1、 1 一元一次方程及其应用一元一次方程及其应用 一、选择题一、选择题 1 （2014 台湾，第 19 题 3 分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为 15 公分， 各装有 10 公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积今小明将甲、乙两杯内 一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为 345若不 计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？( ) 底面积(平方公分) 甲杯 60 乙杯 80 丙杯 100 A5.4 B5.7 C7.2 D7.5 分析：根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为 345，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度 为 3x、4x、5x，由表格中的
2、数据列出方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出甲杯内水 的高度 解答：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为 3x、4x、5x， 根据题意得：60 1080 10100 1060 3x80 4x100 5x， 解得：x2.4， 则甲杯内水的高度变为 3 2.47.2(公分) 故选 C 点评：此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键 2.（2014滨州，第 4 题 3 分）方程 2x1=3 的解是（ ） A 1 B C 1 D 2 考点： 解一元一次方程 分析： 根据移项、合并同类项、系数化为 1，可得答案 解答： 2x1=3，移项，得 2x=4， 系数化为 1 得 x=2
3、 2 故选：D 点评： 本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案 二、填空题二、填空题 1 （2014浙江湖州，第 11 题 4 分）方程 2x1=0 的解是 x= 分析：此题可有两种方法： （1）观察法：根据方程解的定义，当 x= 时，方程左右两边相等； （2）根据等式性质计算即解方程步骤中的移项、系数化为 1 解答：移项得：2x=1，系数化为 1 得：x= 点评：此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填 x= ，不能直接填 2. （2014湘潭，第 15 题，3 分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共 589 人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念
4、馆人数的 2 倍多 56 人设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，可列方程为 考点： 由实际问题抽象出一元一次方程 分析： 设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589x）人，根据到毛 泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的 2 倍多 56 人列方程即可 解答： 设到雷锋纪念馆的人数为 x 人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589x）人， 由题意得，2x+56=589x 故答案为：2x+56=589x 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知 数，列出方程 三、解答题三、解答题 1. （2014益阳，第 18 题，8 分）“中国益阳”网上消息，
5、益阳市为了改善市区交通状况， 计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A、B 两点，小 张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据： BAD=76.1 ，BCA=68.2 ，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米） 参考数据： sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0； sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.22.5 3 （第 1 题图） 考点： 解直角三角形的应用 分析： 设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米在 RtABC 中，根据三角函数得到 AB=2.5
6、（x+82） ， 在 RtABD 中，根据三角函数得到 AB=4x，依此得到关于 x 的方程，进一步即可求 解 解答： 设 AD=x 米，则 AC=（x+82）米 在 RtABC 中，tanBCA=， AB=ACtanBCA=2.5（x+82） 在 RtABD 中，tanBDA=， AB=ADtanBDA=4x 2.5（x+82）=4x， 解得 x= AB=4x=4546.7 答：AB 的长约为 546.7 米 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学 知识解决实际问题 2. （2014益阳，第 19 题，10 分）某电器超市销售每台进价分别为 200
7、 元、170 元的 A、B 两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收 入 A 种型号 B 种型号 4 第一周 3 台 5 台 1800 元 第二周 4 台 10 台 3100 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入进货成本） （1）求 A、B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型号 的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为 1400 元的目标？若能， 请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由 考点： 二元一次方程组的应用
8、；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用 分析： （1）设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元，根据 3 台 A 型号 5 台 B 型号的电扇收入 1800 元，4 台 A 型号 10 台 B 型号的电扇收入 3100 元，列方程组求 解； （2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇（30a）台，根据金额不 多余 5400 元，列不等式求解； （3）设利润为 1400 元，列方程求出 a 的值为 20，不符合（2）的条件，可知不能实 现目标 解答： （1）设 A、B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、y 元， 依题意得：，解得：， 答：A、B
