1、 1 / 53 圆的有关性质圆的有关性质 一、选择题一、选择题 1. （ 2014珠海，第 5 题 3 分）如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB，CAB=20 ， 则AOD 等于（ ） A 160 B 150 C 140 D 120 考点： 圆周角定理；垂径定理 分析： 利用垂径定理得出=，进而求出BOD=40 ，再利用邻补角的性质得出答案 解答： 解：线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB， =， CAB=20 ， BOD=40 ， AOD=140 故选：C 点评： 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出BOD 的度数是解题关键 2. （ 2014广西贺州，第
2、11 题 3 分）如图，以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2，AE=，CE=1则弧 BD 的长是（ ） A B C D 2 / 53 考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算 分析： 连接 OC，先根据勾股定理判断出ACE 的形状，再由垂径定理得出 CE=DE，故 =，由锐角三角函数的定义求出A 的度数，故可得出BOC 的度数，求出 OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论 解答： 解：连接 OC， ACE 中，AC=2，AE=，CE=1， AE2+CE2=AC2， ACE 是直角三角形，即 AECD， sinA=， A=30 ， COE=60 ，来源:1
3、63文库 =sinCOE，即=，解得 OC=， AECD， =， = 故选 B 点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中 3 （2014温州，第 8 题 4 分）如图，已知 A，B，C 在O 上，为优弧，下列选项中与 AOB 相等的是（ ） 3 / 53 A 2C B 4B C 4A D B+C 考点： 圆周角定理 分析： 根据圆周角定理，可得AOB=2C 解答： 解：如图，由圆周角定理可得：AOB=2C 故选 A 点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 4.（2014毕节地区，第 5 题 3 分）下列叙述正确的是（ ） A
4、方差越大，说明数据就越稳定 B 在不等式两边同乘或同除以一个不为 0 的数时，不等号的方向不变 C 不在同一直线上的三点确定一个圆 D 两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 考点： 方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件 分析： 利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的 条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项 解答： 解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误； B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变， 故选项错误； C、正确； D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误 故选 C 点评： 本题考查了方差的意义、不等号的性质、全等三
5、角形的判定及确 定圆的条件，属于基本定理的应用，较为简单 4 / 53 5.（2014毕节地区，第 6 题 3 分）如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 考点： 垂径定理；勾股定理 分析： 过 O 作 OCAB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求 出 OC 即可 解答： 解：过 O 作 OCAB 于 C， OC 过 O， AC=BC= AB=12， 在 RtAOC 中，由勾股定理得：OC=5 故选：B 点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出 OC 的长 6.（2014毕节地区，第 15
6、 题 3 分）如图是以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在 半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D已知 cosACD= ，BC=4，则 AC 的长为（ ） A 1 B C 3 D 5 / 53 考点： 圆周角定理；解直角三角形 分析： 由以ABC 的边 AB 为直径的半圆 O，点 C 恰好在半圆上，过 C 作 CDAB 交 AB 于 D易得ACD=B，又由 cosACD= ， BC=4，即可求得答案 解答： 解：AB 为直径， ACB=90 ， ACD+BCD=90 ， CDAB， BCD+B=90 ， B=ACD， cosACD= ， cosB= ， tanB= ，
