1、1 第十四章第十四章选修模块 14.1 几何证明选讲几何证明选讲 专题 2 相似三角形的判定与 性质 (2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,相似三角形的判定与性质,解答题,理 22)如图,在四边形 ABCD 中,已知BAD=60,ABC=90,BCD=120,对角线 AC,BD交于点 S,且 DS=2SB,P 为 AC 的中点. 求证:(1)PBD=30; (2)AD=DC. 证明:(1)由已知得ADC=90,从而 A,B,C,D四点共圆,AC 为直径,P为该圆的圆心.作 PMBD于点 M,知 M为 BD 的中点,所以BPM= BPD=BAD=60, 从而PBM=30. (2)作 SNB
2、P于点 N,则 SN= SB. 又 DS=2SB,DM=MB= BD, MS=DS-DM=2SB- SB= SB=SN, RtPMSRtPNS,MPS=NPS=30, 又 PA=PB,所以PAB= NPS=15, 故DAC=45=DCA,所以 AD=DC. 专题 5 圆内接四边形的判定及 性质 (2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理 22)如 图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC与 AD的延长线交于点 E,点 F 在 BA 的延长线上. (1)若 ,求 的值; (2)若 EF2=FA FB,证明:EFCD. (1)解:A,B,C,D 四点共圆,ED
3、C=EBF, 又CED=AEB,CEDAEB, , , . 2 (2)证明:EF2=FA FB, , 又EFA=BFE,FAEFEB, FEA=EBF, 又A,B,C,D四点共圆,EDC=EBF, FEA=EDC,EFCD. (2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,圆内接四边形的判定及性质,解答题,理 22)如 图,ABC的角平分线 AD的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:ABEADC; (2)若ABC的面积 S= AD AE,求BAC 的大小. (1)证明:由已知ABC 的角平分线为 AD, 可得BAE=CAD, 因为AEB 与ACB 是同弧上的圆周角, 所以AEB=ACD,
4、 故ABEADC. (2)解:因为ABEADC, 所以 , 即 AB AC=AD AE. 又 S= AB ACsinBAC,且 S= AD AE, 故 AB ACsinBAC=AD AE.则 sinBAC=1, 又BAC为三角形内角, 所以BAC=90. 专题 7 与圆有关的比例 线段 (2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,与圆有关的比例线段,解答题,理 22)如图,已知 PE 切圆 O于点 E,割线 PBA交圆 O于 A,B两点,APE 的平分线和 AE,BE 分别交于点 C,D (1)求证:CE=DE; (2)求证: . 证明:(1)PE 切圆 O于 E,PEB=A, 又PC 平分A
5、PE,CPE=CPA, PEB+CPE=A+CPA, CDE=DCE,即 CE=DE. (2)PC平分APE,PEDPAC. . 又CE=DE, , 又 PE切圆 O于点 E,割线 PBA交圆 O于 A,B 两点, PE2=PB PA,即 , . 3 14.2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 专题 6 极坐标方程与参数方程的 应用 (2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理 23)已知曲线 C1的参数方程为 - ( 为参数),曲线 C2的极坐标方程为 =2cos +6sin . (1)将曲线 C1的参数方程化为普通方程,将曲线 C2的极坐标方程化为直角
6、坐标方程; (2)曲线 C1,C2是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由. 解:(1)由 - 得(x+2)2+y2=10. 曲线 C1的普通方程为(x+2)2+y2=10. =2cos +6sin ,2=2cos +6sin . 2=x2+y2,x=cos ,y=sin , x2+y2=2x+6y,即(x-1)2+(y-3)2=10. 曲线 C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=10. (2)圆 C1的圆心为(-2,0),圆 C2的圆心为(1,3), |C1C2|= - - - =3 4, 所以直线 l与圆 C相离. 14.3 不等式选讲不等式选讲 专题 3 含绝对值
7、不等式的 问题 (2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)设函数 f(x)=|x- a|+3x,其中 a0. (1)当 a=1时,求不等式 f(x)3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x-1,求 a 的值. 解:(1)当 a=1 时,f(x)3x+2可化为|x-1|2. 由此可得 x3或 x-1. 故不等式 f(x)3x+2的解集为x|x3,或 x-1. 5 (2)由 f(x)0,得|x-a|+3x0,此不等式化为不等式组 - 或 - 即 或 - 因为 a0,所以不等式组的解集为 | - ,由题设可得- =-1,故 a=2. (
8、2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|x+3|+|x-a|(a0). (1)当 a=4时,已知 f(x)=7,求 x的取值范围; (2)若 f(x)6的解集为x|x-4,或 x2,求 a 的值. 解:(1)当 a=4 时,函数 f(x)=|x+3|+|x-4|=|x+3|+|4-x|x+3+4-x|=7, 当且仅当(x+3)(4-x)0时,即-3x4时取等号, 故 x的取值范围为-3,4. (2)若 f(x)6的解集为x|x-4,或 x2, 则-4和 2是方程 f(x)=|x+3|+|x-a|=6 的两根, 即 - - - 解得
9、 a=1. (2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,含绝对值不等式的问题,解答题,理 24)已知函数 f(x)=|x-1|,g(x)=-|x+3|+a,aR. (1)解关于 x的不等式 g(x)6; (2)若函数 y=2f(x)的图象恒在函数 y=g(x)的上方,求实数 a的取值范围. 解:(1)不等式即-|x+3|+a6,即|x+3|6 时,得-(a-6)0,等价于 a2|x-1|+|x+3|. 设 h(x)=2|x-1|+|x+3|= - - - - - 画出图象可知当 x=1时,h(x)取得最小值为 4, a4时,函数 y=2f(x)的图象恒在函数 y=g(x)的上方. 专题 4 不等式的证 明 (2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,不等式的证明,解答题,理 24)已知正数 a,b,c满足 a+b+c=6,求证: . 证明:由已知及均值不等式: = = .
