1、2019 年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1化简的结果为（ ） A5 B25 C5 D5 2若分式在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 3下列运算正确的是（ ） A3x2+4x27x4 B2x33x36x3 Cx6x3x2 D（x2）4x8 4 五名女生的体重 （单位： kg） 分别为： 37、 40、 38、 42、 42， 这组数据的众数和中位数分别是 （ ） A2、40 B42、38 C
2、40、42 D42、40 5运用乘法公式计算（a+3）（a3）的结果是（ ） Aa26a+9 Ba23a+9 Ca29 Da26a9 6点 P（2，5）关于 y 轴的对称点的坐标是（ ） A（2，5） B（2，5） C（5，2） D（2，5） 7一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数 字是偶数的概率为（ ） A B C D 8西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个 根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC 高为 a已知，冬至时北京的正午日光入射角 ABC 约为 26.5，则立柱根部与圭表的冬至
3、线的距离（即 BC 的长）约为（ ） Aasin26.5 B Cacos26.5 D 9如图，在平面直角坐标系中，点 P（1，4）、Q（m，n）在函数 y（k0）的图象上，当 m 1 时，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 A、B；过点 Q 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂 足为点 C、D，QD 交 PA 于点 E，随着 m 的增大，四边形 ACQE 的面积（ ） A增大 B减小 C先减小后增大 D先增大后减小 10如图，在 RtABC 中，A90，AB6，AC8，点 D 为边 BC 的中点，点 M 为边 AB 上的 一动点，点 N 为边 AC 上的一动点，且MDN90，则 si
4、nDMN 为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11计算：cos45 12计算结果是 13将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知152，则 14如图，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积比为 15如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，BC2ABA，B 两点的坐标分别是（1，0），（0， 2），C，D 两点在反比例函数 y（k0）的图象上，则 k 等于 16如图， 等边三角形 ABC 中， AB3， 点 D 在直线 BC 上， 点 E 在直线 AC 上，且BADCBE， 当
5、BD1 时，则 AE 的长为 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17解方程组 18如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 P 在 BC 的延长线上，AP 与 DE、CD 分别交 于点 G、FDF2CF，AB6，求 DG 的长 19某校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品小 红与小明去文化商店购买甲、 乙两种笔记本作为奖品， 若买甲种笔记本 20 个， 乙种笔记本 10 个， 共用 110 元；且买甲种笔记本 30 个比买乙种笔记本 20 个少花 10 元 （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2
6、）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的 2 倍还少 10 个，且购进两种笔记本的 总数量不少于 80 本，总金额不超过 320 元请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案 20 “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 这段话摘自九章算术，意思是说：如图，矩形城池 ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB、AD 的中点，EGAB，FHAD，EG15 里，HG 经过点 A，问 FH 多少里？ 21已知：如图，在ABC 中，点 D 在边 AC 上，BD 的垂直平分线交 CA 的
7、延长线于点 E，交 BD 于点 F，联结 BE，ED2EAEC （1）求证：EBAC； （2）如果 BDCD，求证：AB2ADAC 22如图，已知 C，D 是反比例函数 y图象在第一象限内的分支上的两点，直线 CD 分别交 x 轴、 y 轴于 A，B 两点，设 C，D 的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且 x1x2，连接 OC、OD （1）若 x1+y1x2+y2，求证：OCOD； （2）tanBOC，OC，求点 C 的坐标； （3）在（2）的条件下，若BOCAOD，求直线 CD 的解析式 23已知O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点 E且 ODAC，垂足为点 F （1）
8、如图 1，如果 ACBD，求弦 AC 的长； （2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值； （3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4） 边形的一边，求ACD 的面积 24在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 yax2+bx3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围 2019 年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟
9、试卷（年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1【分析】根据算术平方根的定义，直接得出表示 25 的算术平方根，即可得出答案 【解答】解：表示 25 的算术平方根， 5 故选：D 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，此题容易出错选择 A，应引起同学们的注意 2【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案 【解答】解：代数式在实数范围内有意义， x+20， 解得：x2 故选：D 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键 3
10、【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的定义解答 【解答】解：A、3x2+4x27x27x4，故本选项错误； B、2x33x323x3+36x3，故本选项错误； C、x6和 x3不是同类项，不能合并，故本选项错误； D、（x2）4x24x8，故本选项正确 故选：D 【点评】本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是 解题的关键 4【分析】根据众数和中位数的定义求解 【解答】解：这组数据的众数和中位数分别 42，40 故选：D 【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数也考查了中位数 5【分析】将原式直接套用平方差公式展开即
11、可得 【解答】解：（a+3）（a3）a232a29， 故选：C 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握（a+b）（ab）a2b2是关键 6【分析】熟悉：平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于 y 轴的对称点的坐标是（x，y） 【解答】解：点 P（2，5）关于 y 轴的对称点的坐标是：（2，5） 故选：D 【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系是需 要识记的内容 记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于纵轴的对称点，纵坐 标不变，横坐标变成相反数 7【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案 【解答】解：一枚质地均
12、匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次， 朝上一面的数字是偶数的概率为： 故选：C 【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键 8【分析】根据题意和图形，可以用含 a 的式子表示出 BC 的长，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 立柱根部与圭表的冬至线的距离为：， 故选：B 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答 9【分析】首先利用 m 和 n 表示出 AC 和 CQ 的长，则四边形 ACQE 的面积即可利用 m、n 表示， 然后根据函数的性质判断 【解答】解：ACm1，CQn， 则 S 四边形AC
13、QEACCQ（m1）nmnn P（1，4）、Q（m，n）在函数 y（x0）的图象上， mnk4（常数） S 四边形ACQEACCQ4n， 当 m1 时，n 随 m 的增大而减小， S 四边形ACQE4n 随 m 的增大而增大 故选：A 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用 n 表示出四边形 ACQE 的面 积是关键 10【分析】连结 AD，如图，先利用勾股定理计算出 BC10，再根据直角三角形斜边上的中线性 质得 DADC5，则1C，接着根据圆周角定理得到点 A、D 在以 MN 为直径的圆上，所 以1DMN，则CDMN， 然后在 RtABC 中利用正弦定义求C 的正弦值
14、即可得到 sin DMN 【解答】解：连结 AD，如图， A90，AB6，AC8， BC10， 点 D 为边 BC 的中点， DADC5， 1C， MDN90，A90， 点 A、D 在以 MN 为直径的圆上， 1DMN， CDMN， 在 RtABC 中，sinC， sinDMN， 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已 有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通 过作平行线构造相似三角形也考查了直角三角形斜边上的中线性质 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共
15、 18 分）分） 11【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可 【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45 故答案为 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答 的关键 12【分析】根据同分母的分式相加的法则，分母不变分子相加减，再约分即可得出结果 【解答】解：原式 1， 故答案为 1 【点评】本题是基础题，考查了分式的加减法，同分母的分式相加减的法则：分母不变，分子相 加 13【分析】依据3，以及1452，即可得到（18052）64 【解答】解：对边平行， 2， 由折叠可得，23， 3， 又1452， （18052）64， 故答案为：64 【点
16、评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等 14【分析】根据三角形的中位线得出 DEBC，DEBC，推出ADEABC，根据相似三角 形的性质得出即可 【解答】解：D、E 分别为 AB、AC 的中点， DEBC，DEBC， ADEABC， （）2， 故答案为：1：4 【点评】本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比 等于相似比的平方 15【分析】设点 C 坐标为（a，），根据 AC 与 BD 的中点坐标相同，可得出点 D 的坐标，将点 D 的坐标代入函数解析式可得出 k 关于 a 的表达式，再由 BC2AB2，可求出 a 的值，继而 得