7、BC=4， tanB= ， AC= 故选 D 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质此题难度适中，注 意掌握数形结合思想的应用 7.（2014武汉，第 10 题 3 分）如图，PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D若O 的半径为 r，PCD 的周长等于 3r，则 tanAPB 的值是（ ） 6 / 53 A B C D 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 分析： （1）连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F利用切线求得 CA=CE，DB=DE，PA=PB 再得出 PA=PB=利用 RtBF
8、PRTOAF 得 出 AF= FB，在 RTFBP 中，利用勾股定理求出 BF，再求 tanAPB 的值 即可 解答： 解：连接 OA、OB、OP，延长 BO 交 PA 的延长线于点 F PA，PB 切O 于 A、B 两点，CD 切O 于点 E OAP=OBP=90 ，CA=CE，DB=DE，PA=PB， PCD 的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r， PA=PB= 在 RtBFP 和 RtOAF 中， ， RtBFPRTOAF 7 / 53 = ， AF= FB， 在 RtFBP 中， PF2PB2=FB2 （PA+AF）2PB2=FB2 （ r+ BF）
9、2（）2=BF2， 解得 BF=r， tanAPB=， 故选：B 点评： 本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关 键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系 8 （2014 台湾，第 10 题 3 分）如图，有一圆通过ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于 D 点若B74 ，C46 ，则的度数为何？( ) A23 B28 C30 D37 分析： 由有一圆通过ABC 的三个顶点， 且的中垂线与相交于 D 点 若B74 ， C46 ， 可求得与的度数，继而求得答案 解：有一圆通过ABC 的三个顶点，且的中垂线与相交于 D 点， 2 C24692，2 B2 74 14
10、8 ， 1 2(14892)28 故选 B 8 / 53 点评：此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系此题难度不大，注意掌握数形结合思 想的应用 9 （2014 台湾，第 21 题 3 分）如图，G 为ABC 的重心若圆 G 分别与 AC、BC 相切， 且与 AB 相交于两点，则关于ABC 三边长的大小关系，下列何者正确？( ) ABCAC BBCAC CABAC DABAC 分析：G 为ABC 的重心，则ABG 面积BCG 面积ACG 面积，根据三角形的面积 公式即可判断 解：G 为ABC 的重心， ABG 面积BCG 面积ACG 面积， 又GHaGHbGHc， BCACAB 故选 D 点
11、评：本题考查了三角形的重心的性质以及三角形的面积公式，理解重心的性质是关键 10 （2014浙江湖州，第 4 题 3 分）如图，已知 AB 是ABC 外接圆的直径，A=35 ，则 B 的度数是（ ） A35 B 45 C 55 D 65 分析： 由 AB 是ABC 外接圆的直径， 根据直径所对的圆周角是直角， 可求得C=90 ， 又由A=35 ，即可求得B 的度数 9 / 53 解：AB 是ABC 外接圆的直径，C=90 ， A=35 ，B=90 A=55 故选 C 点评：此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 11.（2014孝感，第 10 题 3 分）如图，在半径为
12、6cm 的O 中，点 A 是劣弧的中点，点 D 是优弧上一点，且D=30 ，下列四个结论： OABC；BC=6；sinAOB=；四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 考点： 垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形 分析： 分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即 可 解答： 解：点 A 是劣弧的中点，OA 过圆心， OABC，故正确； D=30 ， ABC=D=30 ， AOB=60 ， 点 A 是点 A 是劣弧的中点， BC=2CE， OA=OB， OB=OB=AB=6cm， BE=ABcos30 =6=3cm， 10
