1、1 第四章第四章三角函数、解三角形 4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及 诱导公式诱导公式 专题 1 三角函数的概 念 (2015辽宁丹东一模,三角函数的概念,选择题,理 9)在平面直角坐标系中,点 M(3,m)在角 的终边上, 点 N(2m,4)在角 +的终边上,则 m=( ) A.-6或 1 B.-1或 6 C.6 D.1 解析:由题意,tan=,tan, . m=-6 或 1. 当 m=-6 时,点 M 在第四象限,而点 N 在第二象限,不符合条件.故 m=1. 答案:D 4.2 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 专题 2 三角
2、函数的单调 性 (2015辽宁丹东二模,三角函数的单调性,选择题,理 9)函数 y=cos(02)在区间(-,)上单调递增, 则 的最大值是( ) A. B. C. D. 解析:函数 y=cos(02)在区间(-,)上单调递增, (-)+2k,kZ,且 +2+2k,kZ,解得 2k+2k,kZ. 再结合 00)的部分图象如图 所示,设 P 是图象的最高点,A,B 是图象与 x轴的交点,若 cosAPB=-,则 的值为( ) A. B. C. D. 答案:C 专题 2 函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用 (2015河北邯郸二模,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 8)
3、设函数 f(x)=sin x+cos x,(-3,0),若 f(x)的最小正周期为 ,则 f(x)的一个单调递减区间是( ) A. B. C. D. 解析:f(x)=sinx+cosx=2sin, 由 f(x)的最小正周期 T=,解得 =-2. f(x)=-2sin. 由 2k-2x-0,xR.已知函数 f(x)=a b 的最小正周期为 4. (1)求 的值; 3 (2)若 sin x0是关于 t的方程 2t2-t-1=0 的根,且 x0,求 f(x0)的值. 解:(1)f(x)=a b=(cosx-sinx,-1) (2sinx,-1)=2sinxcosx-2sin2x+1 =sin2x+c
4、os2x=sin. 因为 T=4,所以 T=4,=. (2)方程 2t2-t-1=0的两根为 t1=-,t2=1. 因为 x0,所以 sinx0(-1,1), 所以 sinx0=-,即 x0=-. 又由已知 f(x0)=sin, 所以 fsinsin. (2015辽宁丹东一模,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 10)如图所示是函数 f(x)=sin(x+)的部分图象,已知 x1,x2,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( ) A.-1 B.- C. D. 解析:由图象知函数的周期 T=2=2=,即=,解得 =2. 则 f(x)=sin(2x+). 由五点法
5、知 2+=,解得 =. 即 f(x)=sin. 由 2x+, 解得 x=,即 x=是函数的一条对称轴. x1,x2,且 f(x1)=f(x2), x1,x2关于 x=对称, 则 x1+x2=2. 则 f(x1+x2)=f=sin=sin=sin. 答案:D (2015辽宁锦州二模,函数 y=Asin(x+)图象及性质的应用,选择题,理 10)函数 f(x)=sin(2x+)的图 象向左平移个单位后关于原点对称,则函数 f(x)在上的最小值为( ) A.- B.- C. D. 解析:函数 f(x)=sin(2x+)的图象向左平移个单位后,得到函数 y=sin=sin 的图象, 再根据所得图象关于
6、原点对称,可得+=k,kZ. =-,f(x)=sin. 由题意 x,得 2x-, sin. 函数 y=sin在区间的最小值为-. 答案:A 4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式两角和与差的正弦、余弦与正切公式 专题 3 两角和与差公式的应 用 (2015辽宁锦州一模,两角和与差公式的应用,解答题,理 17)在ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,q=(2a,1),p=(2b-c,cos C),且 pq. 求:(1)sin A的值; (2)三角函数式+1的取值范围. 解:(1)pq,2acosC=1(2b-c). 根据正弦定理,得 2sinAcosC=2sinB-sinC, 4
7、 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 2cosAsinC-sinC=0,即 sinC(2cosA-1)=0. C 是三角形的内角,sinC0, 2cosA-1=0,可得 cosA=. A是三角形的内角, A=,得 sinA=. (2)+1=+1 =2cosC(sinC-cosC)+1=sin2C-cos2C, +1=sin. A=,得 C, 2C-, 可得-sin1, -1sin, 即三角函数式+1 的取值范围是(-1,. 4.5 三角恒等变换三角恒等变换 专题 1 三角函数式的化简、求 值 (2015辽宁葫芦岛二模,三角函数式的化简、求值,选择题,理 9)已知
