1、Oct., 2006过程装备力学基础Page - 1过过 程程 装装 备备 力力 学学 基基 础础主编主编 陈旭陈旭 主审主审 蒋家羚蒋家羚化学工业出版社化学工业出版社 2002Oct., 2006过程装备力学基础Page - 2内容摘要内容摘要本书介绍在本书介绍在“过程装备过程装备”设计中所应用的工程力学方面设计中所应用的工程力学方面的基本理论和基本知识。包括弹塑性理论的有关内容、的基本理论和基本知识。包括弹塑性理论的有关内容、圆板理论、旋转薄壳理论，机械振动，疲劳设计圆板理论、旋转薄壳理论，机械振动，疲劳设计, 断裂力断裂力学及有限单元法等。学及有限单元法等。Oct., 2006弹性力学基
2、本方法和平面问题解答Page - 3第一章第一章 弹性力学基本方法弹性力学基本方法和平面问题解答和平面问题解答Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 4第一节第一节 弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念1. 弹性力学的内容弹性力学的内容 研究内容研究内容 弹性力学与材料力学的区别弹性力学与材料力学的区别 研究对象研究对象 研究方法研究方法 基本假设基本假设Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 5弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设理想弹性体理想弹性体 物体是连续的物体是连续的 物体是完全弹性的物体是完全弹性的 物体是均匀的物体是均匀
3、的 物体是各向同性的物体是各向同性的 位移和形变是很小的位移和形变是很小的Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 6 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 直角坐标解答直角坐标解答 极坐标解答极坐标解答 温度应力温度应力 空间问题的基本理论空间问题的基本理论 薄板理论薄板理论 薄壳理论薄壳理论理论弹性力学理论弹性力学应用弹性力学应用弹性力学弹性力学的分类弹性力学的分类Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 72. 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 外力外力 体积力（体力）体积力（体力） 表面力（面力）表面力（面力） 应力应力 正应
4、力正应力 剪应力剪应力 应变应变 线应变线应变 剪应剪应变变 位移位移Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 8应力、应变的方向说明应力、应变的方向说明Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 93. 弹性力学基本方程弹性力学基本方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 103.1 平衡方程平衡方程在垂直在垂直x 轴的两个面上应力分别为：轴的两个面上应力分别为：dxxxzxzdxxxyxydxxxxxz,x,xyOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 113.1 平衡方程平衡方程在垂直在垂直y 轴的
5、两个面上应力分别为：轴的两个面上应力分别为：,y,yxyzdyyyydyyyxyxdyyyzyzOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 123.1 平衡方程平衡方程在垂直在垂直z轴的两个面上应力分别为：轴的两个面上应力分别为：,z,zxzydzzzzdzzzxzxdzzzyzyOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 13沿沿x 轴力的平衡方程轴力的平衡方程 0 xF0Xdxdydzdxdzdxdydzzdxdzdxdzdyydydzdydzdxxzxzxzxyxyxyxxxx3.1 平衡方程平衡方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解
6、答Page - 14化简以后，两边同除化简以后，两边同除后，dxdydz0Xzyxzxyxx3.1 平衡方程平衡方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 15同理，由：同理，由：0yF0Yzyxzyyxy3.1 平衡方程平衡方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 16由由 0zF0Zzyxzyzxz3.1 平衡方程平衡方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 170Zzyxzyzxz0Yzyxzyyxy0Xzyxzxyxx3.1 平衡方程平衡方程(1-1)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page
7、- 18对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出剪应力互对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出剪应力互等定律等定律 0 xMzyyz 0yMzxxz 0zMyxxy剪应力互等定律剪应力互等定律(1-2)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 19它给出了六个应变分量和三个位移分它给出了六个应变分量和三个位移分量之间的关系。量之间的关系。xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx,3.2几何方程几何方程(1-3)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 20在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之在完全弹性的各向同性体内，
8、应变分量与应力分量之间的关系式，也就是物理方程。间的关系式，也就是物理方程。3.3 物理方程物理方程（广义虎克定律）（广义虎克定律）Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 21zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxG1G1G1E1E1E13.3 物理方程物理方程(1-4)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 22式中式中E是弹性模量，是弹性模量，G是剪切弹性模量，是泊松比，这三个是剪切弹性模量，是泊松比，这三个弹性常数之间有如下关系：弹性常数之间有如下关系：)1 (2EG3.3 物理方程物理方程（广义虎克定律）（广义虎克定律）(1-5
