1、1 第十一章第十一章计数原理 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 专题 1 分类加法计数原 理 (2015河北邯郸二模,分类加法计数原理,填空题,理 13)我们把中间位数上的数字最大,而面两边依次 减小的多位数称为“凸数”.如 132、341等,那么由 1、2、3、4、5 可以组成无重复数字的三位凸数的 个数是 .(用数字作答) 解析:根据“凸数”的特点,中间的数字只能是 3,4,5,故分三类, 第一类,当中间数字为“3”时,此时有 2种(132,231); 第二类,当中间数字为“4”时,从 1,2,3中任取两个放在 4的两边,故有=6种; 第三类,
2、当中间数字为“5”时,从 1,2,3,4 中任取两个放在 5的两边,故有=12 种; 根据分类计数原理,得到由 1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位凸数的个数是 2+6+12=20 种. 答案:20 11.2 排列与组合排列与组合 专题 3 排列、组合的综合应 用 (2015辽宁锦州二模,排列、组合的综合应用,选择题,理 8)分配 4 名水暖工去 3个不同的居民家里 检查暖气管道.要求 4 名水暖工都分配出去,并每名水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去 检查,那么分配的方案共有( ) A.种 B.种 C.种 D.种 解析:根据题意,分配 4 名水暖工去 3个不同的居民家里,要求
3、4名水暖工都分配出去,且每个居民家都 要有人去检查; 则必有 2名水暖工去同一居民家检查, 即要先从 4 名水暖工中抽取 2人,有种方法, 再将这 2人当做一个元素,与其他 2人,共 3个元素,分别分配到 3 个不同的居民家里,有种情况, 由分步计数原理,可得共种不同分配方案. 答案:C (2015江西宜春奉新一中高考模拟,排列、组合的综合应用,填空题,理 13)有 4名优秀学生 A,B,C,D 全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有 种. 解析:第一步从 4名优秀学生选出 2个组成复合元素共有种,再把 3个元素(包含一个复合元素)保送 到甲、乙、丙
4、 3 所学校有种, 根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种. 答案:36 11.3 二项式定理二项式定理 专题 1 通项及其应 用 2 (2015江西南昌三模,通项及其应用,填空题,理 13)已知等比数列an的第 5项是二项式展开式的常 数项,则 a3a7= . 答案: (2015河北保定二模,通项及其应用,填空题,理 14)二项式的展开式中第 3 项与第 4项的二项式系数 相等,则展开式的第 3 项的系数为 . 解析:由题意可得,n=5. 则展开式的第 3 项的系数为 23 (-1)2=80. 答案:80 (2015河北衡水中学高三一调,通项及其应用,填空题,理 13)已知 n=dx,那
5、么展开式中含 x2项的系数 为 . 解析:根据题意,n=dx=ln x=6, 则中,由二项式定理的通项公式 Tr+1=,当 r=2时,可知含 x2项的系数为9=135. 答案:135 (2015 辽宁丹东二模,通项及其应用,选择题,理 3)若的二项展开式中 x7的系数为-10,则实数 a=( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1 解析:由 Tr+1=(x2)5-r=ar x10-3r, 令 10-3r=7,解得 r=1. 再由 a1 =-10,解得 a=-2. 答案:A (2015辽宁丹东一模,通项及其应用,填空题,理 13)的展开式中的 x2y3系数是 . 解析:的展开式的通项公式为 Tr
6、+1= (-2)r x5-r yr, 令 r=3,可得 x2y3系数是-20. 答案:-20 (2015辽宁锦州二模,通项及其应用,填空题,理 13)设函数 f(x)=(x+a)n,其中 n=6cos xdx,=-3,则 f(x)的 展开式中的 x4系数为 . 解析:由 n=6cos xdx,=-3,得 n=6sinx=6,=-3,a=-2. f(x)=(x-2)6. 由 Tr+1=x6-r(-2)r,令 6-r=4,得 r=2. f(x)的展开式中的 x4系数为(-2)2 =60. 答案:60 (2015辽宁锦州一模,通项及其应用,填空题,理 13)的二项展开式中,x2的系数是 (用数字作 答). 解析:Tr+1=x5-r=(-2)r, 令 5-r=2, 所以 r=2. 所以 x2的系数为(-2)2=40. 答案:40
