1、第二十二章 二次函数 综合素质评价一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【2023珠海红旗中学期中】下列y关于x的函数中，是二次函数的是()Ay222x By5x2 C. y2x23x31 Dy 2【母题：教材P56复习题T3】在抛物线yx26x5上的一个点是()A(3，4) B(2，10) C(6，5) D(1，0)3将抛物线yx2向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是()A. yx23 Byx23 Cy(x3)2 Dy(x3)24【2022广州第七中学期末】对于二次函数yx24x7，下列说法正确的是()A图象开口向下 B当
2、x2时，y有最小值3C图象的顶点坐标为(2，3) D图象与x轴有两个交点5【2023广州中山大学附属中学月考】已知二次函数y3(x1)2k的图象上有三点A(0.5，y1)，B(2，y2)，C(2，y3)，则y1，y2 ，y3的大小关系为()Ay1y2y3 By3y2y1Cy3y1y2 D. y2y3y16如图，抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x2，下列结论正确的是()Aa0C当x2时，y随x的增大而增大 D当x2时，y随x的增大而增大 7. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的解析式为yx2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，水面宽度AB
3、为()A20 m B10 m C20 m D10 m8【2023东莞虎门第三中学期中】在同一直角坐标系内，一次函数yaxb与二次函数yax24xb的图象可能是()9二次函数yax2bxc的图象如图所示，对称轴为直线x1，图象与x轴相交于点(1，0)，则方程cx2bxa0的根为()Ax11，x23 Bx11，x23Cx11，x2 Dx11，x2 10如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，交y轴的负半轴于点C，顶点为D.下列结论：2ab0；2c3b；当m1时，abam2bm；当ABD是等腰直角三角形时，a.其中正确的有()A4个 B3个 C2个 D1个二、填空题：本大题
4、共5小题，每小题3分，共15分11把函数y(23x)(6x)化成yax2bxc的形式为_12已知二次函数y(xh)25，当x3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围为_13顶点为(2，1)，与抛物线yx24x3的形状、开口方向均相同的抛物线的解析式为_14【2023东莞可园中学期中】二次函数yax2bxc的图象如图所示，则关于x的不等式ax2bxc0的解集为_15. 【2022广州执信中学二模】某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 m，出手后铅球在空中运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式为yx2bxc，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点的水平距离为8 m，则该学
5、生推铅球的成绩为_m.三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分16已知函数y(a2)xa a(a3)x.(1)当a为何值时，此函数是二次函数；(2)当a为何值时，此函数是正比例函数17【2023惠州大亚湾金奥实验学校月考】把二次函数ya(xh)2k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y(x1)21的图象(1)试确定a，h，k的值；(2)指出二次函数ya(xh)2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标18已知抛物线yax2(1a)x1(a是常数，且a0)(1)若该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值；(2)若当x0时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件
6、的a的值四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分19【2023广州期中】如图，抛物线的顶点为点C(1，9)，与x轴交于A，B(4，0)两点 (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交点为点D，求SBCD.20【2022东莞启明星初级中学期中】如图，二次函数y(x2)2m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数ykxb的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kxb(x2)2m的x的取值范围 21【母题：教材P36例4】如图，喷泉的喷头喷出的水珠在空中形成抛物线，在抛物线各个
7、位置上，水珠的竖直高度y(单位：m)与它距离喷头的水平距离x(单位：m)之间满足函数解析式y2x24x6. (1)求水珠运动过程中距离地面的最大高度；(2)观赏的人站在距离喷头水平距离3.5 m的地方，会不会恰好被喷泉喷出的水打湿？请说明理由五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分22【母题：教材P50探究2】某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数解析式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润 W元与销售单价x元之间的函数解析式
8、；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？23【2023广州模拟】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A的坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)若点P是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标，并求出四边形ABPC的最大面积；(3)若点Q为抛物线对称轴上一动点，当点Q在什么位置时QAQC最小，求出点Q的坐标，并求出此时QAC的周长答案一、1.B2.D3.A4B【点拨】a10，图象开口向上yx24x7