9、)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 23总总 结结 平衡方程：平衡方程： F( )=0 几何方程：几何方程： 位移与应变的关系位移与应变的关系 物理方程：物理方程： 广义虎克定律广义虎克定律 对于空间问题：对于空间问题：15个方程，个方程，15个未知量个未知量ZYXyzxzxyzyx,wvuyzxzxyzyxyzxzxyzyx,uOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 24第二节第二节 弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题1. 平面应力和平面应变平面应力和平面应变图图1-2 平面应力示例平面应力示例02Szz 平面应力问题0)(2Szzx
10、0)(2Szzy 0z 0zx 0zy zxyxyOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 25平面应变问题平面应变问题由于对称，由于对称， ， ，这样六个应力分量剩下四个，这样六个应力分量剩下四个，即即 ， ， 和和 。0zy0zxxyzxyOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 26 2.1 平衡方程平衡方程 对于平面应力问题，对于平面应力问题， , 0z, 0zx. 0zy2. 平面问题的基本方程平面问题的基本方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 27 对于平面应变问题，在对于平面应变问题，在z方向还作用有正应力
11、方向还作用有正应力 但但 是是自成平衡的，自成平衡的， ,zz0zy0zx2.1 平衡方程平衡方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 28于是，平面问题中的平衡微分方程为：于是，平面问题中的平衡微分方程为： 0Yxy0Xyxxyyyxx0Xzyxzxyxx0Yzyxzyyxy2.1 平衡方程平衡方程(1-6)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 29AxudxdxudxdxxuuPAPAAPx 2.2 几何方程几何方程 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 30A2.2 几何方程几何方程 yvdydyvdydyyv
12、vPBPBBPyOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 31Avdydyyvvudyyuuudxdxxuuvdxxvvyuxvdxdxxu1dydyyv1这里采用了小变这里采用了小变形下的关系形下的关系2.2 几何方程几何方程 fPfBePeAtgtgxyOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 32于是，平面问题中的几何方程为于是，平面问题中的几何方程为 ： yuxvyvxuxyyx2.2 几何方程几何方程 (1-7)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 33在平面应力中，在平面应力中， ， ， 。xyxyxyyyxxG
13、EE1)(1)(10z0yz0zx)(yxzE2.3 物理方程物理方程(1-8)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 34 在平面应变问中，在平面应变问中， ， ， 。xyxyG10zy0zx0zzyxxE1zxyyE1)(yxz0zy0zx2.3 物理方程物理方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 35整理得到平面应变问题的物理方程为整理得到平面应变问题的物理方程为xyxyxyxyyyxxEGEE)1(21)1(1)1(1222.3 物理方程物理方程(1-9)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 36提示提示:
14、平面应力的物理方程中将平面应力的物理方程中将E换为换为 ，换，换为为 ，就得到平面应变问题的物理方程，就得到平面应变问题的物理方程 .21E12.3 物理方程物理方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 373.1 位移边界条件位移边界条件uu vv 3. 平面问题的边界条件平面问题的边界条件(1-10)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 38在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系即应力边界即应力边界条件，可由边界上小单元体的平衡条件得出。条件，可由边界上小单元体的平衡条件得出。3.2 应力边界条件
15、应力边界条件Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 39在边界上取出小单元体，它的斜面在边界上取出小单元体，它的斜面AB与物体的边界重合，如与物体的边界重合，如图所示。用图所示。用N代表边界面代表边界面AB的外法线方向，并令的外法线方向，并令N的方向余的方向余弦为弦为 myNlxN),cos(),cos(图图1-6 应力边界条件应力边界条件边界面边界面AB的长度为的长度为ds，则，则PA和和PB的长度分别为的长度分别为lds和和mds。垂。垂直于图面的尺寸取为一个单位。作为在边界上的已知面力沿坐直于图面的尺寸取为一个单位。作为在边界上的已知面力沿坐标轴的分量为标轴的分量
16、为 , .XYOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 40图图1-6 应力边界条件应力边界条件由平衡条件由平衡条件 ，得，得0 xF021111ldsmdsXmdsldsdsXyxx3.2 应力边界条件应力边界条件Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 41各项除以各项除以ds，并令，并令ds趋于零，则得：趋于零，则得： 式中式中 是应力分量的边界值。是应力分量的边界值。XmlSyxSx)()(SyxSx)( ,)(3.2 应力边界条件应力边界条件Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 42同样，由平衡条件同样，由平衡条件