9、两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元； （2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇（30a）台 依题意得：200a+170（30a）5400， 解得：a10 答：超市最多采购 A 种型号电风扇 10 台时，采购金额不多于 5400 元； （3）依题意有： （250200）a+（210170） （30a）=1400，解得：a=20， a10，在（2）的条件下超市不能实现利润 1400 元的目标 点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意， 设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解 3. （2014
10、株洲，第 20 题，6 分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经 验，他获得如下信息： 5 （1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快 1 千米； （2）他上山 2 小时到达的位置，离山顶还有 1 千米； （3）抄近路下山，下山路程比上山路程近 2 千米； （4）下山用 1 个小时； 根据上面信息，他作出如下计划： （1）在山顶游览 1 个小时； （2）中午 12：00 回到家吃中餐 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？ 考点： 一元一次方程的应用 分析： 由（1）得 v下=（v上+1）千米/小时 由（2）得 S=2v上+1 由（3） 、 （4）得
11、 2v上+1=v下+2 根据 S=vt 求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：上、下上时间+山 顶游览时间 解答： 设上山的速度为 v，下山的速度为（v+1） ，则 2v+1=v+1+2，解得 v=2即上山速度是 2 千米/小时 则下山的速度是 3 千米/小时，山高为 5 千米 则计划上山的时间为：5 2=2.5（小时） ， 计划下山的时间为：1 小时，则共用时间为：2.5+1+1=4.5（小时） ， 所以出发时间为：12：004 小时 30 分钟=7：30 答：孔明同学应该在 7 点 30 分从家出发 点评： 本题考查了应用题该题的信息量很大，是不常见的应用题需要进行相关的信息整
12、 理，只有理清了它们的关系，才能正确解题 4. （2014 年江苏南京，第 25 题）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明 骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平 路、上坡、下坡时分别保持匀速前进已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少 5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多 5 km设小明出发 x h 后，到达离甲地 y km 的地方，图中的折线 OABCDE 表示 y 与 x 之间的函数关系 （1）小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h； 6 （2）求线段 AB、BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式；
13、（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15 h，那么该地点离甲地多远？ （第 4 题图） 考点：一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用 分析： （1）由速度=路程 时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间， 进而得出途中休息的时间； （2） 先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出 B 的坐标和 C 的坐标就可以由待定 系数法求出解析式； （3） 小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15h， 由题意可以得出这个地点只能在破路 上设小明第一次经过该地点的时间为 t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据 距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可
14、 解答： （1）小明骑车在平路上的速度为：4.5 0.3=15， 小明骑车在上坡路的速度为：155=10， 小明骑车在上坡路的速度为：15+5=20 小明返回的时间为： （6.54.5） 2+0.3=0.4 小时， 小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2 10=0.5 小明途中休息的时间为：10.50.4=0.1 小时 故答案为：15，0.1 （2）小明骑车到达乙地的时间为 0.5 小时，B（0.5，6.5） 小明下坡行驶的时间为：2 20=0.1，C（0.6，4.5） 设直线 AB 的解析式为 y=k1x+b1，由题意，得，解得：， y=10x+1.5（0.3x0.5） ； 7 设直线 BC
15、的解析式为 y=k2+b2，由题意，得，解得：， y=20x+16.5（0.5x0.6） （3） 小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15h， 由题意可以得出这个地点只能在破路 上设小明第一次经过该地点的时间为 t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题 意，得 10t+1.5=20（t+0.15）+16.5，解得：t=0.4，y=10 0.4+1.5=5.5， 该地点离甲地 5.5km 点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一 元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键 5. （2014泰州，第 20 题，8 分）某篮球运动员
16、去年共参加 40 场比赛，其中 3 分球的命中 率为 0.25，平均每场有 12 次 3 分球未投中 （1）该运动员去年的比赛中共投中多少个 3 分球？ （2）在其中的一场比赛中，该运动员 3 分球共出手 20 次，小亮说，该运动员这场比赛中一 定投中了 5 个 3 分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由 考点： 一元一次方程的应用；概率的意义 分析： （1） 设该运动员共出手 x 个 3 分球， 则 3 分球命中 0.25x 个， 未投中 0.75x 个， 根据“某 篮球运动员去年共参加 40 场比赛，平均每场有 12 次 3 分球未投中”列出方程，解方 程即可； （2）根据概率的意义知某
