1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷) 一、选择题 1.A B=x|x=n 2,nA=1,4,9,16, AB=1,4,故选 A. 2.B - = - = - =- =-1+ i,故选 B. 3.B 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6 种不 同的结果,取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的有(1,3),(2,4)2 种结果,概率为 ,故选 B. 4.C 由双曲线的离心率 e= = 可知, = ,而双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为 y= x,故选 C. 5.B 对于命题 p,由于 x
2、=-1 时,2 -1= =3 -1,所以是假命题,故p 是真命题; 对于命题 q,设 f(x)=x 3+x2-1,由于 f(0)=-10,所以 f(x)=0 在区间(0,1)上有解, 即存在 xR,x 3=1-x2,故命题 q 是真命题. 综上,pq 是真命题,故选 B. 6.D 因为 a1=1,公比 q= ,所以 an=( ) - ,S n= - - =3* -( ) +=3-2( ) - =3-2a n,故选 D. 7.A 由框图可知 s= ,- , - , ,即求分段函数的值域. 当-1t0,所以 f(x)0,排除选项 A;又函数 f(x)的导函数 f x =sin xsin x+ 1-
3、cos x cos x,所以 f (0)=0,排除 D. 故选 C. 评析 本题考查对函数图象的识辨能力,考查综合运用所学知识的意识,体现了数形结合 的思想方法;难点是判断选项 C 中 f (0)=0. 10.D 由 23cos 2A+cos 2A=0 得 25cos2A=1, 因为 A 为锐角,所以 cos A= .又由 a 2=b2+c2-2bccos A 得 49=b2+36- b,整理得 5b 2-12b-65=0, 解得 b=- (舍)或 b=5,故选 D. 11.A 由所给三视图可知该几何体是一个组合体,下方是底面为半圆的柱体,底面半圆的半 径为 2,高为 4;上方为长、宽、高分别
4、为 4、2、2 的长方体.所以该几何体的体积为 2 24+422=16+8,故选 A. 评析 本题考查识图能力和空间想象能力以及体积的计算;能正确得出几何体的形状是解 题关键. 12.D |f(x)|= - , , , , 其图象如图. 由对数函数图象的变化趋势可知,要使 ax|f x |,则 a0,且 axx 2-2x x0 , 即 ax-2 对 x0 恒成立,所以 a-2. 综上,-2a0,故选 D. 二、填空题 13. 答案 2 解析 bc=bta+ 1-t b=tab+ 1-t)b 2 =t|a|b|cos 60+ 1-t)|b| 2 = +1-t=1- . 由 bc=0,得 1- =
5、0,所以 t=2. 14. 答案 3 解析 可行域为平行四边形 ABCD 及其内部(如图), 由 z=2x-y,得 y=2x-z.-z的几何意义是直线y=2x-z在y 轴上的截距,要使 z最大,则-z最小, 所以当直线 y=2x-z 过点 A(3,3)时,z 最大,最大值为 23-3=3. 15. 答案 解析 平面 截球 O 所得截面为圆面,圆心为 H,设球 O 的半径为 R,则由 AHHB=12 得 OH= R, 由圆 H 的面积为 ,得圆 H 的半径为 1, 所以( ) +12=R2,得出 R2= ,所以球 O 的表面积 S=4R 2=4 = . 16. 答案 - 解析 f(x)=sin
6、x-2cos x= sin(x- ,其中 cos = ,sin = , 当 x-=2k+ 时,f(x)取得最大值 ,此时 x=2k+ +,即 =2k+ +,cos =cos( )=-sin =- . 评析 本题考查三角函数的最值问题,考查了运算求解能力;熟练运用三角函数的有关公 式是解题关键. 三、解答题 17. 解析 设an的公差为 d,则 Sn=na1+ - d. 由已知可得 , - .解得 a 1=1,d=-1. 故an的通项公式为 an=2-n. 由 知 - = - - = ( - - - ), 从而数列 - 的前 n 项和为 ( - - - - - - )= - . 评析 本题考查等
7、差数列的通项公式及前n项和公式,考查了裂项求和的方法,考查了运算 求解能力与方程思想. 18. 解析 设 A 药观测数据的平均数为 ,B 药观测数据的平均数为 ,由观测结果可得 = (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3. 2+3.5)=2.3, = (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2. 7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 ,因此可看出 A 药的疗效更好. 由观测结
8、果可绘制如下茎叶图: 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验结 果有 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 评析 本题考查数据的平均数和茎叶图,考查数据的分析处理能力和应用意识. 19. 解析 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OCAB. 由于 AB=AA1,BAA1=60,故AA1B 为等边三角形,所以 OA1AB. 因为 OCOA1=O, 所以 AB平面 OA1C. 又 A1C平面 OA1C, 故 ABA1C. 由题设知ABC 与AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以
