1、 1线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行， 则该直线与此平 面平行(简记为“线线平行线 面平行”) la，a ，l， l 性质定理 一条直线与一个平面平行， 则过 这条直线的任一平面与此平面 的交线与该直线平行(简记为 “线面平行线线平行”) l，l ， b， lb 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行 面面平行”) a， b， abP， a，b， 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那
2、么它们的交线平行 ，a， b，ab 【知识拓展】 重要结论： (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 ； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab； (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ，则 . 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面(
3、) (5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( ) (6)若 ，直线 a，则 a.( ) 1(教材改编)下列命题中正确的是( ) A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b 答案 D 解析 A 中，a 可以在过 b 的平面内；B 中，a 与 内的直线可能异面；C 中，两平面可相交； D 中，由直线与平面平行的判定定理知，b，正确 2设 l，m 为直线， 为平面，且 l，m，则“lm”是“”的( ) A充
4、分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“lm”是“”的必 要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，lm是 的必要不 充分条件 3(2016 济南模拟)平面 平面 的一个充分条件是( ) A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 答案 D 解析 若 l，al，a，a，则 a，a，故排除 A.若 l，a，al，则 a，故排除 B.若 l，a，al，b，bl，则 a，b，故排除 C.故选 D
5、. 4(教材改编)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 DD1的中点，则 BD1与平面 AEC 的 位置关系为_ 答案 平行 解析 连接 BD， 设 BDACO， 连接 EO， 在BDD1中， O 为 BD 的中点， 所以 EO 为BDD1 的中位线， 则 BD1EO，而 BD1平面 ACE，EO平面 ACE， 所以 BD1平面 ACE. 5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形 EFGH 为截面，则四边形 EFGH 的形状为 _ 答案 平行四边形 解析 平面 ABFE平面 DCGH， 又平面 EFGH平面 ABFEEF，平面 EFGH平面 DCGHHG， EFHG.同理 E
6、HFG， 四边形 EFGH 的形状是平行四边形. 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 例 1 如图，四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABBC1 2AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC， CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：GH平面 PAD. 证明 (1)连接 EC， ADBC，BC1 2AD， BC 綊 AE， 四边形 ABCE 是平行四边形， O 为 AC 的中点 又F 是 PC 的中点，FOAP， FO平面 BEF，AP平面 BEF， AP平面 BEF. (2)连接 FH，
7、OH， F，H 分别是 PC，CD 的中点， FHPD，FH平面 PAD. 又O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点， OHAD，OH平面 PAD. 又 FHOHH，平面 OHF平面 PAD. 又GH平面 OHF，GH平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 例 2 (2017 长沙调研)如图， 四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形， 四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH平面 ABCD， BC平面 GEFH. (1)证明：GHEF； (2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积 (1)证明 因为 B
8、C平面 GEFH，BC平面 PBC， 且平面 PBC平面 GEFHGH， 所以 GHBC. 同理可证 EFBC，因此 GHEF. (2)解 如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK. 因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC， 同理可得 POBD. 又 BDACO，且 AC，BD 都在底面内， 所以 PO底面 ABCD. 又因为平面 GEFH平面 ABCD， 且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH. 因为平面 PBD平面 GEFHGK， 所以 POGK，且 GK底面 ABCD， 从而 GKEF. 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由
9、 AB8，EB2 得 EBABKBDB14， 从而 KB1 4DB 1 2OB，即 K 为 OB 的中点 再由 POGK 得 GK1 2PO， 即 G 是 PB 的中点，且 GH1 2BC4. 由已知可得 OB4 2， PO PB2OB2 68326， 所以 GK3. 故四边形 GEFH 的面积 SGHEF 2 GK 48 2 318. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)； (3)利用面面平行的性质定理(，aa)； (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa) 如图所示，CD，AB 均与平面 EFGH 平
10、行，E，F，G，H 分别在 BD，BC，AC， AD 上，且 CDAB.求证：四边形 EFGH 是矩形 证明 CD平面 EFGH， 而平面 EFGH平面 BCDEF， CDEF. 同理 HGCD，EFHG. 同理 HEGF， 四边形 EFGH 为平行四边形 CDEF，HEAB， HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角（或补角） 又CDAB，HEEF. 平行四边形 EFGH 为矩形 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 3 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的 中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA
11、1平面 BCHG. 证明 (1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1C1的中位线， GHB1C1. 又B1C1BC， GHBC， B，C，H，G 四点共面 (2)E，F 分别是 AB，AC 的中点， EFBC. EF平面 BCHG，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. A1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形， A1EGB. A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG. A1EEFE， 平面 EFA1平面 BCHG. 引申探究 1在本例条件下，若 D 为 BC1的中点，求证：HD平面 A1B1BA. 证明 如图所示，连接 HD，A