13、 / 53 BC=2BE=6cm，故 B 正确； AOB=60 ， sinAOB=sin60 =， 故正确； AOB=60 ， AB=OB， 点 A 是劣弧的中点， AC=OC， AB=BO=OC=CA， 四边形 ABOC 是菱形， 故正确 故选 B 点评： 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一 道好题 12. （2014呼和浩特， 第 6 题 3 分） 已知O 的面积为 2， 则其内接正三角形的面积为 （ ） A 3 B 3 C D 考点： 垂径定理；等边三角形的性质 分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可 解答：
14、解：如图所示， 连接 OB、OC，过 O 作 ODBC 于 D， O 的面积为 2 O 的半径为 ABC 为正三角形， 11 / 53 BOC=120 ，BOD= BOC=60 ，OB=， BD=OBsinBOD=， BC=2BD=， OD=OBcosBOD=cos60 =， BOC 的面积= BCOD= =， ABC 的面积=3SBOC=3= 故选 C 点评： 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答 此题的关键 二二.填空题填空题 1 （2014舟山，第 16 题 4 分）如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆上，AB=8，CBA=30 ， 点 D 在线段
15、 AB 上运动，点 E 与点 D 关于 AC 对称，DFDE 于点 D，并交 EC 的延长线于 点 F下列结论：CE=CF；线段 EF 的最小值为 2；当 AD=2 时，EF 与半圆相切； 若点 F 恰好落在上，则 AD=2；当点 D 从点 A 运动到点 B 时，线段 EF 扫过的面 积是 16其中正确结论的序号是 考 点： 圆的综合题；垂线段最短；平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直 角三角形；切线的判定；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质 专推理填空题 12 / 53 题： 分 析： （1）由点 E 与点 D 关于 AC 对称可得 CE=CD，再根据 DFDE
16、即可证到 CE=CF （2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得 CDAB 时 CD 最小，由于 EF=2CD，求出 CD 的 最小值就可求出 EF 的最小值 （3） 连接OC， 易证AOC是等边三角形， AD=OD， 根据等腰三角形的“三线合一”可求出ACD， 进而可求出ECO=90 ，从而得到 EF 与半圆相切 （4）利用相似三角形的判定与性质可证到DBF 是等边三角形，只需求出 BF 就可求出 DB， 进而求出 AD 长 （5）首先根据对称性确定线段 EF 扫过的图形，然后探究出该图形与ABC 的关系，就可求出 线段 EF 扫过的面积 解 答： 解：连接 CD，如图 1 所示 点 E 与
17、点 D 关于 AC 对称， CE=CD E=CDE DFDE， EDF=90 E+F=90 ，CDE+CDF=90 F=CDF CD=CF CE=CD=CF 结论“CE=CF”正确 当 CDAB 时，如图 2 所示 AB 是半圆的直径， ACB=90 AB=8，CBA=30 ， CAB=60 ，AC=4，BC=4 CDAB，CBA=30 ， CD=BC=2 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 13 / 53 点 D 在线段 AB 上运动时，CD 的最小值为 2 CE=CD=CF，来源:Z#xx#k.Com EF=2CD 线段 EF 的最小值为 4 结论“线段 EF 的最小值为 2”错误 （
18、3）当 AD=2 时，连接 OC，如图 3 所示 OA=OC，CAB=60 ， OAC 是等边三角形 CA=CO，ACO=60 AO=4，AD=2， DO=2 AD=DO ACD=OCD=30 点 E 与点 D 关于 AC 对称， ECA=DCA ECA=30 ECO=90 OCEF EF 经过半径 OC 的外端，且 OCEF， EF 与半圆相切 结论“EF 与半圆相切”正确 当点 F 恰好落在上时，连接 FB、AF，如图 4 所示 点 E 与点 D 关于 AC 对称， EDAC AGD=90 AGD=ACB EDBC FHCFDE 14 / 53 = FC=EF， FH=FD FH=DH D
19、EBC， FHC=FDE=90 BF=BD FBH=DBH=30 FBD=60 AB 是半圆的直径， AFB=90 FAB=30 FB=AB=4 DB=4 AD=ABDB=4 结论“AD=2”错误 点 D 与点 E 关于 AC 对称， 点 D 与点 F 关于 BC 对称， 当点 D 从点 A 运动到点 B 时， 点 E 的运动路径 AM 与 AB 关于 AC 对称， 点 F 的运动路径 NB 与 AB 关于 BC 对称 EF 扫过的图形就是图 5 中阴影部分 S阴影=2SABC =2 ACBC =ACBC =4 4 =16 EF 扫过的面积为 16 结论“EF 扫过的面积为 16”正确 15