9、(x2)23，当x2时，y取得最小值，最小值为3，顶点坐标为(2，3)，且图象开口向上，与x轴没有交点，故A，C，D错误，B正确5B【点拨】由y3(x1)2k可知，图象开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而减小根据二次函数图象的对称性可知，B点关于对称轴对称的点为(0，y2)，200.50.抛物线与y轴交于负半轴，c2时，y随x的增大而增大7C【点拨】把y4直接代入yx2，得4x2，解得x10，A(10，4)，B(10，4)，水面宽度AB为20 m.8B【点拨】由题意知一次函数yaxb的图象与y轴的交点为(0，b)，二次函数yax24xb的图象与y轴的交点为(0，b)b与b互为相
10、反数，A与C不正确；当a0时，一次函数yaxb的图象必经过第一、三象限，二次函数yax24xb的图象的开口向上，D不正确，故选B.9C【点拨】二次函数yax2bxc的图象的对称轴为直线x1，且图象与x轴相交于点(1，0)，图象与x轴的另一个交点为(3，0)，方程ax2bxc0的两个根为1和3，由根与系数的关系，得b2a，c3a.cx2bxa0，当x11，x2时符合题意10B【点拨】抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)抛物线的对称轴为直线x1，即1，2ab0，故正确；将A(1，0)的坐标分别代入yax2bxc，得abc0.又b2a，3b6a，a(2a)c0.c3a，2c6a.2c3b，故
11、错误；抛物线开口向上，对称轴是直线x1，当x1时，二次函数有最小值当m1时，abcam2bmc，即abam2bm，故正确；AB4，ABD是等腰直角三角形，ADBD，AD2BD242，解得AD28.设点D的坐标为(1，y)由题得1(1)2y2AD2，解得y2.点D在x轴下方，点D为(1，2)设二次函数的解析式为ya(x1)22.0a(11)22，解得a，故正确二、11.y3x220x1212h3 【点拨】二次函数y(xh)25，抛物线开口向上，对称轴为直线xh.又当x3时，y随x的增大而增大，h3，h3.13y(x2)21【点拨】抛物线的形状、开口方向与抛物线yx24x3相同，a.顶点为(2，1
12、)，抛物线的解析式为y(x2)21.14x1或x4 【点拨】ax2bxc0的解集即为二次函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的值，由图象可知当y0时，x4，ax2bxc0的解集为x1或x4.1510 【点拨】如图，由题意可知点A，点B，将点A，B的坐标分别代入yx2bxc，得解得yx2x.当y0时，0x2x，解得x110，x22(不符合题意，舍去)该学生推铅球的成绩为10 m.三、16.【解】(1)由题意得a2a2且a20，解得a1，当a1时，此函数是二次函数(2)由题意得a2a1且a2a30，或a2a1，a20且a30，解得a或a或a2，当a或或2时，此函数是正比例函数17【解
13、】(1)由题意可将二次函数y (x1)21的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到二次函数y(x1)25的图象，a，h1，k5.(2)二次函数y(x1)25的图象的开口向上，对称轴为直线x1，顶点坐标为(1，5)18【解】(1)抛物线yax2(1a)x1与x轴只有一个交点，方程ax2(1a)x10有两个相等的实数根(1a)24a0.解得a32 或a32.(2)yax2(1a)x1，对称轴为直线x.当x0时，y随x的增大而增大，若此时a0，且满足0，则符合题意，解得0a1.符合条件的a的一个值为a.(答案不唯一)四、19.【解】(1)抛物线的顶点为C(1，9)，设抛物线的解析式
14、为ya(x1)29.抛物线与x轴交于点B(4，0)，a(41)290，解得a1，抛物线的解析式为y(x1)29x22x8.(2)过点C作CEy轴于点E，抛物线与y轴交点为D，D(0，8)B(4，0)，C(1，9)，CE1，OE9，OD8，OB4，DEOEOD1，SBCD S梯形OBCESECDSOBD(14)911486.20【解】 (1)将点A(1，0)的坐标代入y(x2)2m，得 (12)2m0，解得m1.二次函数的解析式为y(x2)21.当x0时，y413，点C的坐标为(0，3)二次函数y(x2)21图象的对称轴为直线x2，C和B关于对称轴对称，点B的坐标为(4，3)将A(1，0)，B(
15、4，3)的坐标分别代入ykxb，得解得一次函数的解析式为yx1.(2)A，B的坐标分别为(1，0)，(4，3)，当kxb(x2)2m时，一次函数yx1的图象在二次函数y(x2)21的图象上方或相交，此时1x4.21【解】(1)y2x24x62(x22x)62(x1)28，顶点坐标为(1，8)，y的最大值为8，水珠运动过程中距离地面的最大高度为8 m.(2)当x3.5时，y2(3.51)28284.50，不会恰好被喷泉喷出的水打湿五、22.【解】(1)根据题意得y200(80x)2020x1 800，销售量y件与销售单价x元之间的函数解析式为y20x1 800.(2)根据题意得W (x60)y(
16、x60)(20x1 800)20x23 000x108 000，销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数解析式为W20x23 000x108 000.(3)根据题意得20x1 800240，解得x78，76x78，W20x23 000x108 000，对称轴为直线x75.a200，抛物线开口向下，当76x78时，W随x的增大而减小，当x76时，W有最大值，W最大值(7660)(20761 800)4 480.商场销售该品牌童装获得的最大利润是4 480元23【解】(1)将A(1，0)，C(0，3)的坐标分别代入yx2bxc，得解得二次函数的解析式为yx22x3.(2)yx22x3，
17、令y0，得x3或x1，B(3，0)设经过点B，C的直线解析式为ykxm，将B(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入ykxm，则解得经过点B，C的直线解析式为yx3.设点P的坐标为(x，x22x3)，如图，连接AC，PC，PB，BC，过点P作PDx轴，垂足为D，与直线BC交于点E，则E(x，x3)，PEx3(x22x3)3xx2.S四边形ABPCSABCSBCP43(3xx2)3，当x时，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为，四边形ABPC的最大面积为.(3)点A关于二次函数图象对称轴对称的点为点B，如图，连接BC交二次函数图象的对称轴于点Q，连接AQ和AC，则QAQB，QAQCQBQC.两点之间线段最短，此时QBQC最小，即QAQC最小， QAC的周长ACAQQCBCAC.由(2)知BC所在直线的解析式为yx3，当x1时，y132，Q(1，2)，由勾股定理得AC，AQCQCB3 ，此时QAC的周长为3 .
