sn最大2122 1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq.必须是两项相加，当然可以是aptapt2ap. 2等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d0. 3等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列2324