17、出 k 的值 【解答】解：设点 C 坐标为（a，），（k0），点 D 的坐标为（x，y）， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 的中点坐标相同， （，）（，）， 则 xa1，y， 代入 y，可得：k2a2a2 ； 在 RtAOB 中，AB， BC2AB2， 故 BC2（0a）2 +（2）2 （2）2， 整理得：a4+k24ka16a2， 将k2a2a2，代入后化简可得：a24， a0， a2， k4812 故答案为：12 方法二： 因为 ABCD 是平行四边形，所以点 C、D 是点 A、B 分别向左平移 a，向上平移 b 得到的 故设点 C 坐标是（a，2+b），点 D 坐标是（
18、1a，b），（a0，b0） 根据 K 的几何意义，|a|2+b|1a|b|， 整理得 2a+abb+ab， 解得 b2a 过点 D 作 x 轴垂线，交 x 轴于 H 点，在直角三角形 ADH 中， 由已知易得 AD2，AHa，DHb2a AD2AH2+DH2，即 20a2+4a2， 得 a2 所以 D 坐标是（3，4） 所以|K|12，由函数图象在第二象限， 所以 k12 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解方程的知 识，解答本题有两个点需要注意：设出点 C 坐标，表示出点 D 坐标，代入反比例函数解析式； 根据 BC2AB2，得出方程，难度较大，注意仔
19、细运算 16【分析】分四种情形分别画出图形，利用全等三角形或相似三角形的性质解决问题即可； 【解答】解：分四种情形： 如图 1 中，当点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AC 上时 ABC 是等边三角形， ABBCAC3，ABDBCE60， BADCBE， ABDBCE（ASA）， BDEC1， AEACEC2 如图 2 中，当点 D 在边 BC 上，点 E 在 AC 的延长线上时作 EFAB 交 BC 的延长线于 F CEFCAB60，ECFACB60， ECF 是等边三角形，设 ECCFEFx， ABDBFE60，BADFBE， ABDBFE， ， ， x， AEAC+CE 如图 3 中
20、，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上时 ABDBCE120，ABBC，BADFBE， ABDBCE（ASA）， ECBD1， AEAC+EC4 如图 4 中，当点 D 在 CB 的延长线上，点 E 在边 AC 上时作 EFAB 交 BC 于 F，则EFC 是等边三角形 设 ECEFCFm， 由ABDBFE，可得， ， x， AEACEC， 综上所述，满足条件的 AE 的值为 2 或 4 或或 故答案为 2 或 4 或或 【点评】本题是三角形综合题、考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形 的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学
21、会添加常用辅助线，构 造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：， 得：x6， 将 x6 代入得：y4， 则方程组的解为 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减 消元法 18【分析】利用PCFPBA，求出 PC 的长，从而可得 PE，再利用PGEAGD，即可求 出 DG 的长 【解答】解：在正方形 ABCD 中，有 PCFPBA 而 DF2CF，即 CFCD 即 而 ABBC6， PC3 又点 E 是 BC 的中点 D
22、E3，PE6 ADEP PGEAGD 而 PEAD6， GEGD 故 DG 的长为 【点评】本题是利用三角形相似，对应边成比例，从而根据比例线段来求未知线段，关键是要找 准能够运用的相似三角形 19【分析】（1）关键描述语是：买甲种笔记本 20 个，乙种笔记本 10 个，共用 110 元；且买甲种 笔记本 30 个比买乙种笔记本 20 个少花 10 元； 设甲种笔记本的单价是 x 元，乙种笔记本的单价是 y 元，列方程组解 x，y 的值即可； （2）关键描述语是：本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的 2 倍还少 10 个，且购进 两种笔记本的总数量不少于 80 本，总金额不超过 320
23、 元； 设本次购买乙种笔记本 m 个，则甲种笔记本（2m10）个；可得 m+（2m10）80，3（2m 10）+5m320，求得 m 的整数值范围 【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是 x 元，乙种笔记本的单价是 y 元（1 分） 根据题意可得 解这个方程组得（4 分） 答：甲种笔记本的单价是 3 元，乙种笔记本的单价是 5 元（5 分） （2）设本次购买乙种笔记本 m 个，则甲种笔记本（2m10）个（6 分） 根据题意可得 m+（2m10）80，解这个不等式得 m30， 3（2m10）+5m320 解这个不等式得 m31（9 分） 因为 m 为正整数，所以 m 的值为：30 或 31 故本
24、次购进甲笔记本 50 个、乙笔记本 30 个；或购进甲笔记本 52 个、乙笔记本 31 个 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系 20【分析】首先根据题意得到GEAAFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例 式求得答案即可 【解答】解：EGAB，FHAD，HG 经过点 A， FAEG，EAFH， AEGHFA90，EAGFHA， GEAAFH， AB9 里，AD7 里，EG15 里， AF3.5 里，AE4.5 里， ， FH1.05 里 【点评】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是从实际问题中整理出相似三 角形，难度不大 21【分析
25、】（1）欲证明EBAC，只要证明BAECEB 即可； （2）欲证明 AB2ADAC，只要证明BADCAB 即可； 【解答】（1）证明：ED2EAEC， ， BEACEB， BAECEB， EBAC （2）证明：EF 垂直平分线段 BD， EBED， EDBEBD， C+DBCEBA+ABD， EBAC， DBCABD， DBDC， CDBC， ABDC，BADCAB， BADCAB， ， AB2ADAC 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正 确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 22【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出 y1