17、事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生 的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可 解答： （1）设该运动员共出手 x 个 3 分球，根据题意，得 =12，解得 x=640，0.25x=0.25 640=160（个） ， 答：运动员去年的比赛中共投中 160 个 3 分球； （2）小亮的说法不正确；3 分球的命中率为 0.25，是相对于 40 场比赛来说的，而在 其中的一场比赛中，虽然该运动员 3 分球共出手 20 次，但是该运动员这场比赛中不 一定投中了 5 个 3 分球 点评： 此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义解题关键是要读懂题目的意思，根据 题目给出的条件，找出合适的等量
18、关系列出方程及正确理解概率的含义 6 （2014 浙江金华，第 20 题 8 分）一种长方形餐桌的四周可坐 6 从用餐，现把若干张这 8 样的餐桌按如图方式拼接. （1）若把 4 张、8 张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若用餐的人数有 90 人，则这样的餐桌需要多少张？ 【答案】 （1）18，34； （2）22. 【解析】 7 （2014浙江宁波，第 24 题 10 分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由 3 个矩形 侧面和 2 个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） A 方法：剪 6 个侧面； B 方法：剪 4 个侧面和 5 个底面 现有
19、19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B 方法 （1）用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； 9 （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 考点： 一元一次方程的应用；列代数式 分析： （1）由 x 张用 A 方法，就有（19x）张用 B 方法，就可以分别表示出侧面个数和 底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为 3：2 建立方程求出 x 的值，求出侧面的总数就可 以求出结论 解答： （1）裁剪时 x 张用 A 方法，裁剪时（19x）张用 B 方法 侧面的个数为：6x+4（19x）=（2x+76）个， 底面的个数为：5（19x）=（955x）个；
20、（2）由题意，得，解得：x=7，盒子的个数为：=30 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做 30 个盒子 点评： 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代 数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键 8.（2014滨州，第 19 题 3 分）（1）解方程：2= 考点： 解一元一次方程 专题： 计算题 分析： （1）方程去分母，去括号，移项合并，将 x 系数化为 1，即可求出解； 解答： （1）去分母得：122（2x+1）=3（1+x）， 去括号得：124x2=3+3x， 移项合并得：7x=7， 解得：x=1； 点评： 此题考查了解一元一次
21、方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9 （2014德州，第 20 题 8 分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村 地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共 1200 只，这两种节能灯的进 价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 10 （1）如何进货，进货款恰好为 46000 元？ （2） 如何进货， 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%， 此时利润为多少元？ 考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用 分析： （1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1200x）只，根据两种节能 灯的总价
22、为 46000 元建立方程求出其解即可； （2）设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型节能灯（1200a）只，商场的获利为 y 元，由销售问题的数量关系建立 y 与 a 的解析式就可以求出结论 解答： （1）设商场购进甲型节能灯 x 只，则购进乙型节能灯（1200x）只，由题意，得 25x+45（1200x）=46000， 解得：x=400 购进乙型节能灯 1200400=800 只 答：购进甲型节能灯 400 只，购进乙型节能灯 800 只进货款恰好为 46000 元； （2）设商场购进甲型节能灯 a 只，则购进乙型节能灯（1200a）只，商场的获利为 y 元，由题意，得 y=（3025）
23、a+（6045） （1200a） ， y=10a+18000 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的 30%， 10a+1800025a+45（1200a） 30%，a450 y=10a+18000，k=100， y 随 a 的增大而减小， a=450 时，y 最大=13500 元 商场购进甲型节能灯 450 只，购进乙型节能灯 750 只时的最大利润为 13500 元 点评： 本题考查了单价 数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数 的解析式的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键 10.（2014菏泽，第 17 题 7 分） （1）食品安全是关乎民生的问题，在食
24、品中添加过量的添 加剂对人体有害， 但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输， 某饮料加工厂生 产的 A、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂 2 克，B 饮料每瓶需加 该添加剂 3 克，已知 270 克该添加剂恰好生产了 A、B 两种饮料共 100 瓶，问 A、B 两种饮 料各生产了多少瓶？ 11 考点： 一元一次方程的应用； 分析： （1）设 A 饮料生产了 x 瓶，则 B 饮料生产了（100x）瓶，根据 270 克该添加剂恰 好生产了 A、B 两种饮料共 100 瓶，列方程求解； 解答： 解： （1）设 A 饮料生产了 x 瓶，则 B 饮料生产了（100x）瓶， 由题意得，2x+3（100x）=270， 解得：x=30，100x=70， 答：A 饮料生产了 30 瓶，则 B 饮料生产了 70 瓶； 点评： 本题考查了一元一次方程的应用， 解答本题的关键是读懂题意， 找出合适的等量关系， 列方程组求解
