1、第 7 讲 解三角形应用举例 一、选择题 1在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是 50，且到A的距 离为 2，C点的俯角为 70，且到A的距离为 3，则B、C间的距离为( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 解析 因BAC120，AB2，AC3. BC 2AB2AC22ABACcos BAC 49223cos 12019. BC 19. 答案 D 2如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能 确定A，B间距离的是( ) A，a，b B，a Ca，b， D，b 解析 选项 B 中由正弦定理可求b， 再由余弦定理可确定AB.选项 C 中可由余
2、 弦定理确定AB.选项 D 同 B 类似，故选 A. 答案 A 3 一艘海轮从 A 处出发， 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是 南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B，C 两点间的距 离是 ( ) A10 2海里 B10 3海里 C20 3海里 D20 2海里 解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海 里，CAB30 ，ACB45 ，根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45 ，解得 BC 10 2(海里) 答案 A 4. 如图，两座相距
3、 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分 别为 20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 ( ) A30 B45 C60 D75 解析 依题意可得 AD20 10(m)，AC30 5(m)， 又 CD50(m)， 所以在ACD 中， 由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2AC AD 30 5 220 102502 230 520 10 6 000 6 000 2 2 2 ，又 0 CAD180 ，所以CAD 45 ，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45 . 答案 B 5如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在
4、所在的河岸边选定 一点C，测出AC的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计 算出A、B两点的距离为( ) A50 2 m B50 3 m C25 2 m D.25 2 2 m 解析 由题意，得B30.由正弦定理，得 AB sinACB AC sinB， ABACsinACB sinB 50 2 2 1 2 50 2(m) 答案 A 6. 如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角 为 30 ，测得湖中之影的俯角为 45 ，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m) ( ) A2.7 m B17.3 m C37.3 m D373 m 解析 在ACE 中， tan 30
5、CE AE CM10 AE .AECM10 tan 30(m) 在AED 中，tan 45 DE AE CM10 AE ， AECM10 tan 45(m)， CM10 tan 30 CM10 tan 45， CM10 31 31 10(2 3)37.3(m) 答案 C 二、填空题 7如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东 方向上，测得点A的仰角为 60，再由点C沿北偏东 15方向走 10 米到位 置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米 解析 在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105， DBC30， BC sin 45 CD sin 30，BC C
6、Dsin 45 sin 30 10 2.在 RtABC中， tan 60AB BC，ABBCtan 6010 6(米) 答案 10 6 8如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m 到达B处发现一个生命迹象，然后向右转 105，进行 10 m 到达C处发现另 一生命迹象，这时它向右转 135后继续前行回到出发点，那么x_. 解析 由题知，CBA75，BCA45，BAC1807545 60， x sin 45 10 sin 60. x10 6 3 m. 答案 10 6 3 m 9. 在 2012 年 7 月 12 日伦敦奥运会上举行升旗仪 式如图，在坡度为 15 的观礼
7、台上，某一列座 位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面，在该 列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆 顶端 N 的仰角分别为 60 和 30 ，且座位 A，B 的距离为 10 6米，则旗杆的高度为_米 解析 由题可知BAN105 ，BNA30 ，由正弦定理得 AN sin 45 10 6 sin 30 ， 解得 AN20 3(米)，在 RtAMN 中，MN20 3 sin 60 30(米)故旗杆的 高度为 30 米 答案 30 10. 如图，一船在海上自西向东航行，在 A 处测得某 岛 M 的方位角为北偏东 角，前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 角， 已知该岛
8、周围 n 海里范围内(包括边界)有暗礁， 现该船继续东行， 当与满足条件_时， 该船没有触礁危险 解析 由题可知，在ABM 中，根据正弦定理得 BM sin90 m sin，解 得 BM mcos sin， 要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90 ) mcos cos sin n，所以当 与 的关系满足 mcos cos nsin()时，该船没有触礁危 险 答案 mcos cos nsin() 三、解答题 11如图所示，甲船由A岛出发向北偏东 45的方向作匀速直线航行，速度为 15 2 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南 40 n mile 处 的B岛出发，朝北偏东
9、 tan1 2 的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h. (1)若两船能相遇，求m. (2)当m10 5时， 求两船出发后多长时间距离最近， 最近距离为多少 n mile? 解 (1)设t小时后，两船在M处相遇， 由 tan1 2，得 sin 5 5 ，cos2 5 5 ， 所以 sinAMBsin(45) 10 10 . 由正弦定理， AM sin AB sinAMB，AM40 2， 同理得BM40 5. t40 2 15 2 8 3，m 40 5 8 3 15 5. (2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q
10、(x2，y2)处，则|AP|15 2t，|BQ|10 5t. 由任意角三角函数的定义，可得 x115 2tcos4515t， y115 2tsin4515t， 即点P的坐标是(15t,15t)， x210 5tsin10t， y210 5tcos4020t40， 即点Q的坐标是(10t,20t40)， |PQ|5t 2 t 2 50t2400t1600 t 280020 2， 当且仅当t4 时，|PQ|取得最小值 20 2，即两船出发 4 小时时，距离最近， 最近距离为 20 2 n mile. 12如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有 一艘渔船遇险，
11、在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、 相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救 援，求 cos 的值 解 如题图所示，在ABC 中，AB40 海里，AC20 海里，BAC120 ，由余 弦定理知，BC2AB2AC22AB AC cos 120 2 800，故 BC20 7(海里) 由正弦定理得 AB sinACB BC sinBAC， 所以 sinACBAB BCsinBAC 21 7 . 由BAC120 ，知ACB 为锐角，则 cosACB2 7 7 . 易知 ACB30 ，故 cos cos(ACB30 ) cosACBco
12、s 30 sinACBsin 30 21 14 . 13如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 A，B 之间的距离，她 在西江南岸找到一个点 C，从 C 点可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A， C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B，C； 并测量得到数据：ACD90 ，ADC60 ， ACB15 ，BCE105 ，CEB45 ，DC CE1 百米 (1)求CDE 的面积； (2)求 A，B 之间的距离 解 (1)在CDE 中，DCE360 90 15 105 150 ，SCDE1 2 DC CE sin 150 1 2sin 30 1 2 1 2
13、1 4(平方百米) (2)连接 AB，依题意知，在 RtACD 中， ACDC tanADC1tan 60 3(百米)， 在BCE 中，CBE180 BCECEB180 105 45 30 ， 由正弦定理 BC sinCEB CE sinCBE，得 BC CE sinCBE sinCEB 1 sin 30 sin 45 2(百米) cos 15 cos(60 45 )cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 1 2 2 2 3 2 2 2 6 2 4 ， 在ABC 中，由余弦定理 AB2AC2BC22AC BC cosACB， 可得 AB2( 3)2( 2)22 3 2 6 2
14、4 2 3， AB2 3百米 14某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出 发时，轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以 v 海里 /时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时，试设计航行方案(即确定航 行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S 900t24002 30
15、t 20 cos90 30 900t2600t400 900 t1 3 2300. 故当 t1 3时，Smin10 3(海里)， 此时 v10 3 1 3 30 3(海里/时) 即小艇以 30 3海里/时的速度航行，相遇时小 艇的航行距离最小 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则 v2t2400 900t22 20 30t cos(90 30 )， 故 v2900600 t 400 t2 ，0v30， 900600 t 400 t2 900，即2 t2 3 t0，解得 t 2 3. 又 t2 3时，v30 海里/时 故 v30 海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于2 3. 此时，在OAB 中，有 OAOBAB20 海里，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30 ，航行速度为 30 海里/时，小艇能以最短时间与轮船相 遇.