26、，y2，将其代入 x1+y1 x2+y2中可得出 x1x2 ，结合 x1x2可得出 x2y1，x1y2，再利用两点间的距 离公式可证出 OCOD； （2）由正切的定义可得出，结合+10 可求出 x1，y1的值，再由点 C 在第一象 限即可得出点 C 的坐标； （3）由点 C 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 m 的值，重复（2）的过程可得 出点 D 的坐标，再由点 C，D 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 CD 的解析式 【解答】（1）证明：C，D 是反比例函数 y图象在第一象限内的分支上的两点， y1 ，y2 x1+y1x2+y2，即 x1+ x2+， x1x2 又x1x2，
27、 1， x2y1，x1y2 OC，OD， OCOD （2）解：tanBOC， 又OC， +10， x11，y13 或 x11，y13 点 C 在第一象限， 点 C 的坐标为（1，3） （3）解：BOCAOD， tanAOD， 点 C（1，3）在反比例函数 y的图象上， m133， x2y23， x23，y21 或 x23，y21 点 D 在第一象限， 点 D 的坐标为（3，1） 设直线 CD 的解析式为 ykx+b（k0）， 将 C（1，3），D（3，1）代入 ykx+b，得：， 解得：， 直线 CD 的解析式为 yx+4 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、正切
28、的定义以及待定 系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征结合 x1+y1 x2+y2，找出 x2y1，x1y2；（2）利用正切的定义、OC 及点 C 在第一象限，求出点 C 的坐标；（3）根据点 C，D 的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式 23【分析】（1）由 ACBD 知+，得，根据 ODAC 知，从而得 ，即可知AODDOCBOC60，利用 AFAOsinAOF 可得答案； （2）连接 BC，设 OFt，证 OF 为ABC 中位线及DEFBEC 得 BCDF2t，由 DF1 t 可得 t，即可知 BCDF，继而求得 EFAC，由余切函数定义可得答案
29、； （3）先求出 BC、CD、AD 所对圆心角度数，从而求得 BCAD、OF，从而根据三角 形面积公式计算可得 【解答】解：（1）ODAC， ，AFO90， 又ACBD， ，即+， ， ， AODDOCBOC60， AB2， AOBO1， AFAOsinAOF1， 则 AC2AF； （2）如图 1，连接 BC， AB 为直径，ODAC， AFOC90， ODBC， DEBC， DEBE、DEFBEC， DEFBEC（ASA）， BCDF、ECEF， 又AOOB， OF 是ABC 的中位线， 设 OFt，则 BCDF2t， DFDOOF1t， 1t2t， 解得：t， 则 DFBC、AC， EFF
30、CAC， OBOD， ABDD， 则 cotABDcotD； （3）如图 2， BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边， BOC、AODCOD， 则+2180， 解得：n4， BOC90、AODCOD45， BCAC， AFO90， OFAOcosAOF， 则 DFODOF1， SACDACDF （1） 【点评】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等 三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点 24【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点 B 的坐标，根据平移的性质可求点 C 的坐标； （2）根据坐标轴上点的坐标
31、特征可求点 A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴； （3）结合图形，分三种情况：a0；a0，抛物线的顶点在线段 BC 上；进行讨论即可 求解 【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x0 代入直线 y4x+4 得 y4， B（0，4）， 点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， C（5，4）； （2）与 x 轴交点：令 y0 代入直线 y4x+4 得 x1， A（1，0）， 点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， 将点 A（1，0）代入抛物线 yax2+bx3a 中得 0ab3a，即 b2a， 抛物线的对称轴 x1； （3）抛物线 yax2+bx3a 经过点 A（1，0）且对称轴
32、x1， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0）， a0 时，如图 1， 将 x0 代入抛物线得 y3a， 抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， 3a4， a ， 将 x5 代入抛物线得 y12a， 12a4， a ， a； a0 时，如图 2， 将 x0 代入抛物线得 y3a， 抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， 3a4， a ； 当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3， 将点（1，4）代入抛物线得 4a2a3a， 解得 a1 综上所述，a或 a或 a1 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的 关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式本题属于中档题，难度不大，但 涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题