12、1B， D 为 BC1的中点，H 为 A1C1的中点， HDA1B， 又 HD平面 A1B1BA， A1B平面 A1B1BA， HD平面 A1B1BA. 2在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D. 证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1BDM. A1B平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， DM平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊 BD， 四边形 BDC1D1为平行四边形， DC1BD1. 又 DC1平面
13、 A1BD1，BD1平面 A1BD1， DC1平面 A1BD1， 又DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 平面 A1BD1平面 AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个 平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化 (2016 许昌三校第三次考试)如图所示，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行 四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的
14、中点求证： (1)BE平面 DMF； (2)平面 BDE平面 MNG. 证明 (1)如图所示，设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O， 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线， 所以 BEMO. 因为 BE平面 DMF，MO平面 DMF， 所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点， 所以 DEGN. 因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG， 所以 DE平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线， 所以 BDMN. 因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG， 所以 BD平面
15、MNG. 因为 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线， 所以平面 BDE平面 MNG. 题型三 平行关系的综合应用 例 4 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB 上是否存在一 点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由 解 方法一 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1. 下面给出证明： 如图，取 BB1的中点 F，连接 DF， 则 DFB1C1， AB 的中点为 E，连接 EF，ED， 则 EFAB1，B1C1AB1B1， 平面 DEF平面 AB1C1. 而 DE平面 DEF
16、， DE平面 AB1C1. 方法二 假设在棱 AB 上存在点 E， 使得 DE平面 AB1C1， 如图，取 BB1的中点 F，连接 DF，EF，ED，则 DFB1C1， 又 DF平面 AB1C1，B1C1平面 AB1C1， DF平面 AB1C1， 又 DE平面 AB1C1，DEDFD， 平面 DEF平面 AB1C1， EF平面 DEF，EF平面 AB1C1， 又EF平面 ABB1，平面 ABB1平面 AB1C1AB1， EFAB1， 点 F 是 BB1的中点，点 E 是 AB 的中点 即当点 E 是 AB 的中点时，DE平面 AB1C1. 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化
17、，尤其在截面图的画法中，常 用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD，试问截面在 什么位置时其截面面积最大？ 解 AB平面 EFGH， 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG，EH. ABFG，ABEH， FGEH，同理可证 EFGH， 截面 EFGH 是平行四边形 设 ABa，CDb，FGH ( 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角) 又设 FGx，GHy，则由平面几何知识可得x a CG BC， y b BG BC，两式相加得 x a y b1，即 y b a(ax)
18、， SEFGHFG GH sin x b a (ax) sin bsin a x(ax) x0，ax0 且 x(ax)a 为定值， bsin a x(ax)absin 4 ，当且仅当 xax 时等号成立 此时 xa 2，y b 2. 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大 5立体几何中的探索性问题 典例 (12分)如图， 在四棱锥SABCD中， 已知底面ABCD为直角梯形， 其中ADBC， BAD 90 ，SA底面 ABCD，SAABBC2，tanSDA2 3. (1)求四棱锥 SABCD 的体积； (2)在棱 SD 上找一点 E，使
19、 CE平面 SAB，并证明 规范解答 解 (1)SA底面 ABCD，tanSDA2 3，SA2， AD3.2 分 由题意知四棱锥 SABCD 的底面为直角梯形，且 SAABBC2， VSABCD1 3 SA 1 2 (BCAD) AB 1 32 1 2(23)2 10 3 .6 分 (2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE平面 SAB.8 分 证明如下： 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E，取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F，连接 CE，EF，BF， 则 EF 綊2 3AD，BC 綊 2 3AD， BC 綊 EF，CEBF.10 分 又BF平面 SAB，CE
20、平面 SAB， CE平面 SAB.12 分 解决立体几何中的探索性问题的步骤： 第一步：写出探求的最后结论； 第二步：证明探求结论的正确性； 第三步：给出明确答案； 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 1(2017 保定月考)有下列命题： 若直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则直线 l； 若直线 a 在平面 外，则 a； 若直线 ab，b，则 a； 若直线 ab，b，则 a 平行于平面 内的无数条直线 其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 命题：l 可以在平面 内，不正确；命题：直线 a 与平面 可以是相交关系，不 正确；命题：a 可以在平面 内，不
21、正确；命题正确故选 A. 2(2016 滨州模拟)已知 m，n，l1，l2表示直线， 表示平面若 m，n，l1，l2 ，l1l2M，则 的一个充分条件是( ) Am 且 l1 Bm 且 n Cm 且 nl2 Dml1且 nl2 答案 D 解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平 行”可得，由选项 D 可推知 .故选 D. 3对于空间中的两条直线 m，n 和一个平面 ，下列命题中的真命题是( ) A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 m，n，则 mn D若 m，n，则 mn 答案 D 解析 对 A，直线 m，n 可能平行、异面或相交，故 A