20、/ 53 故答案为：、 点 评： 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线 的判定、轴对称的性质、含 30 角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难 度 2. （ 2014福建泉州，第 17 题 4 分）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个 圆周角是 90 的最大扇形 ABC，则： （1）AB 的长为 1 米； （2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米 考点： 圆锥的计算；圆周角定理 专题： 计算题 分析： （1）根据圆周角定理由BAC=90 得 BC 为O 的直径，即 BC=，根据等腰直角 三角形的性质得 A
21、B=1； 16 / 53 （2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则 2r=，然后解方程即可 解答： 解： （1）BAC=90 ， BC 为O 的直径，即 BC=， AB=BC=1； （2）设所得圆锥的底面圆的半径为 r， 根据题意得 2r=， 解得 r= 故答案为 1， 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了圆周角定理 3. （ 2014广东，第 14 题 4 分）如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆 心 O 到 AB 的距离为 3 考点： 垂径定理；
22、勾股定理 分析： 作 OCAB 于 C，连结 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=3，然后在 RtAOC 中 利用勾股定理计算 OC 即可 解答： 解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， 17 / 53 AC=BC= AB= 8=4， 在 RtAOC 中，OA=5， OC=3， 即圆心 O 到 AB 的距离为 3 故答案为：3 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查 了勾股定理 4 （2014四川自贡，第 14 题 4 分）一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高，如图 放置，O 与 BC 相切于点 C，O 与 A
23、C 相交于点 E，则 CE 的长为 3 cm 考点： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理 分析： 连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于 底边高的倍题目中一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与O 等高，说明O 的 半径为，即 OC=， 又ACB=60 ，故有OCF=30 ，在 RtOFC 中，可得出 FC 的长，利用垂径定理即 可得出 CE 的长 解答： 解：连接 OC，并过点 O 作 OFCE 于 F， 且ABC 为等边三角形，边长为 4， 故高为 2，即 OC=， 又ACB=60 ，故有OCF=30 ， 在 RtOFC 中，可
24、得 FC=， 18 / 53 即 CE=3 故答案为：3 点评： 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识 题目不 是太难，属于基础性题目来源:163文库 ZXXK 5. （2014株洲，第 11 题，3 分）如图，点 A、B、C 都在圆 O 上，如果AOB+ACB=84 ， 那么ACB 的大小是 28 （第 1 题图） 考点： 圆周角定理 分析： 根据圆周角定理即可推出AOB=2ACB， 再代入AOB+ACB=84 通过计算即可得 出结果 解答： 解：AOB=2ACB，AOB+ACB=84 3ACB=84 ACB=28 故答案为：28 点评： 此题主要考查圆周角定理
25、，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论 6. （2014 年江苏南京，第 13 题，2 分）如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足 为 E，连接 BC，若 AB=2cm，BCD=2230，则O 的半径为 cm 19 / 53 （第 2 题图） 考点：垂径定理、圆周角定理 分析： 先根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45 ， 再根据垂径定理得到 BE= AB=， 且BOE 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解 解答：连结 OB，如图，BCD=2230，BOD=2BCD=45 ，ABCD， BE=AE= AB= 2=，BOE 为等腰直角三角形，OB=BE=2（
