1、1 第三章第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算导数的概念及运算 专题 1 导数的概念与几何意 义 (2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,导数的概念与几何意义,填空题,理 14)函数 f(x)=2ln x+x2 在 x=1处的切线方程是 . 解析:由 f(x)=2lnx+x2,得 f(x)=+2x. f(1)=4.又 f(1)=1, 函数 f(x)=2lnx+x2在 x=1处的切线方程为 y-1=4(x-1).即 4x-y-3=0. 答案:4x-y-3=0 (2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,导数的概念与几何意义,选择题,理 12)已知实数 a,b,c,d满足 =1,其中 e是自然
2、对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( ) A.8 B.10 C.12 D.18 解析:实数 a,b,c,d 满足=1,b=a-2ea,d=2-c. 点(a,b)在曲线 y=x-2ex上,点(c,d)在曲线 y=2-x上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线 y=x-2ex到 直线 y=2-x 上点的距离最小值的平方. y=1-2ex,求出 y=x-2ex上和直线 y=2-x平行的切线方程,令 y=1-2ex=-1, 解得 x=0,切点为(0,-2), 该切点到直线 y=2-x 的距离 d=2,就是所要求的两曲线间的最小距离. 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为 d2
3、=8. 答案:A (2015沈阳四校联考模拟,导数的概念与几何意义,选择题,理 9)已知函数 f(x)=x2+bx 的图象在点 A(1,f(1)处的切线斜率为 3,数列的前 n 项和为 Sn,则 S2 014的值为( ) A. B. C. D. 解析:函数的导数 f(x)=2x+b, 点 A(1,f(1)处的切线的斜率为 3, f(1)=2+b=3,解得 b=1. f(x)=x2+x=x(x+1), , S2014=+=1-. 答案:C (2015沈阳大连二模,导数的概念与几何意义,填空题,理 15)设点 P在曲线 y=x2+1(x0)上,点 Q在 曲线 y=(x1)上,则|PQ|的最小值为
4、. 答案: 专题 2 导数的运 算 (2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,导数的运算,选择题,理 9)设函数 y=f(x)在区间(a,b)上的导函数 为 f(x),f(x)在区间(a,b)上的导函数为 f(x),若在区间(a,b)上 f(x)0, 此时函数 h(x)单调递增. a=h,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c=h=h(-ln2)=h(ln2), 又 2ln2, bca. 答案:A (2015沈阳四校联考模拟,导数与函数的单调性,解答题,理 20)已知函数 f(x)=ax3+bx2的图象经过点 M(1,4),曲线在点 M处的切线恰好与直线 x+9y=0垂直. (1)求实数 a
5、,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间m,m+1上单调递增,求 m的取值范围. 解:(1)f(x)=ax3+bx2的图象经过点 M(1,4), a+b=4. f(x)=3ax2+2bx,则 f(1)=3a+2b. 由条件 f(1) =-1, 即 3a+2b=9. 由式解得 a=1,b=3. (2)f(x)=x3+3x2,f(x)=3x2+6x, 令 f(x)=3x2+6x0得 x0或 x-2. 函数 f(x)在区间m,m+1上单调递增, m,m+1(-,-20,+). m0,或 m+1-2. m0,或 m-3. 专题 2 导数与函数的极 值 (2015江西上饶一模,导数与函数的极值,选择题
6、,理 7)设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0).已知五个方程的相 异实根个数如下表所述: 3 方程 根的个数 f(x)-20=0 1 f(x)+10=0 1 f(x)+20=0 1 f(x)-10=0 3 f(x)=0 3 为关于 f(x)的极大值,下列选项中正确的是( ) A.01时,函数 f(x)的单调增区间为(-,1-2a)和(-1,+),单调减区间为(1-2a,-1); 当 a=1 时,函数 f(x)的单调增区间为 R; 当 a0,F(2)=-30 时,f(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1,+); 当 a0. lnx0), 则 h(x)=-2x+=-. 当 x1,3
7、时,h(x),h(x)随 x的变化情况表: x 1 (1,2) 2 (2,3) 3 h(x) + 0 - h(x) 极大值 计算得:h(1)=,h(3)=ln3+,h(2)=ln2+3, 6 h(x). b的取值范围为. (3)证明:令 F(x)=g(x)-f(x)=x ex-lnx-x-1(x0), 则 F(x)=(x+1) ex-1= (x ex-1), 令 G(x)=x ex-1, 则G(x)=(x+1) ex0(x0), 函数 G(x)在(0,+)递增,G(x)在(0,+)上的零点最多一个. 又G(0)=-10, 存在唯一的 c(0,1)使得 G(c)=0, 且当 x(0,c)时,G(
8、x)0. 即当 x(0,c)时,F(x)0. F(x)在(0,c)上递减,在(c,+)上递增, 从而 F(x)F(c)=c ec-lnc-c-1. 由 G(c)=0得 c ec-1=0, 即 c ec=1,两边取对数得 lnc+c=0, F(c)=0.F(x)F(c)=0. 从而证得 g(x)f(x). (2015沈阳大连二模,利用导数研究函数的零点或方程的根,解答题,理 21)已知函数 f(x)=ex-ax2+(a- e+1)x-1(e=2.718 28是自然对数的底数,a 为常数). (1)当 a=0时,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)-x f(x)在区间1,+)
