1、第二章第二章 推理与证明推理与证明高二数学高二数学 选修选修 2-2 在日常生活中，人们常常需要进行这样那样在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。例如的推理。例如: : 推理是人们思维活动的过程，是根据一个或推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。医生诊断病人的病症，医生诊断病人的病症，警察侦破案件，警察侦破案件，气象专家预测天气的可能状态气象专家预测天气的可能状态考古学家推断遗址的年代，考古学家推断遗址的年代，数学家论证命题的真伪等等。数学家论证命题的真伪等等。在数学中，证明的过程更离不开推理。在数
2、学中，证明的过程更离不开推理。 下面介绍人们在日常活动和科学研究中经常使用下面介绍人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理的两种推理 合情推理与演绎推理。合情推理与演绎推理。第二章第二章 推理与证明推理与证明铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是
3、甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第
4、n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般你知道这些猜想是如何提出的吗？你知道这些猜想是如何提出的吗？哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想( (GoldbachGoldbach Conjecture) Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都
5、是两个素数（只能被个素数（只能被1 1和它本身整除的正整数）之和。和它本身整除的正整数）之和。如如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫( (GoldbachGoldbach) )写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Euler)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之
6、和。这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说，日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如的验证工作，例如: 6 = 3
7、 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 5 + 13, . . . . 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数一之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。但严格的数学证明尚待
8、都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。数学家的努力。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于目前最佳的结果是中国数学家陈景润于19661966年证明的，年证明的，称为陈氏定理称为陈氏定理(Chens Theorem) “(Chens Theorem) “任何充份大的偶数任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和都是一个质数与一个自然数之和，而后者，而后者仅仅是两个质仅仅是两个质数的乘积。数的乘积。” ” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”1 + 2 ”的形式。的形式。歌德巴赫提出猜想的推理过程歌德巴赫提出猜想的推理过程: : 通过对一些偶数的
9、验证，通过对一些偶数的验证，发现它们总可发现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于是猜想：于是猜想： 任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质的偶数都等于两个奇质数之和。数之和。归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 高中数学高中数学学习状态学习状态问卷调查问卷调查对数学对数学的印象的印象 你认为数学你认为数学学习过程主要学习过程主要是为了是为了 生动生动 活泼活泼 严肃严肃枯燥枯燥 发现发现问题问题 解决解决问题问题甲学校甲学校19%71%11%89%乙学校乙学校7%75%23%77%丙学校丙学校16%64%21%79%丁学
10、校丁学校25%53%16%84% 例例 某课题组为了解本市的高中生数学学习状态某课题组为了解本市的高中生数学学习状态, ,对四对四所学校做了一个问卷调查所学校做了一个问卷调查, ,其中有两道题的统计数据如其中有两道题的统计数据如下下: : 根据这四所学校的情况根据这四所学校的情况, ,你能判断该市高中生对你能判断该市高中生对数学的普遍印象吗数学的普遍印象吗? ?n21n1annnaaa11nnan1na，计算得：)(131211)(*Nnnnfm2)2(f23)4(f2)8(f25)16(f3)32(f272(2 )2mmf多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)
11、(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片如图所示，有三根针和套在一根针上的若干
12、金属片. .按按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. .(1)(1)每次只能移动每次只能移动1 1个金属片；个金属片；(2)(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把试推测：把n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针，最少需要移号针，最少需要移动多少次？动多少次？123设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a123n2a设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann
13、1a3an2a设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则nann1a123猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-1( (0505年广东年广东) )设平面内有设平面内有n条直线条直线( (n3),3),其中有且仅其中有且仅有两条直线互相平行有两条直线互相平行, ,任意三条直线不过同一点任意三条直线不过同一点. .若用若用f( (n) )表示这表示这n条直线交点的个数条直线交点的个数. .21(2)2nn当当n 3 时时, , f( (n) )= .(.(用用n表示表示) )12342222215211 7212 5 7216 5 5 3 7
14、221n任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数这就是著名的这就是著名的费马猜想费马猜想观察到都是质数观察到都是质数,进而进而猜想猜想:费马费马半个世纪后半个世纪后, ,5221 4294967297641 6700417 宣布了费马的这个猜想不成立宣布了费马的这个猜想不成立, ,它不能作它不能作为一个求质数的公式为一个求质数的公式. .以后以后, ,人们又陆续发人们又陆续发现现 不是质数不是质数. .至今这样的反例共找到了至今这样的反例共找到了4646个个, ,却还没有找到第却还没有找到第6 6个正面的例子个正面的例子, ,也就是说也就是说目前只有目前只有n=0,1,2,3,4n=0,1,
