1、本章主要内容本章主要内容: 生命表起源生命表起源 生命表基本函数生命表基本函数 生存分布生存分布 几个常用的生存模型几个常用的生存模型 1. 生命表的发展历史生命表的发展历史 1662年年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单和死亡名单,写出写出生命表的自然和政治观察生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。这是生命表的最早起源。 1693年，英国大数学家、天文学家年，英国大数学家、天文学家 Edmund Halley，写出，写出根据根据Breslau城出生与下葬统计城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计表对人类死亡程度的估计，文中第一次使用了，文
2、中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把因而把Halley称为生命表的创始人。称为生命表的创始人。 2. 生命表的定义生命表的定义 根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。编制成的由每个年龄死亡率所构成的汇总表。3. 生命表的构造原理生命表的构造原理 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的死亡概率。（用频率估计概率）人群的死亡概率。（用频率估计概率） 生命表是反映在封闭人口的条件下，一批人从生命表是反映在
3、封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。出生后陆续死亡的全部过程的一种统计。1. 存活到整数年龄存活到整数年龄x岁的人口数，岁的人口数， . 是生命表极限年龄，通常取是生命表极限年龄，通常取 在在xx+n岁死亡的人数，简记岁死亡的人数，简记:xl:xndxxdd 1,nxxx ndll1, 1, 0 x100 xxdl110通常生命表涉及的函数有：通常生命表涉及的函数有： 3. x岁的人在岁的人在xx+n岁死亡的概率，简记岁死亡的概率，简记 4. x岁的人活到岁的人活到x+n岁的概率，简记岁的概率，简记:xnqxxqq 1xxnxnldq :xnpxxpp 1xnxxnl
4、lp1nxnxpqxxxl qd5. x岁的人在岁的人在xx+n岁生存的人年数，简记岁生存的人年数，简记 人年数是表示人群存活时间的复合单位。人年数是表示人群存活时间的复合单位。在死亡均匀分布假设下，有在死亡均匀分布假设下，有:xnL()22nxx nnxxx nnnLnldllxxLL 1)(211xxxllL x岁的人群未来累积生存人年数岁的人群未来累积生存人年数 x岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命岁的人群的平均余寿，表明未来平均寿命8. 新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。新生儿的平均余寿，即人的平均寿命。:xT10 xttxxLT:xoexxxolTe :0oe000lTeo9. x
5、岁的人在x+nx+n+m岁死亡的概率 简记:xmnqnxmxnxmnxnxmnxnxxnxmxmnqppplllldqnxxnxnxnqpqq1 10. 死亡力死亡力 时间时间x时存活人数时存活人数 的相对变化率，称为的相对变化率，称为x时的时的死亡力，记为死亡力，记为两边积分可得两边积分可得d()dxxxllx xl00expd xxyllyx例：已知例：已知 计算计算 ， )1201 (1000 xlx3020p25520q3.3.1 生存分布函数生存分布函数 用用X表示新生儿的死亡年龄，它是一个连续随机变量表示新生儿的死亡年龄，它是一个连续随机变量 生存函数：生存函数： 表示新生儿能活到
6、表示新生儿能活到 岁的概率。岁的概率。 死亡函数：死亡函数： 概率密度函数：概率密度函数： 新生儿将在新生儿将在x岁至岁至y岁之间死亡的概率：岁之间死亡的概率：)Pr()(xXxS)()()(xSxFxfx)(1)Pr()(xSxXxF)()()Pr(ySxSyXx 3.3.2 危险率函数危险率函数 在生存到时间在生存到时间x的条件下，在的条件下，在x处的瞬间死亡密度称为处的瞬间死亡密度称为时间时间x处的危险率，记为处的危险率，记为 ，有，有 由由 可得可得001( )limPr()( )()( )( )lim( )( )( )xxxxXxx XxxS xS xxS xf xS xxS xS
7、x ( ) x0( )exp( )d xS xyy( )( )( )S xxS x 3.3.3 x岁余寿的分布函数岁余寿的分布函数 用用(x)表示年龄是表示年龄是x岁的人，岁的人，(x)的余寿以的余寿以T(x)表示表示,它是一个连续随机变量，其概率分布函数为它是一个连续随机变量，其概率分布函数为:( )Pr( ( ),0TF tT xttxtqPr()( )( )()1( )( )txqxXtx XxF txF xS xS txF xS x 它正是它正是 x 岁的人在岁的人在 t 时间内死亡的概率时间内死亡的概率 )()()(1)(11xSxtSxFxtFqpxtxtPrxt ut uxtxt