9、 OC=OA1= . 又 A1C= ,则 A1C 2=OC2+O ,故 OA1OC. 因为 OCAB=O,所以 OA1平面 ABC,OA1为三棱柱 ABC-A1B1C1的高. 又ABC 的面积 SABC= ,故三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V=SABCOA1=3. 评析 本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、线线、线面的位置关系以及体积计算 等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力. 20. 解析 f x =e x(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4, f (0)=4.故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. 由 知 f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,
10、 f (x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)( - ). 令 f (x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x -,-2 -ln 2,+ 时, f (x)0; 当 x -2,-ln 2)时, f (x)0. 故 f(x)在(-,-2),(-ln 2,+ 上单调递增, 在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e -2). 评析 本题考查导数的运算及几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识, 考查了运算求解能力. 21. 解析 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N
11、的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点,2 为长半轴长, 为短半轴长的椭圆(左 顶点除外),其方程为 + =1 x-2). 对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以 R2,当且仅当圆 P 的圆 心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) 2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90,则 l 与 y 轴重合,
12、可得|AB|=2 . 若 l 的倾斜角不为 90,由 r1R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则| | | |= ,可求得 Q(-4,0), 所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得 | | =1, 解得 k= . 当 k= 时,将 y= x+ 代入 + =1, 整理得 7x 2+8x-8=0, 解得 x1,2=- . 所以|AB|= |x2-x1|= . 当 k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= . 综上,|AB|=2 或|AB|= . 评析 本题考查了求轨迹方程的方法、椭圆的定义和标准方程,考查了直线与圆、椭圆的 位置关系及弦长计算等基础知
13、识,考查了运算求解能力和推理论证能力,考查了数形结合思 想和分类讨论思想. 22. 解析 连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得ABE=BCE. 而ABE=CBE,故CBE=BCE,所以 BE=CE. 又因为 DBBE,所以 DE 为直径,所以DCE=90, 由勾股定理可得 DB=DC. 由 知CDE=BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= . 设 DE 的中点为 O,连结 BO,则BOG=60. 从而ABE=BCE=CBE=30, 所以 CFBF,故 RtBCF 外接圆的半径等于 . 23. 解析 将 , 消去参数 t,化为普通方程为(x-4) 2+(y-
14、5)2=25, 即 C1:x 2+y2-8x-10y+16=0. 将 , 代入 x 2+y2-8x-10y+16=0 得 2-8cos -10sin +16=0. 所以 C1的极坐标方程为 2-8cos -10sin +16=0. C2的普通方程为 x 2+y2-2y=0. 由 - - , - , 解得 , 或 , . 所以 C1与 C2交点的极坐标分别为( , ),( , ). 24. 解析 当 a=-2 时,不等式 f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y= - , , - - , , - , . 其图象如图所示. 从图象可知,当且仅当 x 0,2 时,y0. 所以原不等式的解集是x|0x2. 当 x*- , )时, f(x)=1+a. 不等式 f x g x 化为 1+ax+3. 所以 xa-2 对 x*- , )都成立. 故- a-2,即 a . 从而 a 的取值范围是(- , +.