15、2,3,4这这5 5个情况下个情况下,Fn,Fn才是才是质数质数. . 67822221,21,21,大胆猜想大胆猜想 小心求证小心求证归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立3 34 4V = RV = R3 32 2S = 4RS = 4RS = 2RS = 2R2 2S =RS =R简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的几个特点类比推理
16、的几个特点; ;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性, ,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性, ,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础, ,类比类比出新的结果出新的结果. .2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性. .3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠, ,但它却有发但它却有发现的功能现的功能. .例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2)
17、 a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。例例2 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: : 总结：总结：1.进行类比推理的进行类比推理的步
18、骤步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论CDBA1.1.如图，在平行四边形如图，在平行四边形
19、 中，有中，有 那么，在平行六面体那么，在平行六面体 中，有中，有 22222ADABBDAC 21212121DBCABDACABCD1111DCBAABCD DCC1BA1AB1D1)(42122AAADAB练习：练习：运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象 P A B B A P A B C B A C2由上图（左）有面积关系： PBPAPBPASSPABBPA则由上图（右），则类似的结论是： ABCPCBAPVVPCPBPAPCPBPA3 3:(:(20012001年上海年上海) )已知两个圆已知两个圆x x2 2+y+y2 2=1:=1:
20、与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1, ,则由则由式减去式减去式可得上述两式可得上述两圆的对称轴方程圆的对称轴方程. .将上述命题在曲线仍然为将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广圆的情况下加以推广, ,即要求得到一个更一即要求得到一个更一般的命题般的命题, ,而已知命题应成为所推广命题的而已知命题应成为所推广命题的一个特例一个特例, ,推广的命题为推广的命题为-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设圆的方程为b bd),d),则由则由
21、式减去式可得上述两圆的对称轴式减去式可得上述两圆的对称轴方程方程. .4.在平面上在平面上,设设ha,hb,hc是三角形是三角形ABC三条边上的三条边上的高高.P为三角形内任一点为三角形内任一点,P到相应三边的距离分到相应三边的距离分别为别为pa,pb,pc,我们可以得到结论我们可以得到结论:试通过类比试通过类比,写出在空间中的类似结论写出在空间中的类似结论.1ccbbaahphphp 平面上平面上 空间中空间中图图形形结结论论证证法法ABCPpapbpc1ccbbaahphphp1ddccbbaahphphphpABCDPABCa b cABC, , ,S,_. 已已知知三三边边长长为为面面
22、积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r= =2Sabc 分析：面积法分析：面积法1234,A-BCD,R_.S SSSV 根根据据类类比比推推理理的的方方法法 若若一一个个四四面面体体四四个个面面的的面面积积分分别别为为体体积积为为 ，则则四四面面体体的的内内切切球球半半径径12343VSSSS , , ,S,2.ABCa b cSABCabc 变变式式： 已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r= =ABCDOO 484128161216412,.,_,_,.(09)nnnnanSSSSSSSSbnTTTT 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为则则，成成等
23、等差差数数列列练练习习直直击击高高考考： 浙浙类类比比以以上上结结论论：设设等等比比江江文文第第1616数数列列的的前前 项项积积为为则则 ，成成等等比比数数列列题题81248TTTTPAPBPCPA PB PC（2004广东，广东，15） 由图由图(1)有面积关系有面积关系:则由图则由图(2)有体积关系有体积关系:PA BPABSPAPBSPA PB PA B CPABCVV PB BA APB BA AC C图图(1)图图(2)100203040102030TTT qTTT， ， 成等比数列， 公比为一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路滑，而且横七竖八地长满一年夏天，鲁班上山砍树，因为坡陡路
24、滑，而且横七竖八地长满了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上了小树、杂草，行走非常不便。鲁班只好搀着树木、拽着茅草往上爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智，爬。忽然，脚底一滑，身体便顺着山坡往下滚去，鲁班急中生智，急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑急忙抓住一把茅草，由于没有抓牢，反而感到手掌心疼痛无比。滑到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。到山脚，鲁班狼狈地爬了起来，伸开手掌一看，掌心已是鲜血淋漓。鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾不得疼痛，鲁班非常惊奇，为何一把茅草能够划破人的手掌。鲁班顾
25、不得疼痛，沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁沿着滑下来的山坡，爬上去一看，这丛茅草与别的草没有两样。鲁班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪，班不甘心，便揪下一根茅草仔细地观察起来。这茅草的叶子很怪，叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。叶子两边都长着锋利的小细齿，人手握紧它一拽，手掌就会被划破。鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。鲁班又试着用茅草在他的手指上拉了一下，果然又划开一道血口。鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件鲁班从这件事中得到启发，心想：如果仿照茅草细齿，来做一件边缘带有细
26、齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁边缘带有细齿的工具，用它来锯树，岂不比斧砍更快、更好吗？鲁班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班班忘记疼痛，转身下山，做起试验来。在金属工匠的帮助下，鲁班做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又做了一把带有许多细齿的铁条。鲁班将这件工具拿去锯树，果然又快又省力。锯子就这样发明了。快又省力。锯子就这样发明了。从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理