8、xt uxtxux tqxtXxtu Xxqqpppq T的概率密度为的概率密度为d ()( )( )( )dTTtxx tS txftF tpS xt 1d0tptxxt显然有显然有 定义定义:（x）未来存活的整数年数称为（）未来存活的整数年数称为（x）的整值）的整值余寿，简记余寿，简记 ， 它是它是 的取整函数的取整函数 概率函数概率函数( )K x, 1 , 0, 1)(,)(kkxTkkxK)(xTxkkxxkxkxkxkxkqqpppqqkxTkkxK11) 1)(Pr()(Pr( 3.3.5 生存函数和生命表函数之间的关系生存函数和生命表函数之间的关系nxxnyxyxnyyp0de
9、xpdexp00dd( )S (x)( )dxS(x)dxS(x)xxxll S xxll 1100)(xxpppllxS110dxxxxxx tx tdlllqlt10dtlLtxx0dtlTtxx()00( )ddnnnxTxtxxtqfttptmnntxxtxmntpqd0( )doxtxx teE Ttpt00d)()(xxfxXEeo00ddoxx txtxxxTletptll0123456100075030001000.8 0.6xlxdxpxqx例：已知例：已知 计算下面各值：计算下面各值：（1）20岁的人在岁的人在5055岁死亡的概率。岁死亡的概率。（2）该人群平均寿命。）该人
10、群平均寿命。)1001 (10000 xlx5055203052010000001. 1/162. (1)50100ollqlTxdxle3.4.1 均匀分布（均匀分布（De Moivre分布）分布）（由法国数学家（由法国数学家Abraham De Moivre在在1724年提出）年提出）xxxS0,1)(1( ), 0f xx1xx2d )()(0 xxfxXE注：注：在时间区间较长的情况下，将生存模型视为均匀在时间区间较长的情况下，将生存模型视为均匀 分布是不合适的。分布是不合适的。3.4.2 指数分布指数分布( ),0,0 xS xex)()(xSxfx1dd)(00 xexexXExx
11、注：注：由于指数分布的死力为常数，故多用于非生命由于指数分布的死力为常数，故多用于非生命物体（如机器、电子器件等）的生存模型。物体（如机器、电子器件等）的生存模型。( ),0,0 xf xex3.4.3 Gompertz分布：分布：1825年，年，Benjamin Gompertz 在一篇著名精算论文中提出死亡率应按指数增长。在一篇著名精算论文中提出死亡率应按指数增长。)1 (lnexpdexp)(0 xxyccByxS0, 1, 0,xCBcBxx 注：注：该分布比该分布比De Moivre分布更好地反映了寿命过程，分布更好地反映了寿命过程，并去掉了最大年龄假设。并去掉了最大年龄假设。3.4
12、.4 Makeham分布分布（Makeham于于1860年对年对Gompertz分布作了推广分布作了推广）)1 (lnexpd )(exp)(0AxccByBcAxSxxy0, 1, 0,xBACBcBAxx注：注：该分布假定在任意年龄时的危险与年龄是相互独该分布假定在任意年龄时的危险与年龄是相互独立的，故在立的，故在Gompertz危险率的基础上加了一个常数。危险率的基础上加了一个常数。3.4.5 Weibull分布分布（1939年年Weibull提出，死亡力以提出，死亡力以t的幂次增长的幂次增长,而非指数增长。）而非指数增长。）1expdexp)(10nxkyykxSnxn0, 0, 0,
13、xnkxknx 2019年年由中国人民银行颁布的由中国人民银行颁布的中国人寿中国人寿保险业经验生命表（保险业经验生命表（19901993）是我国第是我国第一张经验生命表。这张表是根据原中国人民保一张经验生命表。这张表是根据原中国人民保险公司一家公司险公司一家公司1990到到1993年的数据编制的。年的数据编制的。 2019年年8月，保监会牵头正式启动了我国月，保监会牵头正式启动了我国第二张经验生命表的编制工作。这是第一次在第二张经验生命表的编制工作。这是第一次在保险全行业范围内进行经验死亡率调查。所用保险全行业范围内进行经验死亡率调查。所用经验数据经验数据98%以上来源于国内经营时间较长、以上
14、来源于国内经营时间较长、数据量较大的六家寿险公司：中国人寿、平安、数据量较大的六家寿险公司：中国人寿、平安、太平洋、新华、泰康和友邦。新生命表编制完太平洋、新华、泰康和友邦。新生命表编制完成后，于成后，于2019年年11月月12日通过专家评审会的评日通过专家评审会的评审。审。 新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共两套四张表，简称务男女表共两套四张表，简称“CL(2000-2019)”。其结构与原生命表相同，但取消了混合表。其结构与原生命表相同，但取消了混合表。本次非养老金业务表男性平均寿命为本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，岁，较原生命表提高了较原生命表提高了3.1岁，女性平均寿命为岁，女性平均寿命为80.9岁，岁，较原生命表提高了较原生命表提高了3.1岁。养老金业务表男性平均岁。养老金业务表男性平均寿命为寿命为79.7岁，较原生命表提高了岁，较原生命表提高了4.8岁，女性平岁，女性平均寿命为均寿命为83.7岁，较原生命表提高了岁，较原生命表提高了4.7岁岁 。谢谢