22、 错误；对 B，直线 m 与 n 可能平行， 也可能异面，故 B 错误；对 C，m 与 n 垂直而非平行，故 C 错误；对 D，垂直于同一平面的 两直线平行，故 D 正确 4 如图， L， M， N 分别为正方体对应棱的中点， 则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是( ) A垂直 B相交不垂直 C平行 D重合 答案 C 解析 如图，分别取另三条棱的中点 A，B，C，将平面 LMN 延展为平面正六边形 AMBNCL， 因为 PQAL， PRAM， 且 PQ 与 PR 相交， AL 与 AM 相交， 所以平面 PQR平面 AMBNCL， 即平面 LMN平面 PQR. 5(2016 全国甲卷)
23、， 是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 mn，m，n，那么 ； 如果 m，n，那么 mn； 如果 ，m，那么 m； 如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 答案 解析 当 mn，m，n 时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知 均正确，故正确答案为. 6设 ， 是三个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，在命题“m，n，且 _，则 mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题 ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_ 答案 或 解析 由面面平行的性质定理可知，正确；当 n，m 时，n 和
24、 m 在同一平面内，且 没有公共点，所以平行，正确 7在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1 上的点，则点 Q 满足条件_时，有平面 D1BQ平面 PAO. 答案 Q 为 CC1的中点 解析 假设 Q 为 CC1的中点 因为 P 为 DD1的中点， 所以 QBPA. 连接 DB，因为 O 是底面 ABCD 的中心， 所以 D1BPO， 又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，且 PAPO 于 P， 所以 D1B平面 PAO，QB平面 PAO， 又 D1BQB 于 B，所以平面 D1BQ平面 PAO. 故点 Q 满足条件，
25、Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO. 8将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命 题称为“可换命题”给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一平面的两平面平行；平行于同一直线的两 直线平行；平行于同一平面的两直线平行其中是“可换命题”的是_(填命题的 序号) 答案 解析 由线面垂直的性质定理可知是真命题， 且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题， 故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不 是“可换命题”；由公理 4 可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题， 故是“可换命题”
26、；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命 题，故不是“可换命题” 9.如图，空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长分别为 5 和 4，则平行于两条对棱的截 面四边形 EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是_ 答案 (8,10) 解析 设DH DA GH ACk， AH DA EH BD1k， GH5k，EH4(1k)，周长82k. 又0k1，周长的取值范围为(8,10) *10.在三棱锥 SABC 中，ABC 是边长为 6 的正三角形，SASBSC15，平面 DEFH 分 别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H.D，E 分别是 AB，BC 的中点
27、，如果直线 SB平 面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为_ 答案 45 2 解析 如图，取 AC 的中点 G， 连接 SG，BG. 易知 SGAC，BGAC，SGBGG， 故 AC平面 SGB， 所以 ACSB. 因为 SB平面 DEFH，SB平面 SAB，平面 SAB平面 DEFHHD， 则 SBHD. 同理 SBFE. 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 则 H，F 也为 AS，SC 的中点， 从而得 HF 綊1 2AC 綊 DE， 所以四边形 DEFH 为平行四边形 又 ACSB，SBHD，DEAC， 所以 DEHD， 所以四边形 DEFH 为矩形， 其面积 SHF HD(
28、1 2AC) ( 1 2SB) 45 2 . 11.如图，E、F、G、H 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BC、CC1、C1D1、AA1的中点求 证： (1)EG平面 BB1D1D； (2)平面 BDF平面 B1D1H. 证明 (1)取 B1D1的中点 O，连接 GO，OB， 易证四边形 BEGO 为平行四边形，故 OBEG， 由线面平行的判定定理即可证 EG平面 BB1D1D. (2)由题意可知 BDB1D1. 如图，连接 HB、D1F， 易证四边形 HBFD1是平行四边形，故 HD1BF. 又 B1D1HD1D1， BDBFB， 所以平面 BDF平面 B1D1H. 12.如图，
29、四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，BCPD2，E 为 PC 的中点，CB3CG. (1)求证：PCBC； (2)AD 边上是否存在一点 M，使得 PA平面 MEG？若存在，求 AM 的长；若不存在，请说 明理由 (1)证明 因为 PD平面 ABCD，BC平面 ABCD， 所以 PDBC. 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BCCD. 又 PDCDD，所以 BC平面 PCD. 因为 PC平面 PDC，所以 PCBC. (2)解 连接 AC，BD 交于点 O，连接 EO，GO， 延长 GO 交 AD 于点 M，连接 EM，则 PA平面 MEG. 证明如下：因
30、为 E 为 PC 的中点，O 是 AC 的中点， 所以 EOPA. 因为 EO平面 MEG，PA平面 MEG， 所以 PA平面 MEG. 因为OCGOAM， 所以 AMCG2 3， 所以 AM 的长为2 3. *13.如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1上的点 (1)当A1D1 D1C1等于何值时，BC1平面 AB1D1? (2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求AD DC的值 解 (1)如图所示，取 D1为线段 A1C1的中点，此时A1D1 D1C11. 连接 A1B，交 AB1于点 O，连接 OD1. 由棱柱的性质知，四边形 A1ABB1为平行四边形， 点 O 为 A1B 的中点 在A1BC1中，点 O，D1分别为 A1B，A1C1的中点， OD1BC1. 又OD1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1， BC1平面 AB1D1. 当A1D1 D1C11 时，BC1平面 AB1D1. (2)由平面 BC1D平面 AB1D1， 且平面 A1BC1平面 BC1DBC1， 平面 A1BC1平面 AB1D1D1O， 得 BC1D1O，同理 AD1DC1， A1D1 D1C1 A1O OB， A1D1 D1C1 DC AD， 又A1O OB1， DC AD1，即 AD DC1.