17、 ，得：，得： 0yFYlmSxySy)()(3.2 应力边界条件应力边界条件Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 43YlmXmlSxySySyxSx)()()()(平面问题的边界条件平面问题的边界条件(1-11)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 44在垂直于在垂直于x轴的边界上，轴的边界上，x值为常量，值为常量， ， ，应力，应力边界条件简化为边界条件简化为1l0mXSx)(YSxy)(3.2 应力边界条件应力边界条件Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 45在垂直在垂直与与y轴的边界上，轴的边界上，y值为常
18、量，值为常量，应力边界条件简化为应力边界条件简化为 0l1mYSy)(XSyx)(3.2 应力边界条件应力边界条件Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 46如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。响可以不计。4. 圣维南原理圣维南原理Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Pag
19、e - 47 应力解法应力解法 位移解法位移解法 混合解法混合解法5. 平面问题的解法平面问题的解法Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 48以应力分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理以应力分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些微分方程和方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些微分方程和边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变分量，用几边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变分量，用几何方程求出位移分量。何方程求出位移分量。应力解法应力解法Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page -
20、49以位移分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理以位移分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些微分方程和方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变分量，用物边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变分量，用物理方程求出应力分量。理方程求出应力分量。位移解法位移解法Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 50同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函数，综合同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含这些位移分量和应运用
21、平衡、几何和物理方程，得到只包含这些位移分量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出某些位力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出某些位移分量和某些应力分量，再利用适当的方程，求出其它的未移分量和某些应力分量，再利用适当的方程，求出其它的未知量。知量。混合解法混合解法Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 51将平面问题的几何方程中的将平面问题的几何方程中的 对对y求两次导数，求两次导数， 对对x求两求两次导数后相加，得次导数后相加，得xy)()()(222222222xvyuxyyvxxuyxyyx应力解法求解平面问题应力解法求解平面问题Oct., 2
22、006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 52等式右边括弧中的表达式就是等式右边括弧中的表达式就是 。所以。所以xyxyxyxyyx22222只有当只有当 、 、 满足变形协调方程，变形才能满足变形协调方程，变形才能协调。协调。xyxy变形协调方程应力解法求解平面问题应力解法求解平面问题(1-12)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 53yxxyxyxyyx22222)1 (2)()(利用物理方程将（1-12）式中的应变分量消去，使相容方程中只包含应力分量，然后和平衡方程联立，就能解出应力分量了 XxyxyxYyxyxy将平衡方程写成yYxXyxyxyxxy
23、222222对X求导对y求导(1-13)(1-14)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 54)(1 ()(2222yYxXyxyx平面应力问题以应力表示的相容方程 )(11)(2222yYxXyxyx平面应变问题 1当体力是常量时， 0)(2222yxyx0)(2yx22222yx平面问题的拉普拉斯算子 (1-15)(1-16)(1-17)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 55在体力为常量的情况下，将应力作为基本变量求解平面问题时，归在体力为常量的情况下，将应力作为基本变量求解平面问题时，归结为求解下列微分方程式：结为求解下列微分方程式
24、：00YxyXyxxyyyxx0)(2222yxyx6. 应力函数应力函数(1-17)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 56则齐次方程为则齐次方程为非齐次方程特解为非齐次方程特解为 00 xyyxxyyyxx6. 应力函数应力函数XxxYyy0 xy(1-18)(1-19)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 57为了求齐次方程通解，可将方程改写为为了求齐次方程通解，可将方程改写为 )(yxxyx)(xyyxy6. 应力函数应力函数由微分方程理论可知由微分方程理论可知 ：若存在：若存在 。则表达式则表达式 必是某必是某x, y函数的全微分