26、cm） 故答 案为 2 点评： 本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧 也 考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理 7. （2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D 依次为一直线上 4 个点，BC=2，BCE 为等边三角形，O 过 A、D、E3 点，且AOD=120 设 AB=x，CD=y，则 y 与 x 的函数 关系式为 y= （x0） （第 3 题图） 考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理 分析： 连接 AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得AED=120 ，然后求 得ABEECD根据相似三角形的对应边
27、对应成比例即可表示出 x 与 y 的关系， 从而不难求解 解答： 解：连接 AE，DE， 20 / 53 AOD=120 ， 为 240 ， AED=120 ， BCE 为等边三角形， BEC=60 ； AEB+CED=60 ； 又EAB+AEB=60 ， EAB=CED， ABE=ECD=120 ； =， 即 = ， y= （x0） 点评： 此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际 运用能力 8 （2014菏泽，第 10 题 3 分）如图，在ABC 中A=25 ，以点 C 为圆心，BC 为半径的 圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则的度数为 50 考点
28、： 圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质来源:163文库 分析： 连接 CD，求出B=65 ，再根据 CB=CD，求出BCD 的度数即可 解答： 解：连接 CD， 21 / 53 A=25 ， B=65 ， CB=CD， B=CDB=65 ， BCD=50 ， 的度数为 50 故答案为：50 点评： 此题考查了圆心角、弧之间的关系，用到的知识点是三角形内角和定 理、圆心角与弧的关系，关键是做出辅助线求出BCD 的度数 9 （2014 年山东泰安，第 23 题 4 分）如图，AB 是半圆的直径，点 O 为圆心，OA=5，弦 AC=8，ODAC，垂足为 E，交O 于 D，连接 BE设BEC=，则
29、 sin 的值为 分析：连结 BC，根据圆周角定理由 AB 是半圆的直径得 ACB=90 ，在 RtABC 中，根据勾股定理计算出 BC=6，再根据垂径定理由 ODAC 得到 AE=CE= AC=4，然后在 RtBCE 中，根据勾股定理计算出 BE=2，则可根据 正弦的定义求解 解：连结 BC，如图，AB 是半圆的直径，ACB=90 ， 在 RtABC 中，AC=8，AB=10，BC=6， ODAC，AE=CE= AC=4， 在 RtBCE 中，BE=2， 22 / 53 sin=故答案为 点评： 本题考查了垂径定理： 平分弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧 也 考查了勾股定理和圆周
30、角定理 三三.解答题解答题 1. （ 2014福建泉州，第 26 题 14 分）如图，直线 y=x+3 与 x，y 轴分别交于点 A，B，与 反比例函数的图象交于点 P（2，1） （1）求该反比例函数的关系式； （2）设 PCy 轴于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A； 求ABC 的周长和 sinBAC 的值； 对大于 1 的常数 m，求 x 轴上的点 M 的坐标，使得 sinBMC= 考点： 反比例函数综合题； 待定系数法求反比例函数解析式； 勾股定理； 矩形的判定与性质； 垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题： 压轴题；探究型 分析： （1）设反比例函数的关系式
31、y= ，然后把点 P 的坐标（2，1）代入即可 （2）先求出直线 y=x+3 与 x、y 轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出ABC 的周长； 过点C作CDAB， 垂足为D， 运用面积法可以求出CD长， 从而求出sinBAC 的值 由于 BC=2，sinBMC= ，因此点 M 在以 BC 为弦，半径为 m 的E 上，因而点 M 应是E 与 x 轴的交点然后对E 与 x 轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的 判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点 M 的坐标 解答： 解： （1）设反比例函数的关系式 y= 23 / 53 点 P（2，1）在反比例函数 y= 的图象上， k=2 1=2 反