8、 f(x)=sin+sin 的最大值为 A,若存 在实数 x1,x2,使得对任意实数 x总有 f(x1)f(x)f(x2)成立,则 A|x1-x2|的最小值为( ) A. B. C. D. 解析:f(x)=sin+sin=sin2015xcos+cos2015xsin+sin2015xcos- cos2015xsin=sin2015xsin+cos2015xcos+sin2015xcos-cos2015xsin=sin2015x +cos2015x =sin2015x +cos2015x sin(2015x+),其中 cos=,sin=. 故 f(x)的最大值为 A=. 由题意可得,|x1-x
9、2|的最小值为, A|x1-x2|的最小值为. 答案:A 专题 2 给角求值与给值求 角 (2015辽宁丹东一模,给角求值与给值求角,选择题,理 7)如图,从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75,30,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( ) A.30(+1)m B.120(-1)m C.180(-1)m D.240(-1)m 解析:如图,DAB=15, tan15=tan(45-30)=2-, 在 RtADB 中,又 AD=60, 5 DB=AD tan15=60(2-)=120-60. 在 RtADC中,DAC=60,AD=60, DC=AD tan
10、60=60. BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m). 河流的宽度 BC 等于 120(-1)m. 答案:B 4.6 解三角形解三角形 专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形 (2015江西宜春奉新一中高考模拟,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理 10)若 G 是ABC 的重心,且 a+b=0,则角 A=( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析:根据重心性质可知:=0. a+b=0, =0. 不共线,a=b=c, 由余弦定理可得 cosA=. A=30. 答案:A (2015江西南昌三模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理 9)ABC的内角
11、 A,B,C的对边分 别是 a,b,c,若 B=2A,a=1,b=,则 c=( ) A.2 B.2 C.2 D.1 答案:B (2015河北保定二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理 10)已知ABC 中,角 A,B,C所对 的边分别为 a,b,c,且 b+c=8,1+,则ABC 面积的最大值为( ) A.4 B.4 C. D. 解析:1+, ,化为 cosA=,sinA=.b+c=82,化为 bc16,当且仅当 b=c=4时取等号. S ABC =bcsinA=bc4. 答案:B (2015辽宁丹东二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)已知 a,b,c 分别是AB
12、C 的内 角 A,B,C所对的边,且 C=. (1)若 c=2,ABC 的面积 S=,求 a,b; (2)若 cos(B-A)+cos C+2cos 2A=2,求 A. 解:(1)由题意 absin,即 ab=4. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC, a2+b2-ab=4. 联立解得 a=2,b=2. (2)cosC=-cos(B+A), cos(B-A)-cos(A+B)=2-2cos2A, 2sinBsinA=4sin2A,即 sinB=2sinA. 故由正弦定理得 b=2a. 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos=3a2,b2=a2+c2,B=.C=,A=. (2015
13、辽宁葫芦岛二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题,理 17)设ABC 的内角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,且 a+b=6,c=2,cos C=. (1)求 a,b 的值; (2)求 sin(A-C)的值. 6 解:(1)由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 c2=(a+b)2-2ab(1+cosC).又 a+b=6,c=2,cosC=,所以 ab=9,解得 a=3,b=3. (2)在ABC中,sinC=, 由正弦定理得 sinA=. 因为 a=c,所以 A 为锐角, 所以 cosA=. 因此 sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC=. (2015辽宁锦州二模,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题,理 9)ABC各角的对应边分别为 a,b,c,满足1,则角 A 的范围是( ) A. B. C. D. 解析:由1 得 b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b), 化简得 b2+c2-a2bc. 两边同除以 2bc 得,即 cosA. A为三角形的内角,0A. 答案:A