25、。函数的全微分。xyxqyyxp),(),(dyyxqdxyxp),(),(Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 58得到通解得到通解 yxxyxyyx222226. 应力函数应力函数(1-20)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 59将通解和特解叠加，即得微分方程的全解将通解和特解叠加，即得微分方程的全解 yxYyxXxyxyyx222226. 应力函数应力函数(1-21)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 60应力分量式除必须满足平衡微分方程外，还应满足变形协调应力分量式除必须满足平衡微分方程外，还应满足变形
26、协调条件。将式代入相容方程有条件。将式代入相容方程有0)(22222222YyyXxxyx6. 应力函数应力函数化简为化简为0)(22222222yxyx(1-22)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 61展开为展开为也可简化为也可简化为 这就是用应力函数表示的相容方程。这就是用应力函数表示的相容方程。 024422444yyxx0226. 应力函数应力函数(1-24)(1-23)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 62如果体力可以不计，则如果体力可以不计，则可简化为可简化为 ， ， 0 YX22yx22xyyxxy26. 应力函数应力函
27、数(1-25)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 63先假设各种形式的满足相容方程的应力函数，算出应力分量。先假设各种形式的满足相容方程的应力函数，算出应力分量。然后根据应力边界条件来考察在各种形状的弹性体上，这些然后根据应力边界条件来考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。可以解决什么问题。逆解法逆解法Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 64针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，针对所要求解的问题，根据弹性体的边
28、界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后来考虑这个应力函数是否满足相容方程，以及原函数，然后来考虑这个应力函数是否满足相容方程，以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量是否满足应力边界条件。是否满足应力边界条件。半逆解法半逆解法Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 65图1-8 极坐标中微元体受力图第三节第三节 弹性力学平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题的极坐标解答1. 1 极坐标中的平衡方程极坐标中的平衡
29、方程0rF12cos)(11)(ddrdrdddrrdrrrrrrr0112sin12sin)(12cosdrrdKddrddrdddrrrOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 66化简，略去高阶微量，得化简，略去高阶微量，得01rrrrKrrr1.1 极坐标中的平衡方程极坐标中的平衡方程同理可得同理可得021KrrrrrOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 67021Krrrrr01rrrrKrrr平衡微分方程平衡微分方程(1-26)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 681.2 极坐标中的几何方程极坐标中的几何
30、方程(a)仅有径向位移 u图1-9 极坐标中的位移(b)仅有周向位移vOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 69径向线段径向线段PA的正应变为的正应变为 rudrudrruuPAPPAAPAPAAPr假设只有径向位移没有周向位移假设只有径向位移没有周向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 70周向线段周向线段PB的正应变为的正应变为 rurdrddurPBPBBP)(假设只有径向位移没有周向位移假设只有径向位移没有周向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 71径向线段径向线段PA的转角为的转角为0假设只有
31、径向位移没有周向位移假设只有径向位移没有周向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 72周向线段周向线段PB的转角为的转角为urrduduuPBPPBB1)(假设只有径向位移没有周向位移假设只有径向位移没有周向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 73剪应变为剪应变为urr1假设只有径向位移没有周向位移假设只有径向位移没有周向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 74径向线段径向线段PA的正应变为：的正应变为：0r假设只有周向位移没有径向位移假设只有周向位移没有径向位移 Oct., 2006弹性力学基
32、本方法和平面问题解答Page - 75周向线段周向线段PB的正应变为：的正应变为： vrrdvdvvPBPBBP1)(假设只有周向位移没有径向位移假设只有周向位移没有径向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 76径向线段径向线段PA的转角的转角rvrvrvdrvdrrvvrvPAPPAA 假设只有周向位移没有径向位移假设只有周向位移没有径向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 77周向线段周向线段PB的转角的转角 0假设只有周向位移没有径向位移假设只有周向位移没有径向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page