32、比例函数的关系式 y= （2）过点 C 作 CDAB，垂足为 D，如图 1 所示 当 x=0 时，y=0+3=3， 则点 B 的坐标为（0，3） OB=3 当 y=0 时，0=x+3，解得 x=3， 则点 A 的坐标为（3，0） ，OA=3 点 A 关于 y 轴的对称点为 A， OA=OA=3 PCy 轴，点 P（2，1） ， OC=1，PC=2 BC=2 AOB=90 ，OA=OB=3，OC=1， AB=3，AC= ABC 的周长为 3+2 SABC= BCAO= ABCD， BCAO=ABCD 2 3=3 CD CD= CDAB， sinBAC= ABC 的周长为 3+2，sinBAC 的
33、值为 当 1m2 时， 作经过点 B、C 且半径为 m 的E， 连接 CE 并延长，交E 于点 P，连接 BP， 过点 E 作 EGOB，垂足为 G， 24 / 53 过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2所示 CP 是E 的直径， PBC=90 sinBPC= sinBMC= ， BMC=BPC 点 M 在E 上 点 M 在 x 轴上 点 M 是E 与 x 轴的交点 EGBC， BG=GC=1 OG=2 EHO=GOH=OGE=90 ， 四边形 OGEH 是矩形 EH=OG=2，EG=OH 1m2， EHEC E 与 x 轴相离 x 轴上不存在点 M，使得 sinBMC= 当 m=2
34、 时，EH=EC E 与 x 轴相切 切点在 x 轴的正半轴上时，如图 2所示 点 M 与点 H 重合 EGOG，GC=1，EC=m， EG= OM=OH=EG= 点 M 的坐标为（，0） 切点在 x 轴的负半轴上时， 25 / 53 同理可得：点 M 的坐标为（，0） 当 m2 时，EHEC E 与 x 轴相交 交点在 x 轴的正半轴上时， 设交点为 M、M，连接 EM，如图 2所示 EHM=90 ，EM=m，EH=2， MH= EHMM， MH=MH MH EGC=90 ，GC=1，EC=m，来源:Z_xx_k.Com EG= OH=EG= OM=OHMH=， OM=OH+HM=+， M（
35、，0） 、M（+，0） 交点在 x 轴的负半轴上时， 同理可得：M（+，0） 、M（，0） 综上所述：当 1m2 时，满足要求的点 M 不存在； 当 m=2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0）和（，0） ； 当 m2 时，满足要求的点 M 的坐标为（，0） 、 （+， 0） 、 （+， 0） 、 （， 0） 26 / 53 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形 的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的 高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大由 BC=2， sinBMC= 联想到点 M 在
36、以 BC 为弦，半径为 m 的E 上是解决本题的关键 2 （ 2014安徽省,第 19 题 10 分）如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F，D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE=4，OF=6， 求O 的半径和 CD 的长 27 / 53 考点： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 专题： 计算题 分析： 由 OEAB 得到OEF=90 ，再根据圆周角定理由 OC 为小圆的直径得到 OFC=90 ，则可证明 RtOEFRtOFC，然后利用相似比可计算出O 的半径 OC=9； 接着在 RtOCF 中，根据
37、勾股定理可计算出 C=3，由于 OFCD，根据垂径定理得 CF=DF，所以 CD=2CF=6 解答： 解：OEAB， OEF=90 ， OC 为小圆的直径， OFC=90 ， 而EOF=FOC， RtOEFRtOFC， OE：OF=OF：OC，即 4：6=6：OC， O 的半径 OC=9； 在 RtOCF 中，OF=6，OC=9， CF=3， OFCD， CF=DF， CD=2CF=6 点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考 查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质 3 (2014 年天津市， 第 21 题 10 分)已知O 的直径为 10， 点
38、 A， 点 B， 点 C 在O 上， CAB 的平分线交O 于点 D 28 / 53 （）如图，若 BC 为O 的直径，AB=6，求 AC，BD，CD 的长； （）如图，若CAB=60 ，求 BD 的长 考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理 分析： （）利用圆周角定理可以判定CAB 和DCB 是直角三角形，利用勾股定理可 以求得 AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股 定理同样得到 BD=CD=5； （）如图，连接 OB，OD由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知 OBD 是等边三角形，则 BD=OB=OD=5 解答： 解：
