1、椭圆中的焦点三角形有关问题椭圆中的焦点三角形有关问题（一）（一）主讲人：周钦主讲人：周钦2014.12.3zxxkw学 科网学.科.网创设情境，引入新课创设情境，引入新课 百度上输入“焦点三角形”，有5430000条与之有关的词条；在椭圆曲线中，焦点三角形是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。OxyPF1F21r2rq创设情境，引入新课创设情境，引入新课定义：定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形椭圆上一点和两个焦点构成的三角形, ,称之为椭称之为椭圆圆焦点三角形焦点三角形。OxyPF1F21r2rq112212PFrPFrF PFq设 ，( )12121
2、2 ,2PFPFa FFc+=性质：( )122 FPF22ac=+周长( )222121 23 42coscrrrrq=+-( )121 214 sin2F PFSrrq=2czxxkw学 科网探究探究2 2 椭圆焦点三角形中椭圆焦点三角形中有关周长和距离问题有关周长和距离问题探究探究1 有关周长和距离有关周长和距离OxyPF1F2例例1：已知椭圆2211612xy+=的两个焦点分别为12, FFP、椭圆上的一点，且是12122, PFPFFPF-=则的形状是（） . B.C. D.A等边三角形钝角三角形锐角三角形直角三角形D5341212282PFPFaPFPF+=-=解：1212125,
3、4,3PFPFFFFPF=由勾股定理知，为直角三角形zxxkw典型例题典型例题OxyMF1F2N221112592 32xyMFNMFON+=（浙江联考）椭圆上的一点到焦点 的距离为 ， 是的中点，则（ ） A.2 B.4 C.8 练习 D.1：B212122221028142MFaMFNOMFFFNOFMFNOMF-=-=又 ， 分别是和的中点是的中位线82探究探究1 有关周长和距离有关周长和距离22121221 25912 xyFFFF AF BAB+=+（浙江高考）椭圆的焦点为 、 ， 过 作直线交椭圆于A、B两点， ，习2则练：8() () ()121222221220 128ABAF
4、AFBFBFAFBFaa+-=-=探究探究2 2 椭圆焦点三角形中椭圆焦点三角形中有关面积的问题有关面积的问题OxyPF1F2探究探究2 有关面积的问题有关面积的问题221212121212591233 B.2 3 C. 3 D.3xyPFFPF PFFPFPF PF+= 已知 是椭圆上的一点， 、分别是椭圆的左、左焦点，例2若 ，则的面积为（ ） A.3：A1212222121 21 21 22102cos60464121sin603 32F PFrrarrrrcrrSrr+=+-=解得：1r2rq12121212121212cos1cos,602PF PFFPFPF PFFPFFPFPF
5、PFPF PF= = 解：OxyF1F2P探究探究2 有关面积的问题有关面积的问题()221222121210 xyFFababPPF PFFPFb+= （上海高考）已知 、是椭圆C：的两个焦点， 为椭圆C上的一点，且0，若的面积为9练：，则习13()121122121 21 22222212121 22222901sin 909,18242421844436,9,3F PFPFrPFrF PFSr rr rrrcrrr raacbbb=+=+-=-= ，设，1r2r221212121924xyFFPPFPFFPF+=练习2：(北椭圆的两个焦点为 、 ，点 在椭圆上，若 ，则 京高 考，)的大
6、小为探究探究2 有关面积的问题有关面积的问题OxyF1F2P2120()21121212222122-6 - 42422742271cos2422120PFaPFF PFPFPFF FF PFq=+-= -创=在中 ， ， ，422 7OxyPF1F2221212112043xyPFFPFF+=椭圆，若P在第二象限，且练习3：，求的面积。探究探究2 有关面积的问题有关面积的问题1r2rq1211221222221112121222 cos1204614551332 sin 12025PF FPFrPFrF PFrrrrrrrSrq=+-+=设 ，由 余 弦 定 理 ：又解 得 ： ，2课堂小结
7、课堂小结定义：定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形椭圆上一点和两个焦点构成的三角形, ,称之为椭称之为椭圆圆焦点三角形焦点三角形。OxyPF1F21r2rq112212PFrPFrq设 ，F PF ( )121212 ,2PFPFa FFc+=性质：( )122 FPF22ac=+周长( )22212123 42coscPFPFPF PFq=+-( )121 214 sin2F PFSrrq=作业布置作业布置()122221212210tan2F PFxyababFFPFPFSbqq+=你能否证明：在椭圆中焦点分别为 、 ，点 是椭圆上任意一点， ，则课后探究：想一想？想一想？OxyPF1F21r2rq