33、 - 78剪应变为剪应变为 rvrvr假设只有周向位移没有径向位移假设只有周向位移没有径向位移 Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 79rvrvurvrrururr111.2 极坐标中的几何方程极坐标中的几何方程(1-27)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 80在平面应力情况下，在平面应力情况下， rrrrrrEGEE)1 (21)(1)(11.3 物理方程物理方程(1-28)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 81在平面应变的情况下，在平面应变的情况下， rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(1221.3
34、 物理方程物理方程(1-29)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 82和在直角坐标中推导相似，当体力可不计时，平衡微分方程和在直角坐标中推导相似，当体力可不计时，平衡微分方程的通解可以用极坐标的应力函数的通解可以用极坐标的应力函数 表示成为表示成为),(rrrrrrrrrrrrr222222211)1(111.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程(1-30)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 83直角坐标中的相容方程为直角坐标中的相容方程为02222222yxyx1.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函
35、数与相容方程(1-22)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 84由直角坐标和极坐标的关系由直角坐标和极坐标的关系,有有222yxrxyarctg1.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 85由此得由此得cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos21.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 86因为因为 是是r和和 的函数，同时也是的函数，同时也是x和和y的函数。所以的函数。所以sin
36、1cosrrxxrrxcos1sinrryyrry1.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 87重复以上运算，得重复以上运算，得)sin1cos)(sin1cos(22rrrrxrrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rr1.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 88)cos1sin)(cos1sin(22rrrryrrrrr22222coscossin2sin22222coscossin
37、2rr1.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 89将上两式相加起来，得到将上两式相加起来，得到代入（代入（1-22）式，得极坐标中的相容方程为）式，得极坐标中的相容方程为22222222211rrrryx1.4 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程0)11(222222rrrr(1-31)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 90在平面问题中，如果它的几何形状、约束情况以及所承受在平面问题中，如果它的几何形状、约束情况以及所承受的外载都对称于某一轴的外载都对称于
38、某一轴Z，则所有的应力分量、应变分量和，则所有的应力分量、应变分量和位移分量也必然对称于位移分量也必然对称于Z轴，也就是这些分量仅是径向坐标轴，也就是这些分量仅是径向坐标r的函数，而与的函数，而与Z无关。这类问题称做平面轴对称问题。无关。这类问题称做平面轴对称问题。2. 平面轴对称问题平面轴对称问题Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 91在轴对称问题中，应力函数只是径向坐标在轴对称问题中，应力函数只是径向坐标r的函数，即的函数，即在此情况下，在此情况下，（1-30）式简化为式简化为)(r0122rrrdrddrdr(1-32)Oct., 2006弹性力学基本方法和平
39、面问题解答Page - 92(1-31)式简化为式简化为将它展开将它展开0)1(222drdrdrd011232223344drdrdrdrdrdrdrd2. 平面轴对称问题平面轴对称问题(1-33)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 93这是一个四阶变系数常微分方程，它的通解是这是一个四阶变系数常微分方程，它的通解是 （1-34） 式中式中A、B、C、D是任意常数。是任意常数。DCrrBrrA22lnln2. 平面轴对称问题平面轴对称问题Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 94将式（将式（1-34）代入式（）代入式（1-32），得到应力
40、分量），得到应力分量02)ln23(2)ln21 (22rrrCrBrACrBrA2. 平面轴对称问题平面轴对称问题(1-35)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 95对平面应力问题，将应力分量式代入物理方程式得对平面应力问题，将应力分量式代入物理方程式得 0)1 ( 2ln)1 (2)3 ()1 (1)1 ( 2ln)1 (2)31 ()1 (122rrCrBBrAECrBBrAE（1-36） 2. 平面轴对称问题平面轴对称问题Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 96在轴对称情况下，位移在轴对称情况下，位移u=u（r），v=0，代入几何
41、方程，代入几何方程式，得式，得drdurru0r（1-37） 2. 平面轴对称问题平面轴对称问题Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 97将式（将式（1-36）代入式（）代入式（1-37）的第一式，并）的第一式，并对对r积分得积分得将式（将式（1-36）式代入式（）式代入式（1-37）的第二式，得）的第二式，得FCrrrBBrrAEdrur)1 (2) 1)(ln1 (2)31 ()1 (1CrrrBBrrAEru)1 (2ln)1 (2)3()1 (12. 平面轴对称问题平面轴对称问题Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 98为了为了使使u