39、 （）如图，BC 是O 的直径， CAB=BDC=90 在直角CAB 中，BC=10，AB=6， 由勾股定理得到：AC=8 AD 平分CAB， =， CD=BD 在直角BDC 中，BC=10，CD2+BD2=BC2， 易求 BD=CD=5； （）如图，连接 OB，OD AD 平分CAB，且CAB=60 ， DAB= CAB=30 ， DOB=2DAB=60 又OB=OD， 29 / 53 OBD 是等边三角形， BD=OB=OD O 的直径为 10，则 OB=5， BD=5 点评： 本题综合考查了圆周角定理， 勾股定理以及等边三角形的判定与性质 此题利用了 圆的定义、有一内角为 60 度的等腰
40、三角形为等边三角形证得OBD 是等边三角形 4（2014新疆， 第 21 题 10 分） 如图， AB 是O 的直径， 点 F， C 是O 上两点， 且=， 连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若 CD=2，求O 的半径 考点： 切线的判定 专题： 证明题 分析： （1）连结 OC，由=，根据圆周角定理得FAC=BAC，而OAC=OCA，则 FAC=OCA，可判断 OCAF，由于 CDAF，所以 OCCD，然后根据切线的判 定定理得到 CD 是O 的切线； （2） 连结BC， 由 AB为直径得ACB=90 ，
41、由=得BOC=60 ， 则BAC=30 ， 所以DAC=30 ，在 RtADC 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 AC=2CD=4， 在RtACB中， 利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4， 30 / 53 AB=2BC=4，所以O 的半径为 4 解答： （1）证明：连结 OC，如图， =， FAC=BAC， OA=OC， OAC=OCA， FAC=OCA， OCAF， CDAF， OCCD， CD 是O 的切线； （2）解：连结 BC，如图， AB 为直径， ACB=90 ， =， BOC= 180 =60 ， BAC=30 ， DAC=30 ， 在 RtADC 中
42、，CD=2， AC=2CD=4， 在 RtACB 中，BC=AC= 4=4， AB=2BC=4， O 的半径为 4 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 31 / 53 线也考查了圆周角定理和含 30 度的直角三角形三边的关系 5 （2014 年云南省，第 23 题 9 分）已知如图平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，矩形 ABCD 是顶点坐标分别为 A（3，0） 、B（3，4） 、C（0，4） 点 D 在 y 轴上，且点 D 的坐标 为（0，5） ，点 P 是直线 AC 上的一动点 （1）当点 P 运动到线段 AC 的中点时，求直线 DP 的解析式
43、（关系式） ； （2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点 D、P 的直线与 x 轴交于点 M问在 x 轴的正半轴上 是否存在使DOM 与ABC 相似的点 M？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由； （3）当点 P 沿直线 AC 移动时，以点 P 为圆心、R（R0）为半径长画圆得到的圆称为 动圆 P 若设动圆 P 的半径长为， 过点 D 作动圆 P 的两条切线与动圆 P 分别相切于点 E、 F 请探求在动圆 P 中是否存在面积最小的四边形 DEPF？若存在， 请求出最小面积 S 的值； 若不存在，请说明理由 考点： 圆的综合题； 待定系数法求一次函数解析式； 垂线段最短； 勾股
44、定理； 切线长定理； 相似三角形的判定与性质 专题： 综合题；存在型；分类讨论 分析： （1）只需先求出 AC 中点 P 的坐标，然后用待定系数法即可求出直线 DP 的解析 式 （2）由于DOM 与ABC 相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形 相似求出 OM 的长，即可求出点 M 的坐标 32 / 53 （3） 易证 SPED=SPFD从而有 S四边形DEPF=2SPED= DE 由DEP=90 得 DE2=DP2PE2=DP2 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当 DPAC 时，DP 最短，此时 DE 也最短， 对应的四边形 DEPF 的面积最小借助于三角形相似，即可求出 DPAC 时 DP 的值，就可 求出四边形 DEPF 面积的最小值 解答： 解： （1）过点 P 作 PHOA，交 OC 于点 H，如图 1 所示 PHOA， CHPCOA = 点 P 是 AC 中点， CP= CA HP= OA，CH= CO A（3，0） 、C（0，4） ， OA=3，OC=4 HP= ，CH=2 OH=2 PHOA，COA=90 ， CHP=COA=90 点 P 的坐标为（ ，2） 设直线 DP 的解析式为 y=kx+b， D（0，5） ，P（ ，2）在直线 DP 上， 直线 DP 的