9、上单调递减,求 a的范围; (3)当 a(e-2,1)时,函数 f(x)=ex-ax2+(a-e+1)x-1在区间(0,1)上是否有零点?并说明理由. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=ex+(-e+1)x-1, 则 f(x)=ex+(-e+1), 故 f(x)的单调增区间为(ln(e-1),+); f(x)的单调减区间为(-,ln(e-1). (2)由题意可知,g(x)=ex+(a-e+1)x-1, 则 g(x)=(1-x)ex+(a-e+1). 当 x1,+)时,g(x)=-xex0,H(1)=e-2-e+2=0, H(ln2)=eln2-e-2ln2+2=4-e-2ln20 在(0,1
10、)成立, 即 h(x)=e-2-(e-2)0, 即 h(x)=e-20, 由于 x(0,1),有 x2-x0, 在(ln2(e-2),1)上存在唯一的实数 x0使得 H(x0)=0. 所以,H(x)在(0,x0)上单调递减,H(x)在(x0,1)上单调递增. 又 H(0)=0,H(1)=0, 故 H(x)e-2成立. 由,可得,a(e-2,1)时存在零点. (2015江西重点中学协作体二模,利用导数研究函数的零点或方程的根,解答题,理 21)已知函数 f(x)=x-aex(a 为实常数). (1)若函数 f(x)在 x=0 的切线与 x 轴平行,求 a 的值; (2)若 f(x)有两个零点 x
11、1,x2,求证:x1+x22. 解:(1)函数的导数 f(x)=1-aex, f(x)在 x=0的切线与 x轴平行, f(0)=0, 即 f(0)=1-a=0,解得 a=1. (2)由 f(x)=x-aex=0得 a=. 设 g(x)=, 则 g(x)=, 由 g(x)1,由 g(x)0 得 xg(n2), m1n1,m21; 则 x1=,x2=; 则 x2+x1=, 令 h(t)=, 则可证明 h(t)在(1,+)上单调递增; 故 x2+x1随着 t的增大而增大, 即 x2+x1随着的增大而增大, 8 故 x2+x1随着 a 的减小而增大. 而当 a=时,x2+x1=2; 故 x1+x22.
12、 专题 3 利用导数解决不等式的有关问题 (2015江西重点中学协作体一模,导数与函数的最值,解答题,理 21)设函数 f(x)=e2x-4aex- 2ax,g(x)=x2+5a2,aR. (1)若 f(x)在 R 上单调递增,求 a的取值范围; (2)记 F(x)=f(x)+g(x),求证:F(x). 解:(1)f(x)=2e2x-4aex-2a =2(ex-a)2-2a2-2a; 当 a0时,f(x)在 R 上单调递增, 当 a0 时,-2a2-2a0 恒成立不可能, 故 a的取值范围为(-,0. (2)证明:F(x)=f(x)+g(x) =e2x-4aex-2ax+x2+5a2 =(ex
13、-2a)2+(x-a)2, 而(ex-2a)2+(x-a)2可看成函数 y=ex与 y=2x 上的点的距离的平方; 故令 y=ex=2,得 x=ln2, 故点的坐标为(ln2,2); 故 d=; 故 F(x). (2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,导数与函数的最值,解答题,理 21)函数 f(x)=aex,g(x)=ln x- ln a,其中 a为正常数,且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行. (1)求 a的值; (2)若存在 x使不等式成立,求实数 m 的取值范围; (3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域中的任意实数 x0,我们把
14、|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在 x0处的 偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2. 解:(1)f(x)=aex, f(x)=aex, 函数 f(x)=aex只与 y轴交于(0,a), 且 f(0)=a. 又g(x)=lnx-lna, g(x)=. 又函数 g(x)=lnx-lna 只与 x轴交于(a,0), g(a)=. 又函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行, a=1. (2)分离 m后得 m2; ()当 0m(1-a2),求实数 m 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)=x2-ax+ln的导数为
15、 f(x)=2x-a+a . 由题意可得 f=0,即为 1-a+a =0, 解得 a=2或-1. 当 a=2 时,f(x)=2x-2+, 由 f(x)0,解得 x或-m(1-a2), 即可转化为对任意的 a(1,2),1-a+ln-m(1-a2)0 恒成立. 设 g(a)=1-a+ln-m(1-a2)(10 时,g(a)=, 若2,则 g(a)g(1)=0,所以 m0 且1, 解得 m, 所以 m的取值范围为. (2015 江西师大附中、鹰潭一中模拟,导数与函数的最值,解答题,理 21)设函数 f(x)=(1-ax)ln(x+1)-bx, 其中 a 和 b是实数,曲线 y=f(x)恒与 x轴相
16、切于坐标原点. (1)求常数 b的值; (2)当 0x1 时,关于 x 的不等式 f(x)0恒成立,求实数 a的取值范围; (3)求证:对于任意的正整数 n,不等式0), g(x)=a-a ,当 x1时,g(x)0,g(x)在(1,+)上递增, 当 0x1 时,g(x)0,g(x)在(0,1)上递减. 即有 x=1处 g(x)取得极小值,也为最小值,且为 a-alna. g(x)有两个不同的零点,则有 a-alnae. g(x)有两个不同的零点 x1,x2,且 0x11 时,h(t)递增,当 0t1 时,h(t)递减, 即有 t=1时,h(t)取得最小值,且为 e, 有 e1, 则有lna.