42、的两个表达式一致，也就是满足位移单值条件，必的两个表达式一致，也就是满足位移单值条件，必须使式中的须使式中的B=0，F=0。将。将B=0，F=0的条件代入式（的条件代入式（1-35），），式（式（1-36），由此得出轴对称平面应力情况下的应力分量、），由此得出轴对称平面应力情况下的应力分量、应变分量和位移分量的表达式应变分量和位移分量的表达式CrACrAr2222(1-38)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 99CrAECrAEr)1 (2)1 (1)1 (2)1 (122(1-39)0)1 (2)1 (1vCrrAEu(1-40)Oct., 2006弹性力学基本
43、方法和平面问题解答Page - 100对于轴对称平面应变问题，只要将应变分量式，位移对于轴对称平面应变问题，只要将应变分量式，位移分量式中的分量式中的E换为换为 ，换为换为 ，就可得到平，就可得到平面应变的全部方程，方程中的积分常数面应变的全部方程，方程中的积分常数A、C由边界条由边界条件确定。件确定。21E12. 平面轴对称问题平面轴对称问题Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 101 3.1 沿径向承受均布压力的环板沿径向承受均布压力的环板如图所示。设环板的内半径为如图所示。设环板的内半径为 ，外半径为，外半径为 ，沿径向任一处的半径为，沿径向任一处的半径为r。
44、环环板内圆受均布压力板内圆受均布压力 ，外圆受均布压力，外圆受均布压力 。这是一个轴对称平面应力问题。这是一个轴对称平面应力问题。应力边界为应力边界为:iRoRiPoP3. 解法举例解法举例iRr irpoRr orpOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 102 将边界条件代入式（将边界条件代入式（1-38）CRApii22CRApoo223.1 沿径向承受均布压力的环板沿径向承受均布压力的环板Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 103求解这两个方程，得求解这两个方程，得2222222221)(ioooiiioiooiRRpRpRCRRpp
45、RRA3.1 沿径向承受均布压力的环板沿径向承受均布压力的环板(1-41)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 104将（将（1-41）式代入（）式代入（1-38）式、（）式、（1-39）式、（）式、（1-40）各式中，得环板的应力、应变和位移分量为各式中，得环板的应力、应变和位移分量为)()()()(222222222222222222ioiooiioooiiioiooiioooiirRRrppRRRRpRpRRRrppRRRRpRpR)()()1 ()1 (1)()()1 ()1 (1222222222222222222ioiooiioooiiioiooiiooo
46、iirRRrppRRRRpRpRERRrppRRRRpRpRE)()()1 ()1 (122222222ioiooiioooiiRRrppRRRRpRpRrEu(1-42)(1-43)(1-44)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 105 若受力的弹性体具有小孔，则孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔若受力的弹性体具有小孔，则孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，这种现象称做稍远处的应力，这种现象称做孔边应力集中孔边应力集中。孔边应力集中是局部现象，在几。孔边应力集中是局部现象，在几倍孔径以外，应力几乎不受孔的影响，应力的分布情况以及数值大小
47、都几乎与倍孔径以外，应力几乎不受孔的影响，应力的分布情况以及数值大小都几乎与无孔时相同，一般讲，应力集中的程度越高，集中现象越是局部性的。无孔时相同，一般讲，应力集中的程度越高，集中现象越是局部性的。 孔边应力增大的倍数与孔的形状有关，在各种形状的开孔中，圆孔孔边的应力孔边应力增大的倍数与孔的形状有关，在各种形状的开孔中，圆孔孔边的应力集中程度最低。因此，如果必须在构件中开孔，应当尽可能开圆孔。如果不可集中程度最低。因此，如果必须在构件中开孔，应当尽可能开圆孔。如果不可能开圆孔也应当采用近似于圆形的孔。只有圆孔孔边的应力可以用较简单的数能开圆孔也应当采用近似于圆形的孔。只有圆孔孔边的应力可以用
48、较简单的数学工具进行分析。下面分析几种不同承载情况下圆孔孔边的应力集中问题。学工具进行分析。下面分析几种不同承载情况下圆孔孔边的应力集中问题。3.2 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 1063.2.1 矩形薄板，在离开边缘较远外，有半径为矩形薄板，在离开边缘较远外，有半径为a的小圆孔，的小圆孔，薄板四边受均布拉力，强度为薄板四边受均布拉力，强度为q。见图。见图1-12(a)。(a)(b)2cos2sin22sin2cos22xyyxrxyyxyxr沿斜截面法线和切线方向应力 (1-45)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面
49、问题解答Page - 107qxqy0 xyqbrr)(0)(brr2cos2sin22sin2cos22xyyxrxyyxyxr问题变为求内半径为问题变为求内半径为a，外半径为，外半径为b的环板在外边界上受均布拉力的环板在外边界上受均布拉力q的应力分布。的应力分布。 只需在环板内、外压力时的应力表达式（只需在环板内、外压力时的应力表达式（1-42）中，令）中，令0ipqpoaRibRo2222222222211)(baraqrabbarbqr2222222222211)(baraqrabbarbqOct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 108因为因为b远大于远大于a，
50、可以近似取，可以近似取， 从而得到解答从而得到解答0ba)1 ()1 (2222raqraqr2222222222211)(baraqrabbarbqr0(1-46)Oct., 2006弹性力学基本方法和平面问题解答Page - 1093.2.2 矩形薄板，在离开边缘较远处有一半径为矩形薄板，在离开边缘较远处有一半径为a的小孔。的小孔。 薄板左右两边受均薄板左右两边受均布拉力，上下受均布压力。强度都为布拉力，上下受均布压力。强度都为q，见图，见图1-13。 2sin)(2cos)(qqbrrbrrqxqy0 xy环板的外边环板的外边界条件。界条件。 0)(0)(arrarr环板的内边界环板的内
